康宏亮, 肖鴻民

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

1 引言及主要結(jié)果

基于豐富的實(shí)際應(yīng)用背景,非線性常微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性和多解性問(wèn)題在常微分方程研究領(lǐng)域顯得尤為重要.對(duì)于經(jīng)典的三點(diǎn)邊值問(wèn)題,近30年來(lái)已取得了一定結(jié)果,參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-15]及其相關(guān)文獻(xiàn).

特別地,1994年,Wang[1]在f∈C([0,∞),[0,∞)),a∈C([0,1),[0,∞))且a(t)在(0,1)的任意子區(qū)間內(nèi)不恒為0的條件下構(gòu)造錐

K={u(t):u∈C[0,1],u(t)≥0,

然后運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)理論獲得了二階微分方程Robin邊值問(wèn)題

(1)

在非線性項(xiàng)滿足超線性或次線性條件下其正解的存在性.

1999年,Ma[2]研究三點(diǎn)邊值問(wèn)題

時(shí)提出了研究這類問(wèn)題的關(guān)鍵條件

0<αη<1,

并且通過(guò)構(gòu)造錐

K={u∈C[0,1]:u(t)≥0,

文獻(xiàn)[1-2]中的f均不依賴于u′,因?yàn)閒(u′)在C[0,1]內(nèi)研究,將無(wú)法構(gòu)造錐,繼而無(wú)法運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理研究相應(yīng)問(wèn)題正解的存在性.但經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn),對(duì)于邊界條件比較特別的形式而言,當(dāng)非線性項(xiàng)上帶導(dǎo)數(shù)時(shí),可以在C1[0,1]中構(gòu)造錐,進(jìn)而使用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論獲得該問(wèn)題正解的存在性和多解性.基于此,本文將研究系統(tǒng)

正解的存在性和多解性,其中,α>0,0<αη<1.

本文總假定:

(H1)f:[0,∞)→[0,∞)連續(xù);

(H2)a∈C([0,1],[0,∞))且在(0,1)的任意子區(qū)間內(nèi)a(t)不恒為0;

本文主要結(jié)果如下:

定理1假定(H1)和(H2)成立,若f滿足下列條件之一:

(i) (超線性)f0=0且f∞=∞;

(ii) (次線性)f0=∞且f∞=0,

則邊值問(wèn)題(3)至少存在一個(gè)正解,其中

定理2假定(H1)～(H3)成立且f0=f∞=∞,那么問(wèn)題(3)至少存在2個(gè)正解x1、x2,使得

0<‖x1‖

定理3假定(H1)、(H2)和(H4)成立且f0=f∞=0,那么問(wèn)題(3)至少存在2個(gè)正解x1、x2,使得

0<‖x1‖

本文主要工具為:

引理1[16]設(shè)X為Banach空間,K?X是X中的一個(gè)錐.定義Kp={x∈K|‖x‖≤p,p>0},?Kp={x∈K|‖x‖=p},假設(shè)A:Kp→K是一個(gè)全連續(xù)算子,當(dāng)x∈?Kp時(shí)Ax≠x,則:

(i) 如果當(dāng)x∈?Kp時(shí),有‖x‖≤‖Ax‖成立,則i(A,Kp,K)=0;

(ii) 如果當(dāng)x∈?Kp時(shí),有‖x‖≥‖Ax‖成立,則i(A,Kp,K)=1.

引理2[15]設(shè)α≠1,則對(duì)y∈C[0,1],問(wèn)題

(4)

有唯一解

u∈[0,1],

其中

因此Hammerstein積分算子的核為

其中

且

引理3A(K)?K,且A是全連續(xù)算子.

證明

u″(t)=-a(t)f(u′(t))≤0.

故A(K)?K.由f的連續(xù)性及Arzela-Ascoli定理可知A:K→K是全連續(xù)算子.

2 主要結(jié)果的證明

定理1的證明定義錐K={u∈C1[0,1],u′≤0,u在[0,1]上是向上凸的,u′(0)=0,u(1)=αu(η)}.

容易驗(yàn)證錐K中的元素u滿足

(5)

這里

(i) 超線性情形.因?yàn)閒0=0,取H1<0,使得對(duì)H1≤u′≤0,有f(u′)≤ηu′,其中η<0滿足

因此若u∈K,‖u‖=-H1,則由

記

Ω1:={u∈X:‖u‖≤-H1},

則

‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω1.

故

‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω2.

記

Ω1:={u∈X:‖u‖<-H1},

則

‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω1.

所以‖Au‖≤‖u‖.

所以無(wú)論何種情況,只要令Ω2:={u∈X:‖u‖<-H2},就有‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω2.由引理1(ii)知問(wèn)題(3)有一個(gè)正解.

定理2的證明令M<0,使得

(6)

由f0=f∞=∞與引理1(ii)知,若存在p

因此,由引理1得

i(A,Kr,K)=0.

(7)

對(duì)同樣的滿足(6)式的M,由f0=f∞=∞可知,存在R1<0,使得f(u′)≥Mu′,?u′≤R1.令R

因此,由引理1得

i(A,KR,K)=0.

(8)

另一方面,由條件(H3),若u′∈?Kp,則

因此,由引理1得

i(A,Kp,K)=1.

(9)

由(7)～(9)式得

i(A,KRKp,K)=-1,i(A,KpKr,K)=1.

因此,A在KRKp上有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1,在KpKr上有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x2,均為問(wèn)題(3)的解,并且x1(t)>0,x2(t)>0,t∈(0,1).

定理3的證明由f0=f∞=0,對(duì)?ε<0,存在W<0,使得f(u′)≤W+εu′,?u′≤0,t∈[0,1],那么

因此,令ε充分小且R

i(A,KR,K)=1.

(10)

同樣地,對(duì)p

i(A,Kr,K)=1.

(11)

另一方面,由(H4),對(duì)u′∈?Kp有

因此,由引理1得

i(A,Kp,K)=0.

(12)

由(10)～(12)式得A有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則問(wèn)題(3)有2個(gè)正解.

3 應(yīng)用

例1考慮非線性項(xiàng)帶導(dǎo)數(shù)的二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

滿足超線性情形,則由定理1可知,問(wèn)題(13)至少存在一個(gè)正解.