李明山， 張渝曼， 劉秀敏， 黃 鑫， 周效良*

(1. 南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院, 江蘇 南京 211106； 2. 嶺南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 廣東 湛江 524048)

1 引言及預(yù)備知識

SIR傳染病模型在傳染病的防控研究當(dāng)中具有重要作用，自1927年 Kermack等[1]提出SIR模型以來,傳染病模型得到長足的發(fā)展，許多傳染病模型和與其相關(guān)的理論被用于分析各種各樣的傳染病問題[1-28].這些傳染病模型大致可以分為2類，即確定模型和隨機模型，對于確定模型已有許多優(yōu)秀成果[2-5,23-25].隨機傳染病模型在研究傳染病傳播機理具有重大作用，在現(xiàn)實生活中，環(huán)境噪聲無處不在，研究環(huán)境噪聲對傳染病傳播的影響在傳染病的防控中是非常重要的.王克[28]指出傳染病模型中的每一個參數(shù)都會受到環(huán)境的隨機干擾，在某種程度上表現(xiàn)為隨機波動.例如傳染病模型中的接觸率和疾病死亡率會受到諸如生物個體的年齡、性別、體質(zhì)、心情以及氣候、季節(jié)等因素的隨機干擾.而確定模型并沒有考慮這些隨機因素，只能在一定程度上大致反映傳染病傳播的真實情況.應(yīng)用隨機微分方程來研究傳染病動力學(xué)能更好地擬合實際情況，Arnold等[19]和May[20]首先在這方面做出了奠基性工作，隨后國內(nèi)外涌現(xiàn)出大量的研究成果[6-11,13-15].隨機傳染病模型基本保持了連續(xù)傳染病模型的基本特征,還可以應(yīng)用計算機進行模擬，有利于進一步研究傳染病的傳播機制從而揭示隨機傳染病模型的動力學(xué)性質(zhì)和生物學(xué)意義，為人們預(yù)防和控制傳染病提供一些理論依據(jù)和策略.

文獻[21-22]研究了如下具有雙線性發(fā)生率連續(xù)傳染病SIR模型

(1)

這里，S、I、R分別代表易感者、染病者、康復(fù)者，β>0是感染率,b是出生率并且等于死亡率,γ是康復(fù)率.本文將研究SIR傳染病模型(1)的隨機情形.文獻[22]假設(shè)—群體總數(shù)保持常數(shù)N,即

S(t)+I(t)+R(t)=N.

實施尺度變換

(2)

即對所有的時間t有

S(t)+I(t)+R(t)=1.

(3)

系統(tǒng)(1)可變?yōu)?/p>

(4)

其中系統(tǒng)(4)有2個平衡點，其中一個是無病平衡點E0(1,0)，另外一個是地方病平衡點

用β+σB(t)代替β，這里B(t)表示標(biāo)準的布朗運動，σ2表示布朗運動的強度.采取標(biāo)準的布朗運動作為模型的隨機擾動是因為標(biāo)準布朗運動考慮到各種至關(guān)重要的數(shù)據(jù)，同時也因為模型的參數(shù)是隨著環(huán)境的改變而改變的，因此考慮將環(huán)境的波動引入模型(4)中，將參數(shù)β看成一個隨機變量，這樣β能夠?qū)⒛Ｐ褪艿江h(huán)境白噪聲的影響體現(xiàn)出來.所以用β+σB(t)代替β，得到如下隨機SIR模型

(5)

2 系統(tǒng)(5)正解的存在唯一性

因為S(t)和I(t)分別表示在時刻t易感者和染病者群體的規(guī)模，所以它們必須是正的，為了進一步的研究，首先應(yīng)該給定某些條件使得系統(tǒng)(5)存在唯一的正解.

定理2.1對任意的初值

這里τ指的是爆破時間[16].為了證明上述局部解是全局的，只需證明τ=+∞,a.s.，因此定義停時[16]

τ′=inf{t∈(0,τ):S(t)≤0或I(t)≤0}，

從τ′的定義易知inf ?=+∞，可以得到τ′≤τ，如果能夠證明τ′=+∞,a.s.，就可以得到τ=+∞,a.s.，由此即可得到

假設(shè)τ′<+∞，則存在一個常數(shù)T>0，使得

P{τ′0.

定義C2函數(shù)

σI(t)dB(t)+σS(t)dB(t)≥

記

故可以得到

dV(S(t),I(t))≥G(S(t),I(t))dt-

σI(t)dB(t)+σS(t)dB(t).

(6)

在不等式(6)的兩邊從0到t積分有

(7)

記(S(τ′),I(τ′))=(0,0)，有

在不等式(7)中令t→τ′，有

(8)

這就產(chǎn)生矛盾.因此可以得到τ′→+∞，這也證明了S(t)和I(t)不會在有限時間內(nèi)爆破是依概率1的，定理2.1證畢.基于定理2.1的證明過程可以知道系統(tǒng)(5)的正向不變集為

Π={(S,I):S>0,I>0,S+I≤1}.

因此在下文只需考慮系統(tǒng)(5)在

Π={(S,I):S>0,I>0,S+I≤1}

內(nèi)的解即可.

3 傳染病消亡的充分條件

定理3.1設(shè)(S(t),I(t))是系統(tǒng)(5)初值為(S(0),I(0))∈Π的解，有

(9)

引理3.1設(shè)M(t):t≥0是一個具有初值為M(0)=0的局部連續(xù)鞅，〈M(t)〉是M(t)的二次變差，令δ>1，γn、τn是2個正項序列，則對幾乎所有ω∈Ω，存在一個正整數(shù)n0=n0(ω)，使得對?n≥n0有

(10)

定理3.1證明對系統(tǒng)(5)應(yīng)用It公式有

(11)

對(11)式兩邊從0到t積分得

(12)

(13)

在引理3.1中選取δ=2,γn=γ和τn=n，對幾乎所有的ω∈Ω，存在一個正整數(shù)n0=n0(ω)使得對任意的n≥n0有

(14)

由(12)和(14)式可得

lnI(t)

(15)

=

(16)

≤

(17)

(18)

故可以得到

(19)

所以對任意的n-1≤t≤n，在不等式(19)兩邊同除t得到

(20)

令n→+∞，從而t→+∞，由此有

(21)

令γ→0，則有

(22)

(23)

由常數(shù)變易法有

(24)

4 傳染病在均值意義下的持久性

定理4.1如果有

(25)

則對任意初值(S(0),I(0))∈Π，系統(tǒng)(5)的解有如下性質(zhì)

(26)

定理4.1證明

(27)

(28)

(29)

其中

(30)

σS(t)(I(t)+1)dB(t)≥

(31)

對不等式(31)兩端從0到t進行積分

(32)

化簡得

(33)

由定理2.1可以知道-∞

(34)

(35)

故由文獻[13]可知，傳染病在條件(35)式下在均值意義下是持久的,定理4.1證畢.

5 系統(tǒng)(5)生物學(xué)解釋及防控措施

根據(jù)R0的表達式，可以初步得到以下防控思路和措施:調(diào)整R0中的有關(guān)參數(shù)，使R0盡可能小，為此可以采取下面措施：

1) 研發(fā)高效專門傳染病疫苗，高效疫苗使得治愈率γ高，R0就越小，傳染病的可能性就會變大；

2) 在學(xué)校、超市、市場等人口密集地方實施嚴密監(jiān)控和防范措施，在火車站、港口和機場等外來人口密集地方設(shè)置傳染病檢測站，防止境外染病者進入，對于染病者采取強制隔離措施以降低接觸率β；

3) 降低σ2使得R0<1.

致謝嶺南師范學(xué)院攀峰計劃項目對本文給予了資助，謹致謝意.