余晨鐘 方宇 胡定玉

摘要：由于道旁麥克風與運動車輛之間具有相對運動，導致采集的信號存在多普勒效應，從而增加了軸承聲學故障診斷的難度。針對此問題，提出了一種基于回歸離散傅里葉級數(shù)的車輛軸承多普勒信號校正方法。該方法通過建立車輛運動學模型，得到車輛發(fā)聲時刻序列和麥克風收聲時刻序列;對麥克風采集到的信號進行時間變換，并對經(jīng)時間變換的信號進行離散回歸傅里葉級數(shù)非線性擬合;最后通過Tihonov正則化求解得到校正信號頻譜圖。相比傳統(tǒng)校正方法，本文提出的方法可直接獲取校正信號的頻域信息，在道旁聲學軸承故障診斷中有良好的應用前景。

關鍵詞：多普勒畸變;滾動軸承;離散回歸;Tihonov正則化

0引言

滾動軸承不但支撐著車輛整體重量，而且是車輛高速旋轉的關鍵部件，其狀態(tài)的好壞直接影響著車輛運行的安全性。據(jù)美國有關權威部門統(tǒng)計，每年約有50起與軸承相關的車輛發(fā)生脫軌事故。因此，實時監(jiān)控車輛滾動軸承的運行狀態(tài)并對其產(chǎn)生的故障進行診斷，對車輛的安全運行意義重大。

軸承聲音監(jiān)測系統(tǒng)形成于20世紀80年代。由于采集信號時，麥克風與軸承聲源存在著一段不可忽略的垂直距離，導致軸承聲源相對麥克風存在橫向速度，最終采集到的信號發(fā)生了多普勒畸變。這種多普勒畸變信號在信號頻域存在頻率偏移、頻帶展拓等問題。因此對麥克風采集的信號進行校正是軸承聲音監(jiān)測系統(tǒng)的重點。

為解決多普勒畸變的問題，國內(nèi)外學者對此進行了深入研究。Stoianovic等提出了鎖相環(huán)技術對多普勒聲信號進行校正，隨后Johnson等在此基礎上提出了將DFE算法與鎖相環(huán)技術相結合的方法，實現(xiàn)了多普勒校正，該方法適用于通信級別的信號校正。楊殿閣等提出了非線性時間映射法，通過建立聲場的運動學關系，在時域?qū)Χ嗥绽招M行消除。然而該方法在建立運動學關系時需要諸多預知參數(shù)，其適用范圍受到限制。張海濱等提出一種基于偽時頻分析的方法，對信號的時間中心和特征頻率進行估計，進而實現(xiàn)對多普勒信號的校正，但這種方法運算量較大。張翱等提出運用能量重心法來對瞬時頻率進行估計，然后對多普勒信號進行校正，但這種方法在噪聲大時提取瞬時頻率非常困難，參數(shù)估計也會因此產(chǎn)生較大偏差。

為了增強在多普勒校正過程中對噪聲的魯棒性，減少在信號處理過程中的譜泄露。本文提出一種基于回歸離散傅里葉級數(shù)的多普勒校正方法。該方法首先對麥克風采集到的信號進行幅值校正：然后對幅值校正后的信號進行時間變換：最后通過回歸離散傅里葉級數(shù)進行非線性擬合，并用Tihonov正則化逆求解直接得到校正后的信號頻譜。

1車輛的道旁聲學運動學模型

車輛道旁聲學運動學模型如圖1所示。被測車輛軸承聲源在t=0時刻從相距麥克風水平距離S處出發(fā)，相對于空氣介質(zhì)以速度V沿圖示方向運動。現(xiàn)對麥克風測得的聲源由A到C之間的信號進行分析。由于車輛車速較高，被研究的信號時間較短，可將A到C的a車輛軸承聲源速度V近似視為恒定的。

假設聲源在t_r時刻到達B點，此時聲源振幅為p.聲源與麥克風距離為r.該聲信號經(jīng)過dt=R/c（c為聲音在空氣中的傳播速度）時間到達麥克風0點，到達時刻為：

在車輛速度為亞聲速的情況下，考慮車輛軸承聲源為單級子點聲源，并且傳播介質(zhì)為理想流體，即不存在粘滯性，沒有能量損耗。根據(jù)莫爾斯聲學理論，從波動方程和運動關系出發(fā)可以推導出以下公式：

其中：P為麥克風處采集到的聲壓;q為單極子點聲源質(zhì)量總流率;q=eq/et.t為運行時刻;Y為聲源運動直線與麥克風的垂直距離：R為發(fā)聲時刻聲源與麥克風的距離;c為聲音在空氣中的傳播速度：θ為發(fā)聲時刻聲源和麥克風連線與聲源運動方向之間的夾角;V為聲源的速度，M=V/c為馬赫數(shù)。式中第二項為小項，可忽略不計。因此，麥克風接收到的聲壓為：

式（8）中A為因聲源相對麥克風運動而產(chǎn)生的聲壓幅值調(diào)制函數(shù)，式（9）中B表示當聲源靜止在距離聲源Y處的聲壓函數(shù)。R/c表示聲波從聲源處傳播到麥克風需要的時間。

2回歸離散傅里葉級數(shù)（RDFS）

回歸離散傅里葉級數(shù)（RDFS）擬合方法能夠用來處理非均勻的離散數(shù)據(jù)。相比于經(jīng)典離散傅里葉變換的方法，回歸方法在處理間隔數(shù)據(jù)中能夠降低譜泄露。

回歸離散傅里葉級數(shù)擬合方法運用最小二乘的方法，將通用的離散傅里葉模型用來擬合非均勻的間隔數(shù)據(jù)。其表達式為：

式（10）中，p為離散傅里葉級數(shù)的頻率線;W_nk為系數(shù)矩陣;X_k為待求矩陣;ε_n是實際工況中無法消除的噪聲擾動項。式（11）中，ψ為離散傅里葉級數(shù)的周期。

3基于RDFS的多普勒校正方法

Tihonov正則化是為了求解反問題的一種逼近方法，這些反問題無法或者難以求得精確解。因此，通過施加約束，使得問題在約束條件下允許O誤差內(nèi)可求解。本文通過L曲線來平衡約束值帶來的放大誤差，以及近似解與精確解的誤差來獲取適合的參數(shù)值。

Tihonov正則化方法是針對不確定問題提出的，針對公式（11），定義Tihonov泛函數(shù)：

式中：u_i和v_i;分別表示矩陣W的左奇異向量和右奇異向量：σ為矩陣W經(jīng)奇異值分解后的奇異值：正則化參數(shù)α通常在[σ_r，σ₁]之間選取，且α的選取直接關系到正則解x_α與精確解X的近似程度。

設麥克風采集到的信號數(shù)據(jù)為（t_s，x_s），經(jīng)幅值解調(diào)后的信號為（t_s，x_r）。而麥克風在t.時刻采集到的信號是由聲源在t.時刻發(fā)出的，因此再將經(jīng)幅值解調(diào)后的信號轉換為（t_r，x_r），從而得到一組非線性的數(shù)據(jù)。本文多普勒校正方法的關鍵在于通過這組非線性的數(shù)據(jù)直接求得多普勒信號校正的頻譜。通過回歸離散傅里葉變換將非線性數(shù)據(jù)進行擬合，最后通過Tihonov正則化進行逆求解直接得到校正頻譜。