建花 李向紅 申永軍

摘要：研究了慢變周期激勵下van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)的振動響應及其產生機理。利用快慢分析法，揭示了簇發(fā)振動的產生機理，并討論了激勵幅值對系統(tǒng)響應的影響。研究發(fā)現，兩個Hopf分岔導致不同吸引子之間的轉遷是產生雙Hopf簇發(fā)的主要原因。慢變過程與快變過程共同影響系統(tǒng)響應，并且兩者之間存在有趣的博弈現象：當激勵幅值較小時，快變過程穩(wěn)定吸引子對系統(tǒng)起著主導作用;激勵幅值較大時，慢變過程對系統(tǒng)響應的影響更明顯，并從系統(tǒng)響應的頻率成分和分岔機理兩方面詳細解釋了這一博弈現象。同時，在周期簇發(fā)振動中，系統(tǒng)存在激發(fā)態(tài)滯后行為，利用匹配漸近展開法分析了滯后機理，并計算出了有轉折點情況下激發(fā)態(tài)滯后的近似時間。

關鍵詞：非線性振動;簇發(fā);滯后;分岔;快慢系統(tǒng)

中圖分類號：0322

文獻標志碼：A

文章編號：1004-4523 （2019） 06-1067-10

DOI：10. 16 385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 016

引言

許多領域都存在快慢系統(tǒng)，如機械工程[12]、生物神經[3-4]、化學反應[5-6]、電子電路[7-8]等。快慢系統(tǒng)極易出現簇發(fā)振動（也稱作混合模式振動）[9-10]，即由若干較大振幅振動（激發(fā)態(tài)）和若干微小振幅振動（沉寂態(tài)）交替變化構成的周期振動[11-12]。針對此類現象，早期研究主要側重于實驗、數值模擬等方法。直到Rinzel，Izhikevich等[13-14]將快慢分析法和分岔理論引入到簇發(fā)現象的分析中，簇發(fā)現象的產生機理才開始被許多學者關注。王曉宇等[15]用快慢分離和多尺度法，研究了計入子星姿態(tài)的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)在平衡位置附近的穩(wěn)態(tài)振動，并發(fā)現了子星的高頻振動和系繩的低頻振動之間存在明顯的耦合現象。Jiang等[16]發(fā)現了當輕量桿的轉動慣量遠小于電機的轉動慣量時，帶柔性桿的電機一連桿系統(tǒng)為快慢耦合系統(tǒng)。文獻[17-21]深入研究了大量神經元模型的簇發(fā)振動行為及其在各種復雜結構下的多尺度同步轉遷過程。文獻[22-25]針對分段、多頻、非光滑、高維等因素下的復雜非線性系統(tǒng)的簇發(fā)振動及其產生機理做了大量工作。李向紅等[26-27]給出了包絡快慢分析法，該方法適用于三時間尺度的簇發(fā)現象機理研究，并在參數變易法的基礎上提出了一種適合快慢系統(tǒng)的近似解析方法。劉富豪等[28]建立了基于速度協(xié)調法的齒輪副碰撞動力學模型，提出了針對該模型的“碰撞”數值算法，并利用該算法計算出了系統(tǒng)周期解對應的離散狀態(tài)轉移矩陣，進而求得了Floquent乘子，借此判斷了系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性。最近，Roberts等[29]研究了氣候數據中復雜的混合模式振動行為。Mitra等[30]針對輝光放電等離子體系統(tǒng)，探討了無碰撞磁化等離子體混合模式振動的典型現象及其相應的非線性行為。Kingston等[31]采用實驗與數值仿真兩種方法，得到了基于憶阻器的Lienard系統(tǒng)中存在混合模式振動。

另一方面，van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)是一類典型的自激振動系統(tǒng)，常常用來模擬生物力學、機械工程和電路系統(tǒng)等工程領域的非線性行為。比如，Carlos等[32]利用耦合的van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)對雙足機器人進行建模。Erlicher等[33]提出了一種單自由度振動器，這種振動器可以模擬在周期性移動的地板上行走的人的側向振動，并給出了諧波激勵下改進的混合van der Pol-Rayleigh模型的穩(wěn)態(tài)“夾帶”響應。Trovato等[34]分析了在周期激勵下改進的混合van der Pol-Rayleigh振動器“夾帶”響應的穩(wěn)定性，并將討論的結果應用于行人建模問題中。同時很多學者在van der Pol-Rayleigh振子的穩(wěn)定性和分岔等方面做了大量工作。Benguria和De-passier[35]得到了van der Pol-Rayleigh方程的周期和振幅的漸近值。Lupu和Isaia[36]利用廣義的vander Pol-Rayleigh方程研究了具有分段參數的非線性動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔和自激振動的條件。Huang[37]探討了隨機van der Pol-Rayleigh方程的隨機分岔、旋轉數、隨機極限環(huán)和吸引子行為。Yang等[38]研究了不同系統(tǒng)參數和白噪聲對vander Pol-Rayleigh振子響應的影響，并給出了隨機分岔的臨界條件。

目前針對van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)的快慢效應方面的研究工作較少。因此，本研究將致力于不同尺度耦合的van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)。事實上，實際工程系統(tǒng)常常受到不同頻率干擾的外界因素影響。當受周期激勵作用且激勵頻率遠小于固有頻率時，系統(tǒng)是一個典型的快慢系統(tǒng)。研究其快慢效應，討論參數對系統(tǒng)的影響規(guī)律，可以預測這一類系統(tǒng)的各種復雜運動形式;揭示簇發(fā)振動的分岔機制，有助于深刻理解不同尺度導致的復雜行為的產生原因，為系統(tǒng)參數優(yōu)化提供理論依據。另一方面，自激振動對機械系統(tǒng)的性能有重要影響，充分考慮低頻擾動因素，深入研究機械系統(tǒng)中復雜自激振動及其產生機制，在實際工程中，可以根據實際情況，合理利用或提前規(guī)避這些振動。在周期激勵的快慢系統(tǒng)中，常常存在著分岔滯后的現象。針對van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)，將利用匹配漸近展開法給出有轉折點時激發(fā)態(tài)滯后的近似時間。該研究結果能為實際系統(tǒng)工程及Hopf分岔控制的研究提供一定的理論指導意義。

1 系統(tǒng)方程與分岔分析

具有周期激勵的van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)為式中 ω0>O，ω>O，γ>O，a>O，f>O，β>O為系統(tǒng)參數。當系統(tǒng)周期激勵頻率較小，即ω≤ω0且ω≤1時，周期激勵為系統(tǒng)的慢變過程，式（1）為快慢耦合的系統(tǒng)。為了深入研究系統(tǒng)動力學行為及其分岔機制，將激勵F=fcos（wt）作為快變過程的慢變分岔參數。考慮自治系統(tǒng)該系統(tǒng)的平衡點為E0（F/ω20，O），其派生線性系統(tǒng)的特征方程為點是穩(wěn)定結點。

固定參數γ=0.8，ω=0.002，ω0=0. 64，a=0. 59，β=1.95，給出系統(tǒng)（2）的激勵F與x的分岔圖，如圖1所示（實點、實線表示穩(wěn)定，虛線表示不穩(wěn)定）。平衡線AIA2是由四種不同類型的平衡線組成，其中AIB1，B2A2上的平衡點為穩(wěn)定結點，BIH1，H282上的平衡點為穩(wěn)定焦點，HIC1、C2H2上的平衡點為不穩(wěn)定焦點，CIC2上的平衡點為不穩(wěn)定結點。點Hl，H2為Hopf分岔的臨界點;Bl，B2為轉折點[39-41]，HIH2上存在穩(wěn)定的極限環(huán)。點Cl，C2，Bl，B2，Hl，H2的坐標分別為（Fc.，XCl）=（一0.3373，-0. 8234），（F C2，TC2） =（0. 3373，0. 8234），（F B1，XBl）=（一1.01178，-2.47016），（F B2 9XB2）=（1. 01178 ，2. 47016）， （F Hl nHl）=（-0. 7541350，-1.84115），（FH2 9XH2）=（0. 754135091. 84115）。

2 慢變周期激勵作用下系統(tǒng)的簇發(fā)響應

參數γ，ω，ω0，a，β的取值與第1節(jié)相同。隨著激勵幅值廠的變化，系統(tǒng)（1）存在不同的動力學行為。圖2給出了廠分別取0.3，0. 754，2，1 0時，系統(tǒng)（1）的時間歷程圖。在圖2（a）中，激勵幅值f=0.3，系統(tǒng)的軌線呈現出兩個頻率耦合的周期振動行為。一個頻率與周期激勵頻率ω=O.002一致;另一個頻率接近快變過程的固有頻率。由于固有頻率遠大于激勵頻率，在這組參數下，系統(tǒng)在每個慢變周期過程中一直按照固有頻率進行近等幅高頻振動，即系統(tǒng)一直呈現激發(fā)態(tài)振動。隨著周期激勵振幅的增加，系統(tǒng)的等幅高頻振動逐漸演變?yōu)樽兎哳l振動，即高頻振動的幅值在每個激勵周期內存在明顯變化，如圖2（b）所示。當激勵幅值繼續(xù)增加，圖2（c）給出了廠=2時系統(tǒng)的簇發(fā)振動響應，發(fā)現在每個慢變周期內系統(tǒng)逐漸演化為兩種振動模式：一種是高頻大幅振動的激發(fā)態(tài);另一種是沒有高頻振動的沉寂態(tài)，此類振動即為簇發(fā)（混合模式振動）。當激勵幅值繼續(xù)增加，如圖2（d）所示，在每個慢變周期內激發(fā)態(tài)消失，只存在沉寂態(tài);同時，系統(tǒng)的周期響應只存在激勵頻率及其倍頻成分，系統(tǒng)的固有頻率成分在周期響應中消失。

另一方面，給出廠分別取0.3，0. 754，2，1 0時的頻譜圖，如圖3（a）一（d）所示，v和a分別代表振動的頻率和振幅，其中v1=ωn/2∏=0.64/6.28=0.1019，v2=ω/2∏=0.002/6.28=0.00031847。 由圖3（a）一（d）可得，當激勵幅值f=0.3時，系統(tǒng)中同時存在固有頻率及其倍頻和激勵頻率，但固有頻率起主導作用，也即快變過程對系統(tǒng)的影響較大，因此，系統(tǒng)軌線表現為激發(fā)態(tài)振動。隨著激勵幅值的不斷增大，固有頻率成分越來越弱，激勵頻率影響逐漸增強。當激勵幅值廠=10時，頻譜圖中只呈現激勵頻率及其倍頻，也即系統(tǒng)只受慢變過程影響。因此，系統(tǒng)軌線中激發(fā)態(tài)消失，只表現為沉寂態(tài)振動。

由此可見，從系統(tǒng)響應的頻率成分中可以發(fā)現快變和慢變參數共同影響系統(tǒng)的響應，快變過程的頻率為系統(tǒng)的固有頻率，慢變過程為周期激勵過程，其頻率為周期激勵頻率。當幅值較小時，在整個系統(tǒng)響應中同時存在快變和慢變兩個過程的頻率成分;當激勵幅值很大時，整個系統(tǒng)響應只存在慢變過程的頻率。因此，隨著激勵幅值的增加，快變過程對整個系統(tǒng)的影響逐漸減弱，慢變過程對整個系統(tǒng)響應的影響相對增強。

3 簇發(fā)響應的產生機理

為了深入解釋上述現象，利用快慢分析法來揭示系統(tǒng)響應的產生機理。快慢分析法最早由Rinzel提出，用于揭示不同尺度快慢耦合系統(tǒng)的簇發(fā)行為的產生機理，廣泛應用于研究神經元系統(tǒng)、生化反應系統(tǒng)、電化反應系統(tǒng)等領域的多時間尺度問題，并取得了一定的成果。本文研究的周期激勵下vander Pol-Rayleigh系統(tǒng)在一定條件下是快慢耦合系統(tǒng)，因此，快慢分析法能有效地解釋簇發(fā)行為的產生機理。具體步驟為將慢變量作為快變過程的慢變調節(jié)參數，進一步將系統(tǒng)軌線與快變過程分岔圖疊加，進而來討論簇發(fā)機理。為此，作出快變量x與慢變量fcos（0.002t）的轉換相圖，并將此相圖與分岔圖圖1疊加，得到圖4。圖4（a）給出了廠=0.3時轉換相圖和分岔圖的疊加圖。顯然，廠一0.3時，F=0.3cos（wt）在區(qū)間[一0.3，0.3]之間緩慢變化，導致整個系統(tǒng)軌線只涉及快變過程極限環(huán)吸引子，因此軌線會一直呈現高頻振動的激發(fā)態(tài)。從圖4（a）可以看出，系統(tǒng)的振動幅值與快變過程的極限環(huán)振幅高度一致。隨著廠依次增大，系統(tǒng)軌線逐步向兩邊擴散，直至廠到達H2時軌線充滿整個極限環(huán)區(qū)域，圖4（b）給出了f≈FH2時轉換相圖和分岔圖的疊加圖。從圖4（b）中可以看出，在Hopf分岔臨界點附近，快變過程極限環(huán)的振幅逐漸減小導致了整個系統(tǒng)軌線的高頻振動幅值也發(fā)生了變化。

當f>FH2時，F=fcos（wt）的變化會使得快變過程呈現不同類型的吸引子，即穩(wěn)定極限環(huán)和穩(wěn)定平衡點。圖4（c）給出了f=2時的疊加圖，當系統(tǒng)軌線訪問快變過程的極限環(huán)吸引子時，系統(tǒng)呈現高頻振動的激發(fā)態(tài);當軌線訪問快變過程的穩(wěn)定平衡點吸引子時，系統(tǒng)會收斂到穩(wěn)定的平衡線上.呈現沉寂態(tài)。在激勵變化范圍內，系統(tǒng)涉及到快變過程的兩個Hopf分岔臨界點。一個周期內，軌線要4次經過這些臨界點，在不同穩(wěn)定吸引子之間來回切換，導致了在一個周期內出現了兩次激發(fā)態(tài)和兩次沉寂態(tài)，因此稱之為雙Hopf簇發(fā)振動。

當激勵幅值繼續(xù)增加，系統(tǒng)存在遠離和趨近快變過程的吸引子兩種趨勢。激勵幅值的增加導致系統(tǒng)周期響應振幅在不同方向上增加。與幅值較小時相比，此時快變過程的吸引子對系統(tǒng)響應的吸引性減弱，導致高頻振動消失。但是，快變過程的穩(wěn)定吸引子依然存在，體現在軌線會遠遠地圍繞穩(wěn)定平衡線和極限環(huán)運動，如圖4（d）和（e）所示。如果激勵幅值繼續(xù)增加，快變過程吸引子的吸引性將會越來越弱，響應中周期激勵的特征越來越明顯。

綜上所述，可發(fā)現快變和慢變過程共同調節(jié)整個系統(tǒng)的響應。慢變周期激勵會使得系統(tǒng)軌線在區(qū)間[一f，f]之間振動，振動過程中軌線會遇到快變過程的不同類型的吸引子，因而產生不同的振動形式。當激勵振幅較小時，系統(tǒng)軌線將完全按照快變過程的穩(wěn)定吸引子運動;隨著幅值的增加，響應逐漸擺脫吸引子的吸引，即快變過程對系統(tǒng)響應的影響逐漸減弱，慢變過程的影響會逐漸增強。總之，不同穩(wěn)定吸引子的吸引是沉寂態(tài)和激發(fā)態(tài)相互轉遷的原因，這與Rinzel在其他領域的研究結果一致。因此，利用快慢分析法揭示快慢現象的產生機理是可靠的。

4 滯后現象及其產生機理

在簇發(fā)振動中，存在著激發(fā)態(tài)滯后的現象。如圖5所示，其中ω0，ω，γ，a和β與第1節(jié)保持一致。圖5（a）和（b）分別給出了f=2時周期激勵增加和減少兩個方向上的激發(fā)態(tài)滯后現象，即當廠cos（ωt）增大時，軌線經過Hopf分岔臨界點Hl后，并沒有馬上進入激發(fā)態(tài)而是依然保持了一段時間的沉寂態(tài)，然后才進入激發(fā)態(tài)，即產生激發(fā)態(tài)滯后現象。系統(tǒng)軌線經過H2后，也并沒有馬上進入沉寂態(tài)，而是維持了一段時間的激發(fā)態(tài)，此時產生沉寂態(tài)滯后現象。當fcos（ωt）減小時，軌線經過Hopf分岔臨界點H2和Hl后，情況亦然。下面用近似理論來分析與快時間有關的沉寂態(tài)過程的穩(wěn)定性。

令r=ωt， 并其代入式（1）中，得到下式：對于式（4）來說，快變過程的平衡點（x0，y0）=進一步討論穩(wěn)定平衡點類型可得，平衡點在

將方程（4）的沉寂態(tài)過程稱為準靜態(tài)解，用（x，y）表示。因為ω《1，（x，y）是O（ω）量級，因此（x，y）可以寫成如下形式

將式（5）和r=ωt代入式（1）中，對比ω零次冪的系數得到方程（1）的準靜態(tài)解（x00，y00）=（x0，y0），即因此

因為ω《1，所以可忽略ω和ω2等項，也即（x（z，ω），y（z，ω））=（x00，y00）可作為系統(tǒng)（4）的穩(wěn)態(tài)解。但準靜態(tài)解對時間t的穩(wěn)定性還不確定，因此需要進一步分析。

令代人式（1）得

由W KB指數近似理論[39]知式（9）存在以下形式的解式（11）與式（3）具有相同的形式。

在圖5中，Hl和H2關于廠cosz=O對稱，所以在H2附近的激發(fā)態(tài)滯后和在Hl附近的激發(fā)態(tài)滯后類似，因此只分析Hl附近的激發(fā)態(tài)滯后行為。從式（llb）發(fā)現，當2y-rax2=O時，FH1=

≈-0. 754。根據圖1可知，F

在圖5（a）中，f=2>1.01178，屬于有轉折點的情況。并且dφ/dz的取值情況如下

準靜態(tài)解（x，y）的穩(wěn)定性取決于φ=φ（z），即Re（φ）

當Re（φ）O時，準靜態(tài)解失穩(wěn)，激發(fā)態(tài)才會產生。因而往往存在激發(fā)態(tài)滯后于Hopf分岔點的現象。

下面將通過求式（14）的最小正解來計算滯后時間的近似值。

給出f=2在初值為z0=4. 162下的z與x的時間歷程圖，如圖6（a）所示。已知zB1=4.189，zH1=4. 326。根據式（16）可得f=2相對于初值z0=4. 162的滯后時間為：zh=z1 - zHl =4. 388 -4.326=0. 062。將圖6（a）局部放大可在圖6（b）中更直觀地看出滯后的時間z1與初值z0有關。進一步給出圖6（c）所示的z與dφ/dz關系圖，其中區(qū)域工的面積與區(qū)域Ⅱ的面積之和近似等于區(qū)域Ⅲ的面積，即

由于慢變參數激勵是周期激勵，所以激發(fā)態(tài)滯后也具有周期性。給出廠=2時初值分別為z0=4. 174，4.18，4.184的z與x的時間歷程圖，如圖7（a）所示。根據式（16）可得，第1個周期對應的滯后時間Th分別為：0. 059，0.0582，0.0581。隨著初值的增大，滯后時間逐漸減小。第2，3個周期的滯后時間分別約為0. 057，0.061。將圖7（a）中第1個周期、第2個周期和第3個周期Hl附近局部放大，可得只有第1個周期的時間歷程圖不重合。第1個周期之后，3個初值下Hl附近的時間歷程圖完全重合。由此，可說明第1個周期之后Hl附近的激發(fā)態(tài)滯后時間完全相同，并且與初值無關。

給定不同的初值，在第1個周期內激發(fā)態(tài)滯后時間與初值有關。延長時間到第3個周期結束，可發(fā)現不同初值下的時間歷程圖在第2，3個周期內激發(fā)態(tài)的滯后時間相同。因此，初值對激發(fā)態(tài)滯后時間的影響不是一直都存在，在第1個周期之后這種影響便消失了。利用匹配漸近展開法計算出每個周期內Hl附近的激發(fā)態(tài)滯后時間大約為0.06。

利用匹配漸近展開法和近似理論計算有無轉折點時激發(fā)態(tài)滯后時間是由Erneux等[41]提出的，此后，眾多學者[39-47]用近似理論求得了無轉折點時系統(tǒng)軌線緩慢通過分岔點時的滯后時間，本文考慮有轉折點時激發(fā)態(tài)滯后時間的條件與文獻[41]中的條件完全一致，計算過程與文獻[42]提出的匹配漸近展開法的計算過程相同。因此，利用匹配漸近展開法求周期激勵下van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)中激發(fā)態(tài)滯后時間是有效的。計算結果與數值模擬結果吻合良好，故結果是可靠的。

5 結 論

當引入慢變周期激勵時，van der Pol-Rayleigh系統(tǒng)是快慢耦合系統(tǒng)。在一定的參數范圍內系統(tǒng)存在典型的雙Hopf簇發(fā)響應。利用快慢分析方法，發(fā)現當軌線涉及兩個Hopf分岔臨界點時，系統(tǒng)將在不同吸引子之間切換，系統(tǒng)的雙穩(wěn)性導致了激發(fā)態(tài)和沉寂態(tài)的交替出現，即雙Hopf簇發(fā)。當軌線只涉及極限環(huán)吸引子時，系統(tǒng)只存在高頻振動的激發(fā)態(tài)，沉寂態(tài)消失。研究表明，在一定的參數范圍內，慢變過程和快變過程共同影響整個系統(tǒng)的響應類型。且幅值不同時，快慢過程對整個系統(tǒng)響應的影響作用也不同。在激勵幅值較小時，快變過程的影響更突出一些;激勵幅值較大時，慢變過程的周期激勵對系統(tǒng)的影響更明顯一些。此外，在Hopf分岔臨界點Hl和H2附近存在激發(fā)態(tài)滯后行為，利用匹配漸近展開法給出了有轉折點時激發(fā)態(tài)滯后的近似時間，給Hopf分岔控制的研究提供一定的理論指導。

參考文獻：

[1] Georgiou I T，Bajaj A K， Corless M. Slow and fast in-variant manifolds， and normal modes in a two degree-of-freedom structural dynamical system with multipleequilibrium states[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics， 1998， 33（2）： 275-300.

[2] Marszalek W， Trzaska Z W. Memristive circuits withsteady-state mixed-mode oscillations[J]. ElectronicsLetters， 2014， 50（18）：1275-1277.

[3] Barnett W H， Cymbalyuk G S. A codimension-2 bi-furcation controlling endogenous bursting activity andpulse-triggered responses of a neuron model[J]. PloSone， 2014， 9（1）：e85451.

[4] 陸 博，神經元的混合模式振動及動力學研究[D].廣州：華南理工大學，2 016.

Lu Bo. Mixed mode oscillation and dynamics of neu-rons[D]. Guangzhou： South China University ofTechnology， 2016.

[5] Rachwalska M， Kawczynski A L.Regularities in com-plex transient oscillations in the Belousov-ZhabotinskyReaction in a CSTR[J]. The Journal of PhysicalChemistry A， 1997， 101（8）： 1518-1522.

[6] 李向紅，不同時間尺度耦合化學振動反應的非線性分析[D].鎮(zhèn)江：江蘇大學，2013.

Li Xianghong. Nonlinear analysis of coupled chemicaloscillations with different time scales[D]. Zhenjiang：Jiangsu University， 2013.

[7] Babacan Y， Kacar F， Gurkan K.A spiking and burst-ing neuron circuit based on memristor[J]. Neurocom-puting， 2016， 203： 86-91.

[8] Ji Y， Bi Q. Bursting behavior in a non-smooth electriccircuit[J].Physics Letters A， 2010， 374 （13-14）：14 34-1439。

[9] Petrov V， Scott S K， Showalter K. Mixed-mode oscil-lations in chemical systems[J]. Journal of ChemicalPhysics， 1992， 97（9）：6191-6198.

[10] Koper M T M. Bifurcations of mixed-mode oscillationsin a three-variable autonomous van der Pol-Duffingmodel with a cross-shaped phase diagram[J]. PhysicsD-Nonlinear Phenomena， 1995， 80（1）：72-94.

[11] Han X， Bi Q， Zhang C， et al. Study of mixed-modeoscillations in a parametrically spiking van der Pol sys-tem[J]. Nonlinear Dynamics， 2014， 77 （4）： 1285-12 96.

[12] Xie Y， Chen L， Kang Y M， et al.Controlling the on-set of Hopf bifurcation in the Hodgkin-Huxley model[J]. Physical Review E Statistical Nonlinear&SoftMatter Physics， 2008， 77（6）： 061921.

[13] Rinzel J，Lee Y S.Dissection of a model for neuronalparabolic bursting[J]. Journal of Mathematical Biolo-gy， 1987， 25（6）： 653-675.

[14] Izhikevich E M. Neural excitability， spiking and burst-ing[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos，2000， 10（6）：1171-1266.

[15]王曉宇，金棟平，計入姿態(tài)的繩系衛(wèi)星概周期振蕩[J].振動工程學報，2010， 23（4）：361-365.

Wang Xiaoyu， Jin Dongping. Quasi-periodic oscillationof a tethered subsatellite with attitude[J]. Journal ofVibration Engineering， 2010， 23（4）：361-365.

[16] Jiang S Y， Xu J，Yan Y. Stability and oscillations in aslow-fast flexible joint system with transformation de-lay[J].Acta Mechanica Sinica， 2014， 30 （5）： 727-738.

[17]王海俠，陸啟韶，對稱電耦合連接方式下的多尺度同步行為和轉遷過程[J].動力學與控制學報，2011， 09（3）： 214-218.

Wang Haixia， Lu Qishao. Multi-time-scale synchroni-zation and transitions with symmetrical and electricalcoupling schemes[J]. Journal of Dynamics&Control，2011， 09（3）：214-218.

[18]楊卓琴，陸啟韶，神經元Chay模型中不同類型的簇放電模式[J].中國科學G輯，2007， 37 （4）： 440-450.

Yang Zhuoqin， Lu Qishao. Different types of clusterdischarge patterns in the Chay neuron model[J]. Sci-ence in China（Series G），2007， 37（4）： 440-450.

[19] Wang Q， Lu Q， Chen G. Synchronization transitioninduced by synaptic delay in coupled fast-spiking neu-rons[J]. International Journal of Bifurcation and Cha-os. 2008， 18（04）：1189-1198.

[20] Yang Z Q， Zhang X.Compound bursting in an electri-cal coupling model with three different time scales[J]. Acta Physica Sinica， 2013， 62（12）： 170508.

[21]孟 盼，陸啟韶，趙 勇，等，兩房室神經元模型的同步簇放電的動力學分析[J].動力學與控制學報，2016，14（6）：566-570.

Meng Pan， Lu Qishao， Zhao Yong， et al. Dynamicsanalysis of synchronous bursting in two-compartmentneuron[J]. Journal of Dynamics&Control， 2016， 14（6）： 566-570.

[22] Zhang Z D， Liu Y N，et al. Bursting oscillations andmechanism of sliding movement in piecewise Filippovsystem[J]. Acta Physica Sinica， 2018， 67 （11）：1105 01.

[23] Han X， Wei M， Bi Q， et al. Obtaining amplitude-modulated bursting by multiple-frequency slow para-metric modulation[J]. Physical Review E， 2018， 97（1）：012202.

[24]張正娣，彭 淼，曲子芳，等，頻域兩尺度下非光滑Duffing系統(tǒng)的簇發(fā)振動及其機理分析[J].中國科學：物理學力學天文學，2018， 48（11）：22-33.

Zhang Zhengdi， Peng Miao， Qu Zifang， et al. Burst-ing oscillations and mechanism analysis in a non-smooth Duffing system with frequency domain of twotime scales[J]. Scientia Sinica Pysica， Mechanica&Astronomica， 2018， 48（11）：22-33.

[25]季 穎，畢勤勝，高維廣義蔡氏電路中的快慢動力學行為及其分岔分析[J].物理學報，2012， 61（01）：9—14.

Ji Ying， Bi Qinsheng. Bifurcation analysis of slow-fastbehavior in High-dimensional generalized Chua's circuit[J]. Acta Physica Sinica， 2012， 61（01）： 9-14.

[26] 11 Xianghong， Hou Jingyu， Chen Jufeng. An analyti-cal method for Mathieu oscillator based on method ofvariation of parameter[J]. Communications in Nonlin-ear Science and Numerical Simulation， 2016， 37： 326-353.

[27] 11 Xianghong， Bi Qinsheng. Bursting oscillation in COoxidation with small excitation and the envelopingslow-fast analysis method[J]. Chinese Physics B，2012.（6）：100-106.

[28]劉富豪，張 亮，蔣漢軍，等，基于速度協(xié)調法的齒輪碰撞動力學分析[J].振動工程學報，2017， 30（3）：367-377.

Liu Fuhao， Zhang Liang， Jiang Hanjun， et al. Dy-namical analysis of collision for gear with velocity-modulated method[J]. Journal of Vibration Engineer-ing， 2017， 30（3）：367-377.

[29] Roberts A，Widiasih E，Wechselberger M，et al.Mixed mode oscillations in a conceptual climate model[J]. Physica D-Nonlinear Phenomena， 2015， 292-293：70-83.

[30] Mitra V， Prakash N H，Solomon I，et al. Mixedmode oscillations in presence of inverted fireball in anexcitable DC glow discharge magnetized plasma[J].Physics of Plasmas， 2017， 24（2）：022307.

[31] Kingston S L， Suresh K， Thamilmaran K. Mixed-mode oscillations in memristor emulator based Lienardsystem[C]. Mumbai， India：AIP Proceedings， 2018，1942 （1）：060008.

[32] Carlos A， Filho P， Dutra M S.Application of hybridvan der Pol-Rayleigh oscillators for modeling of a bi-pedal robot[J].Mechanics of Solids in Brazil， 2009，1：209-221.

[33] Erlicher S，Trovato A， Argoul P.A modified hybridvan der Pol/Rayleigh model for the lateral pedestrianforce on a periodically moving floor[J]. MechanicalSystems&Signal Processing， 2013， 41（1-2）： 485-501.

[34] Trovato A， Kumar A， Erlicher S.Stability analysis ofentrained solutions of the non-autonomous modifiedhybrid van der Pol/Rayleigh oscillator： Theory and ap-plication to pedestrian modeling[J]. Annals of Solid&Structural Mechanics， 2014， 6（1-2）：1-16.

[35] Benguria R D， Depassier M C. Variational principlefor limit cycles of the Rayleigh-van der Pol equation[J]. Physical Review E， 1999， 59（5） ： 4889-4893.

[36] Lupu M， Isaia F. The study of some nonlinear dynamicalsystems modelled by a more general Rayleigh-van der Poleequation[J]. Guizhou Science， 2007， 16： 81-90.

[37] Huang Z T. Random attractions and bifurcation forthe classical Rayleigh-van der Pol equations with smallnoise[J]. Journal of Mathematical Chemistry， 2013，51（9） ： 2340-2353.

[38] Yang G， Xu W， Feng J， et al. Response analysis ofRayleigh-Van der Pol vibro-impact system with inelas-tic impact under two parametric white-noise excitations[J]. Nonlinear Dynamics， 2015， 82（4）： 1797-1810.

[39] Bender C M， Orszag S A. Advanced MathematicalMethods for Scientists and Engineers I： AsymptoticMethods and Perturbation Theory[M]. Springer Sci-ence& Business Media， 2013.

[40] Han X， Bi Q， Zhang C， et al. Study of mixed-modeoscillations in a parametrically spiking van der Pol sys-tem[J]. Nonlinear Dynamics， 2014， 77（4）： 1285-12 96.

[41] Erneux T， Reiss E L， Holden L J， et al. Slow Pas-sage through Bifurcation and Limit Points[M]. Dy-namie Bifurcations， Springer， Berlin Heidelberg，1991： 14-28.

[42]本德 C M，奧斯扎戈s A.高等應用數學方法 [M].北京 ： 科學出版社， 1992.

Bender C M， Orszag S A. Advanced MathematicalMethods for Scientists and Engineers[M]. Beijing：Science Press， 1992.

[43] Holden L， Erneux T. Understanding bursting oscilla-tions as periodic slow passages through bifurcation andlimit points [J]. Journal of Mathematical Biology，1993， 31（4）： 351-365.

[44] Holden L ， Erneux T . Slow passage through a Hopfbifurcation： From oscillatory to steady state solutions[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics， 1993， 53（4） ： 1045-1058.

[45] Strizhak P， Menzinger M. Slow passage through a su-percritical Hopf bifurcation： Time-delayed response inthe Belousov-Zhabotinsky reaction in a batch reactor[J]. Journal of Chemical Physics， 1996， 105 （24）：10905-10910.

[46] Desroches M， Kaper T J， Krupa M. Mixed-modebursting oscillations： Dynamics created by a slow pas-sage through spike-adding canard explosion in asquare-wave burster[J]. Chaos， 2013， 23 （4）： 37-119.

[47] Bilinsky L M ， Baer S M. Slow passage through aHopf bifurcation in excitable nerve cables： Spatial de-lays and spatial memory effects[J]. Bulletin of Mathe-matical Biology， 2018， 80（1） ： 130-150.