王東 范宣華

摘要：連接界面上多物理場、非線性等力學行為是引起復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力學的主要原因，會引起結(jié)構(gòu)的剛度軟化和幅變阻尼。利用Iwan模型描述連接界面黏滑摩擦行為引起的遲滯非線性特征，采用數(shù)值積分獲得連接結(jié)構(gòu)非線性力學行為影響的傳遞特征，將絕對加速度的傳遞特征轉(zhuǎn)化為相對加速度的幅頻和相頻特征，進而辨識出連接結(jié)構(gòu)隨頻率變化的等效剛度和阻尼特征，并且研究了不同激勵幅值對連接界面非線性動力學行為的影響。結(jié)果表明：Iwan模型能夠較好地描述連接面的剛度軟化和幅變阻尼特征，隨著激勵幅值的增加，連接界面的動力學行為由微觀黏著控制逐漸轉(zhuǎn)化為宏觀滑移控制，等效剛度逐漸下降，表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)剛度的非線性軟化特征;等效阻尼在微觀滑移階段逐漸增加，但在宏觀滑移階段卻有所下降，表現(xiàn)為幅變阻尼的特征。

關(guān)鍵詞：連接界面;遲滯非線性特征;黏滑摩擦;Iwan模型;軟化剛度

中圖分類號：T H113.1;0322

文獻標志碼：A

文章編號：1004-4523 （2019） 06-1060-07

DOI：10. 16 385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 015

引言

連接廣泛地應(yīng)用于各類復(fù)雜的機械結(jié)構(gòu)中，界面上復(fù)雜的接觸機理是造成結(jié)構(gòu)復(fù)雜非線性動力學行為的主要原因[12]。由于整體裝配結(jié)構(gòu)中連接界面局部非線性環(huán)節(jié)的存在，直接進行復(fù)雜裝配結(jié)構(gòu)的非線性動力學分析還存在很大困難。振動環(huán)境下，連接界面在法向可能出現(xiàn)接觸、分離和碰撞等行為;在切向可能存在摩擦、黏著和滑動等行為[3]。

研究者們通過試驗和理論研究發(fā)現(xiàn)接觸面存在單位周期能量耗散一激勵力幅值的冪級數(shù)關(guān)系以及激勵力一位移非線性軟化剛度特性等典型的非線性行為[1，4-5]。Chen等通過二維直板模型的精細有限元仿真，得出了位移和激勵力的非線性軟化剛度特性，并且得出整個接觸面上相對位移隨著切向激勵幅值變化的規(guī)律，說明了接觸面上微觀滑移發(fā)生的過程[6]。Gaul等通過試驗驗證了激勵力一位移的非線性軟化剛度特征，發(fā)現(xiàn)隨著切向載荷增大，界面逐步從微觀滑移進入部分滑移狀態(tài)，當切向載荷達到臨界滑動載荷時，界面整體發(fā)生相對滑動[7]。Mindlin最早理論分析了彈性體接觸時在切向存在的微觀滑移行為，推導了切向力和單位周期能量耗散的表達式，并設(shè)計試驗進行驗證，得出切向力幅值和單位周期能量耗散的立方關(guān)系[8]。Hartwigsen等發(fā)現(xiàn)單位周期能量耗散和切向激勵力幅值不是立方關(guān)系，而是介于2-3之間的冪級數(shù)[9]。Sandia實驗室通過螺栓試驗最后確定冪級數(shù)的范圍為2.5—2.9[1，10—11]。

基于唯象模型的建模方法是從宏觀力學現(xiàn)象出發(fā)，采用系統(tǒng)辨識理論和方法推導出的力學模型[12-13]。其著重在利用確定的數(shù)學模型復(fù)現(xiàn)連接界面的典型非線性特征，如Iwan彈簧滑塊、Lugre毛刷模型、Valanis模型等[11，14-15]。其中，Iwan模型能夠較好地描述連接界面的黏滑過程，且模型參數(shù)具有一定的物理意義，因而被廣泛的應(yīng)用[16-18。Iwan模型是采用若干個由彈簧和滑塊組成的Jenkins單元串聯(lián)或并聯(lián)組成彈簧滑塊系統(tǒng)，然后引入概率密度函數(shù)描述單元臨界滑移力的分布特性，進而根據(jù)準靜態(tài)受力平衡關(guān)系導出降階的描述界面載荷和相對位移的本構(gòu)關(guān)系[19-20]。Segalman采用冪函數(shù)描述Iwan模型滑塊臨界滑移力分布，提出了一種描述連接界面黏滑行為的4參數(shù)模型[21]。Song等對Iwan模型并聯(lián)一彈簧，用來描述連接界面發(fā)生宏觀滑移之后的剩余剛度，提出一種修正的Iwan模型，進而建立一種可以直接應(yīng)用到連接梁結(jié)構(gòu)的有限元仿真程序中的連接梁單元[22-23]。李一堃等提出一種6參數(shù)Iwan模型描述連接界面剩余剛度和能量耗散的非線性特征[24-25]。王東等提出了一種改進的Iwan 4參數(shù)模型，能夠統(tǒng)一Segalman和Song模型描述連接界面典型非線性特征[26-27]。

本文針對連接界面的黏滑摩擦行為，采用Iwan模型描述其典型的遲滯非線性特征，建立含有局部非線性連接的動力學方程。利用數(shù)值積分獲得非線性動力學行為影響的基礎(chǔ)激勵載荷作用的傳遞特征，將絕對加速度響應(yīng)的傳遞特征轉(zhuǎn)化為相對加速度的幅頻和相頻特征，進而辨識出連接結(jié)構(gòu)頻率相關(guān)的等效剛度和阻尼特征，并且研究了不同激勵幅值對連接界面非線性動力學行為的影響。

1 等效動力學特征辨識

利用諧波激勵掃頻實驗獲得在給定激勵載荷下結(jié)構(gòu)的傳遞特性，基礎(chǔ)激勵載荷控制的結(jié)構(gòu)動力學方程可表示為

My+Cy+Ky=-Mx6

（1）式中 M，C，K分別質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣。y為相對于基礎(chǔ)激勵的位移響應(yīng)，y=x -xb0Xb為基礎(chǔ)激勵位移，x為絕對位移響應(yīng)。

采用模態(tài)疊加法將物理坐標系下的運動方程進行模態(tài)坐標變換，利用模態(tài)振型對式（1）進行解耦，其中系統(tǒng)的阻尼為比例阻尼，轉(zhuǎn)換成模態(tài)坐標系下一系列單自由度運動方程[28]

式中 η為模態(tài)坐標下相對位移響應(yīng)。ξ為模態(tài)阻尼，ω為模態(tài)頻率。γ為模態(tài)參與因子，γ=-φTM。φ為矩陣（K/M）的特征向量。

考慮結(jié)構(gòu)中非線性動力學行為的影響，式（2）中模態(tài)阻尼、頻率往往是隨著激勵頻率、幅值變化的?？梢圆捎脭M線性動力學系統(tǒng)分析方法在各頻率點進行等效。按照線性系統(tǒng)的處理方法，在給定基礎(chǔ)諧波激勵xb的作用下，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)η可以表示為

ηj=γ jHj（ω）xb

（3）式中 Hj（ω）為j階傳遞函數(shù)，定義為

利用模態(tài)疊加法，可以得到原物理坐標系下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

y=φ η （5）

原物理坐標下自由度k的絕對加速度可表示為

xk=yk+xb

（6）

基礎(chǔ)輸入激勵載荷自由度j與輸出響應(yīng)自由度k之間的傳遞特性函數(shù)Gk-j（ω）可表示為

Gk-j（ω）=φkφTjHj+1

（7）

將式（4）帶入式（7），傳遞函數(shù)的幅頻和相頻特征可以表示為

對于式（8）和（9），在每個頻率狀態(tài)需要求解一含有（ωjξj）的2階方程組，包括4組解，直接求解頻率相關(guān)的剛度和阻尼特征比較困難。本文采用與基礎(chǔ)激勵載荷和相對加速度之間的傳遞特征辨識頻率相關(guān)的剛度和阻尼特征，定義為

將式（11）帶入式（10），頻率相關(guān)的剛度特征ωj可表示為

由式（12）可知，對于給定的幅頻和相頻特征，其剛度解存在兩種情況。根據(jù)式（11）的正負值判別ωi與所求ω的關(guān)系，所獲得的頻率相關(guān)的剛度特征可以表示為

將式（13）帶入到式（11），頻率相關(guān)的阻尼特征ξi可表示為

對于式（14），當ωi=ω時，t anβ將趨近于無窮大，造成（O×∞）的結(jié)果，無法求解出確定的阻尼特征。因此，利用式（10）進行直接求解，阻尼特征可以表示為

在實驗掃頻獲得傳遞特性時，無法直接獲得相對加速度與基礎(chǔ)激勵之間的傳遞特征，但可以通過絕對加速度的傳遞特性進行轉(zhuǎn)換。在頻域分析中，絕對加速度的傳遞特征可以表示為

相對加速度和基礎(chǔ)激勵之間的幅頻和相頻特征可以表示為：

將式（17），（18）帶入式（13），（14），（15）可以獲得激勵相關(guān)的剛度和阻尼特征{ωj，ξj}。式中 g表示基礎(chǔ)激勵載荷輸入的幅值。夕表示其他邊界和幾何非線性的貢獻。

如圖1所示，二自由度彈簧振子模型用來描述頻率相關(guān)的剛度和阻尼特征的辨識過程，其動力學方程為式中 m為運動部分的質(zhì)量，c joint為頻率相關(guān)的阻尼系數(shù)，kjoint為頻率相關(guān)的剛度系數(shù)，xa為運動部分的位移響應(yīng)，Xb為基礎(chǔ)激勵載荷控制的位移。對以上動力學方程進行正則化處理式中

隨機分布函數(shù)用來表示與激勵相關(guān)的剛度和阻尼特征，頻率和阻尼的上下限分別為0. 75-1. 25和0. 15-0. 25。

由式（22）中剛度和阻尼計算傳遞函數(shù)的幅頻和相頻特征，如圖2所示，均值（（t）joint=1，ξjoint=0.2）的結(jié)果作為比較也繪在其中。利用式（17），（18）將絕對加速度的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為相對加速度的傳遞函數(shù)，并利用式（13），（14），（15）辨識頻率相關(guān)的剛度和阻尼特征，流程如圖3所示，辨識結(jié)果如圖4所示。結(jié)果表明，辨識的結(jié)果與給定的剛度和阻尼參數(shù)完全吻合，從而驗證了辨識過程的正確性。

2 連接界面非線性模型

連接界面在法向和切向載荷聯(lián)合作用下，由于接觸壓力沿接觸表面分布的不均勻性，在接觸區(qū)域形成滑移和黏著區(qū)域兩部分，如圖5（a）所示。由于這些黏滑摩擦行為，連接界面上將出現(xiàn)力一位移的遲滯非線性，表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)的非線性軟化剛度和幅變阻尼。

王東等[26-27]利用Iwan模型描述連接界面典型非線性特征，如圖5（b）所示。x，q分別為界面的相對位移和臨界滑移力，7為Jenkins單元的數(shù)目。連接界面的柔性采用Iwan模型進行描述。

在單向加載時，連接界面恢復(fù)力的表達式為式中 fq為系統(tǒng)發(fā)生宏觀滑移時對應(yīng)的臨界宏觀滑移力，x為臨界滑移力分布的冪指數(shù)，a為界面宏觀滑移后的剩余剛度，k為微觀黏著的剛度貢獻。

在周期性載荷作用下，由黏著和滑移行為引起的非線性恢復(fù)力可分為加載和卸載過程，如圖6所示。式中 x0為加載激勵幅值F0對應(yīng)的相對位移，定義為

3 結(jié)構(gòu)動力學分析

典型搭接結(jié)構(gòu)在法向預(yù)緊和切向周期性載荷聯(lián)合作用下，采用Iwan模型描述連接界面黏滑摩擦行為引起的遲滯非線性，其動力學方程表示為式中 fIwan表示Iwan模型循環(huán)加載過程中的非線性恢復(fù)力，a為激勵力幅值，w為激勵角頻率。

將式（23）-（25）帶人式（27），抽離非線性恢復(fù)力中的線性項（akx），式（27）可表示為式中 ε為線性恢復(fù)力和非線性恢復(fù)力權(quán)系數(shù)，介于O至1之間，當e取1時，系統(tǒng)將退化為線性系統(tǒng)。

對式（28）運動學方程進行正則化處理，兩邊同時乘以（k/mfq），可得式中

令x=kx/fq，式（23）正則化的非線性恢復(fù)力為 將式（30）代入到式（29），可得式中正則化的遲滯恢復(fù)力為式中 fo為周期激勵作用過程中正則化的最大恢復(fù)力，x0為正則化的最大位移響應(yīng)。

對于式（ 32），f0的最大值為1，當

時，fu/l≤1，滿足宏觀滑移前的條件。但是如果激勵幅值較大，結(jié)構(gòu)最大位移響應(yīng)將大于1，導致

，那么式（32）將不再適

用，此時的遲滯恢復(fù)力為

4 結(jié)果與討論

根據(jù)以上的推導過程，采用數(shù)值積分方法（RK四階）獲得非線性系統(tǒng)的絕對加速度響應(yīng)的傳遞特征，再轉(zhuǎn)化為相對加速度的相頻和幅頻特征，辨識出頻率相關(guān)的剛度和阻尼特征。仿真參數(shù)取作：ω0=1，ξ=0.0 1，ε=0.2，γ=O，f0=1，x0=1。激勵角頻率范圍為0. 8-1.2;正則化的激勵幅值為0.Ol/0. 02/0. 04/0. 08/0. 2/0. 5/1.O。獲得的相對加速度響應(yīng)的幅頻和相頻特征如圖7所示。

由圖7可知，隨著激勵載荷幅值的增加，幅頻特征函數(shù)最大值對應(yīng)的“共振頻率”逐漸減小，從而表現(xiàn)出剛度的軟化特征，但其峰值卻先減小再增加。計算相對位移響應(yīng)的頻響曲線，結(jié)果如圖8所示。

由圖8可知，隨著激勵幅值的增加，相對位移響應(yīng)的最大值逐漸增加。由式（30）和（32）可知，當相對位移小于1時，搭接界面只發(fā)生黏著行為;當相對位移大于1時，界面將發(fā)生宏觀滑移。因此，當激勵載荷幅值不大于0. 08時，連接結(jié)構(gòu)的傳遞特性主要受黏著行為的影響;當激勵幅值大于0.5時，傳遞特征主要受宏觀滑移行為的影響;介于0. 08與0.5之間的傳遞特性由黏著和滑移行為共同影響，同時受到激勵頻率的影響。根據(jù)仿真獲得的幅頻和相頻特征辨識出與頻率相關(guān)的等效剛度和阻尼特征，結(jié)果如圖9所示。

由圖9可知，在整個激勵頻率范圍內(nèi)，隨著激勵幅值的增加，所辨識出的與頻率相關(guān)的剛度逐漸下降（1. 05降至0.9），與黏著和滑移行為的影響無關(guān)。對于所辨識出的與頻率相關(guān)的阻尼，在黏著行為影響下（a<0. 08）隨著激勵幅值的增加逐漸增加，但是在宏觀滑移階段（a> 0.5）卻有所降低，從而表現(xiàn)為幅變的阻尼特征。

由圖9所辨識出的與激勵幅值、激勵頻率相關(guān)的等效剛度、阻尼特征可知，Iwan模型能夠較好地描述連接界面黏著和滑移行為引起的剛度軟化和幅變阻尼特征，并且體現(xiàn)黏著和滑移行為的影響。

5 結(jié) 論

本文利用Iwan模型描述連接界面的典型遲滯非線性特征，將基礎(chǔ)激勵的絕對加速度響應(yīng)的傳遞特征轉(zhuǎn)化為相對加速度的幅頻和相頻特征，從而辨識出非線性行為影響的剛度和阻尼特征。結(jié)果表明：

（1） Iwan模型能夠較好地描述連接界面黏著和滑移行為引起的剛度軟化和幅變阻尼特征，所辨識出的與激勵頻率、幅值相關(guān)的剛度、阻尼特征能夠揭示非線性動力學行為的影響。

（2）隨著激勵幅值的增加，剛度逐漸減小，與黏著和滑移行為無關(guān)，表現(xiàn)為非線性軟化剛度特征;而阻尼在黏著階段逐漸增加，在滑移階段卻有所減少，同時受到激勵頻率的影響，表現(xiàn)為幅變阻尼的特征。

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