韋 凱 王 平 牛澎波

(西南交通大學(xué)， 成都 610031)

我國(guó)高速鐵路建設(shè)經(jīng)過(guò)多年的創(chuàng)新發(fā)展，成功建立了時(shí)速250 km與350 km兩個(gè)高速鐵路建造體系[1]。隨著行車速度的提高，再加上軌道不平順和軌道結(jié)構(gòu)的變形[2]，輪軌高頻振動(dòng)也逐漸加劇。

為了分析輪軌系統(tǒng)的高頻振動(dòng)特性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者從軌道結(jié)構(gòu)的多個(gè)方面做了大量的相關(guān)研究。徐志勝[3]等人通過(guò)對(duì)高速鐵路車輛-軌道耦合振動(dòng)仿真分析，對(duì)比了Timoshenko梁與Euler梁模型對(duì)輪軌高頻振動(dòng)仿真結(jié)果的影響。高建敏、翟婉明[4]等人分析了軌道幾何不平順波長(zhǎng)變化對(duì)高速車輛系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)影響。劉子煊[5]將描述扣件膠墊幅變相關(guān)的Berg摩擦模型和頻變相關(guān)的分?jǐn)?shù)階Zener模型應(yīng)用到車輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中，對(duì)比分析了膠墊的幅頻變特性對(duì)輪軌系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，但是其動(dòng)力仿真計(jì)算模擬的鋼軌模態(tài)階數(shù)未能準(zhǔn)確地反映扣件膠墊幅頻變特性在中高頻的動(dòng)力特性，導(dǎo)致輪軌系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果偏大。

隨著高速鐵路行車速度的提高，為更準(zhǔn)確地分析輪軌高頻動(dòng)力響應(yīng)，本文選用能夠更準(zhǔn)確描述扣件膠墊高頻動(dòng)力特性的幅頻變模型模擬其動(dòng)態(tài)力學(xué)特性，對(duì)比計(jì)算了高頻隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)下鋼軌模態(tài)階數(shù)對(duì)動(dòng)力仿真計(jì)算結(jié)果的影響，為準(zhǔn)確的分析在車輛-軌道耦合系統(tǒng)高頻隨機(jī)動(dòng)力學(xué)中輪軌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)提供參考依據(jù)。

圖1 扣件膠墊幅頻變動(dòng)力性能的力學(xué)本構(gòu)模型圖

1 扣件膠墊幅頻變特性的本構(gòu)模型

扣件系統(tǒng)中的扣件膠墊屬于粘彈性材料(橡膠材料)，主要表現(xiàn)為與溫度、激振頻率以及激勵(lì)振幅的非線性特性[6]。高速鐵路輪軌系統(tǒng)振動(dòng)為寬頻振動(dòng)，扣件膠墊變形最大應(yīng)變可達(dá)到30%～40%，這樣的變形已經(jīng)超出了橡膠材料的線性應(yīng)變范圍，采用線性模型不能準(zhǔn)確表征其動(dòng)力性能，需在高速鐵路扣件系統(tǒng)中采用更精確的模型去描述扣件膠墊的動(dòng)力特性?？奂z墊幅頻變動(dòng)力性能的力學(xué)本構(gòu)模型，如圖1(a)所示，模型中包括摩擦元件和粘彈性元件，總應(yīng)力分為摩擦力和粘彈性力，用公式表示為：

F=Fve+Ff

(1)

式中：Fve——頻變相關(guān)的粘彈性力;

Ff——幅變相關(guān)的摩擦力。

1.1 頻變相關(guān)性力的數(shù)學(xué)描述

本文采用的分?jǐn)?shù)階Zener模型能夠用4個(gè)參數(shù)有效描述扣件膠墊的頻變動(dòng)力性能[7]，其模型圖如圖1(b)所示，時(shí)域本構(gòu)方程為：

(2)

式中:Fve(t)——扣件膠墊的粘彈性力;

x(t)——扣件膠墊的位移;

α——分?jǐn)?shù)階數(shù);

τ——高聚物松弛時(shí)間;

K0——當(dāng)激振圓頻率ω趨于0時(shí)的儲(chǔ)能剛度;

K∞——當(dāng)激振圓微率w趨于正無(wú)窮時(shí)的儲(chǔ)能剛度。

通過(guò)進(jìn)行傅里葉變換得模型的復(fù)剛度，表達(dá)式：

(3)

由式(3)可得到分?jǐn)?shù)階Zener模型與激振頻率相關(guān)的儲(chǔ)能模量與損耗因子。

(4)

(5)

式中：Δt——數(shù)值積分步長(zhǎng)；

N——積分步數(shù)；

Ai+1——Grünwald系數(shù)。

Ai+1滿足公式：

(6)

把式(4)、式(5)帶入式(3)中，經(jīng)化簡(jiǎn)得到扣件膠墊粘彈性力的表達(dá)式：

(7)

采用分?jǐn)?shù)階Zener模型計(jì)算每一個(gè)積分步的扣件支反力時(shí)，需計(jì)算所有時(shí)刻扣件膠墊的動(dòng)態(tài)位移，隨著積分步數(shù)的增加，會(huì)影響數(shù)據(jù)存儲(chǔ)空間與計(jì)算效率。針對(duì)此問(wèn)題Spanos等人指出，在積分計(jì)算時(shí)，只需求出當(dāng)前時(shí)間步之前160步的位移，便能得到滿意的結(jié)果[9]。基于此，本文在用式(7)積分計(jì)算時(shí)，當(dāng)總積分步數(shù)小于160時(shí)，取N=N；當(dāng)積分步數(shù)大于160時(shí)，取N=160。

從式(7)可以看出，分?jǐn)?shù)階數(shù)值積分不僅與當(dāng)前積分步的值緊密相關(guān)，且整個(gè)積分過(guò)程中每一步的計(jì)算結(jié)果緊密相關(guān)，所以能更好地描述扣件膠墊的動(dòng)力學(xué)特性。

1.2 振幅相關(guān)性力的數(shù)學(xué)描述

M Sjoberg[10]等人認(rèn)為表現(xiàn)為振幅相關(guān)性的力主要是橡膠內(nèi)部大分子運(yùn)動(dòng)之間的摩擦造成的，表現(xiàn)為摩擦力。這種摩擦力僅與振幅有關(guān)，與激振頻率無(wú)關(guān)。本文對(duì)扣件膠墊中的摩擦力采用Berg摩擦模型進(jìn)行表征，其表達(dá)式為：

(8)

式中：ffmax——扣件膠墊的最大摩擦力;

x2——摩擦力達(dá)到最大摩擦力一半大小時(shí)板的最大位移;

ffs——摩擦力；

xs——每次位移方向發(fā)生變化參考點(diǎn)的位移。

1.3 模型參數(shù)

文獻(xiàn)[7]測(cè)試了Vossloh300型扣件系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)粘彈性動(dòng)力性能。根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)幅變相關(guān)的Berg摩擦模型和頻變相關(guān)的分?jǐn)?shù)階Zener模型的參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，得到較好的擬合結(jié)果。本文在其基礎(chǔ)上采用同樣的測(cè)試方法，在忽略扣件膠墊幅變特性的情況下，將實(shí)測(cè)力認(rèn)為是粘彈性力，直接用分?jǐn)?shù)階Zener模型對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，用于對(duì)比分析有無(wú)幅變摩擦特性對(duì)扣件膠墊動(dòng)力特性的影響。有無(wú)幅變摩擦特性對(duì)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行參數(shù)識(shí)別結(jié)果，如表1所示。

表1 幅頻變模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果

2 鋼軌模態(tài)階數(shù)對(duì)車輛-軌道垂向耦合系統(tǒng)高頻振動(dòng)的影響

本文以我國(guó)高速鐵路無(wú)砟軌道為例，建立車輛-軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示。其中車輛選用我國(guó)CRH380型高速客車，軌道選用長(zhǎng)枕埋入式無(wú)砟軌道型式。以本文選用的分?jǐn)?shù)階Zener模型和Berg摩擦力模型計(jì)算扣件膠墊垂向支反力，計(jì)算分析了車輛-軌道垂向耦合系統(tǒng)高頻隨機(jī)振動(dòng)仿真分析中鋼軌模態(tài)階數(shù)對(duì)輪軌系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響。

圖2 車輛-軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)模型圖

2.1 計(jì)算工況

將高速客車簡(jiǎn)化為垂向具有10個(gè)自由度的車體模型，鋼軌采用離散點(diǎn)支承的有限長(zhǎng)Euler梁模型模擬。車輛和軌道的動(dòng)力參數(shù)可參考文獻(xiàn)[11]。在輪軌垂向耦合系統(tǒng)中，輪軌關(guān)系采用Hertz非線性彈性接觸理論進(jìn)行計(jì)算。

本文模擬高速客車運(yùn)營(yíng)車速350 km/h，軌道不平順采用TB/T 3352-2014《高速鐵路無(wú)砟軌道不平順譜》進(jìn)行仿真計(jì)算。該不平順譜波長(zhǎng)范圍為2～200 m，激振頻率最高只有48.6 Hz，遠(yuǎn)不能滿足本文研究的頻率范圍，因此，將最短波長(zhǎng)延伸到0.1 m，使激振頻率最高達(dá)到972.2 Hz，然后再對(duì)輪軌動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算。

圖3 不同模態(tài)階數(shù)下的輪軌力幅值

2.2 模態(tài)階數(shù)的選取

已有的文獻(xiàn)研究結(jié)果表明，鋼軌模態(tài)階數(shù)與軌道扣件支點(diǎn)數(shù)Nf存在某種匹配關(guān)系[12]。本文先數(shù)值計(jì)算了鋼軌模態(tài)階數(shù)取扣件支點(diǎn)數(shù)的0.4～1.5倍范圍內(nèi)的輪軌力最大值變化曲線，如圖3所示。從圖中可以看出，當(dāng)模態(tài)階數(shù)從0.4Nf增大到0.8Nf時(shí)，輪軌力最大值從144.9 kN減小到了95.8 kN，減小幅度為33.9%；當(dāng)模態(tài)階數(shù)從0.8Nf增大到1.5Nf時(shí)，輪軌力變化幅值不大。因此，本文在動(dòng)力仿真中，選取鋼軌模態(tài)階數(shù)0.5Nf、Nf、1.5Nf3種計(jì)算工況，對(duì)比分析不同鋼軌模態(tài)階數(shù)對(duì)輪軌系統(tǒng)仿真計(jì)算的影響。

2.3 模態(tài)階數(shù)對(duì)輪軌系統(tǒng)仿真計(jì)算的影響

通過(guò)試算發(fā)現(xiàn)，動(dòng)力仿真中鋼軌模態(tài)階數(shù)對(duì)車輛系統(tǒng)垂向振動(dòng)產(chǎn)生的影響很小，因此本文著重研究3種鋼軌模態(tài)階數(shù)取值對(duì)軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。

(1)輪軌力對(duì)比

本文計(jì)算了3種鋼軌模態(tài)階數(shù)取值下輪軌力時(shí)/頻域曲線，如圖4、圖5所示。從圖4中可以看出，模態(tài)階數(shù)取0.5Nf時(shí)，輪軌力時(shí)域計(jì)算值明顯偏大，鋼軌模態(tài)階數(shù)取Nf和1.5Nf計(jì)算得到的輪軌力時(shí)域結(jié)果相差不大。在頻域結(jié)果中，3種計(jì)算條件的輪軌力振幅值在1/3倍頻程中心頻率50 Hz以下的頻帶內(nèi)幾乎沒(méi)有變化；而在60 Hz和800 Hz處的主頻范圍，鋼軌模態(tài)階數(shù)取0.5Nf計(jì)算的輪軌力振幅明顯大于取Nf和1.5Nf，特別是在800 Hz處的高頻范圍，輪軌力振幅隨模態(tài)階數(shù)的取值變化更大。

圖4 輪軌力時(shí)域圖

圖5 輪軌力頻域圖

(2)輪對(duì)垂向振動(dòng)加速度對(duì)比

輪對(duì)垂向振動(dòng)加速度時(shí)/頻域計(jì)算結(jié)果對(duì)比，如圖6、圖7所示，從圖中可以看出，鋼軌模態(tài)階數(shù)對(duì)其仿真結(jié)果的影響與輪軌力的影響相似。時(shí)域結(jié)果的加速度最大值隨鋼軌模態(tài)階數(shù)的增大而降低；在頻域中，高頻范圍的加速度振級(jí)隨鋼軌模態(tài)階數(shù)的增大而減小。

圖6 輪對(duì)垂向振動(dòng)加速度時(shí)域圖

圖7 輪對(duì)垂向振動(dòng)加速度頻域圖

(3)鋼軌垂向響應(yīng)對(duì)比

3計(jì)算條件下的鋼軌位移時(shí)程曲線，如圖8所示，從圖中可以看出，鋼軌模態(tài)階數(shù)對(duì)鋼軌垂向位移最大值影響不大，且均未超過(guò)鋼軌垂向位移基準(zhǔn)值1.5 mm和最大允許值2 mm。由于粘彈性材料中內(nèi)摩擦力的作用，在列車車輪駛過(guò)的時(shí)刻，鋼軌位移沒(méi)能立刻恢復(fù)到0 mm。

圖8 鋼軌垂向位移時(shí)域圖

鋼軌垂向振動(dòng)加速度的時(shí)域仿真結(jié)果，如圖9所示。從圖中可以看出，鋼軌模態(tài)階數(shù)分別取0.5Nf、Nf和1.5Nf時(shí)，計(jì)算得到的加速度最大值分別為480.73 m/s2、302.28 m/s2、303.89 m/s2。對(duì)比發(fā)現(xiàn)鋼軌模態(tài)階數(shù)取值較小時(shí)，計(jì)算的鋼軌振動(dòng)加速度值偏大。鋼軌垂向振動(dòng)和加速度振級(jí)頻域仿真結(jié)果，如圖10所示。從圖中可以看出，鋼軌模態(tài)階數(shù)的取值主要影響中心頻率在400 Hz的鋼軌垂向振動(dòng)加速度振級(jí)。

圖9 鋼軌垂向振動(dòng)加速度時(shí)域圖

圖10 鋼軌垂向振動(dòng)加速度振級(jí)頻域圖

3 結(jié)論

為更準(zhǔn)確地分析高頻激振條件下的高速鐵路無(wú)砟軌道仿真計(jì)算的輪軌動(dòng)力響應(yīng)，本文通過(guò)采用扣件膠墊幅頻變相關(guān)的Berg摩擦模型和分?jǐn)?shù)階Zener模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)的線性模型，建立了高速鐵路無(wú)砟軌道的車輛—軌道垂向耦合模型，在此基礎(chǔ)上分析了鋼軌模態(tài)階數(shù)的取值對(duì)輪軌垂向系統(tǒng)時(shí)頻域動(dòng)力響應(yīng)仿真結(jié)果的影響，得出以下主要結(jié)論：

(1)在輪軌動(dòng)力響應(yīng)的時(shí)域仿真結(jié)果中，鋼軌模態(tài)取值較低會(huì)使輪軌力、輪對(duì)加速度和鋼軌加速度計(jì)算得到的最大值偏大，隨著鋼軌模態(tài)階數(shù)的取值增大，軌動(dòng)力響應(yīng)的最大值逐漸減小并趨于穩(wěn)定，而鋼軌的垂向位移變化不大。

(2)鋼軌模態(tài)階數(shù)取值主要影響輪軌系統(tǒng)在中高頻范圍的動(dòng)力仿真結(jié)果。存在高頻激振的情況下，鋼軌模態(tài)階數(shù)取值的不足，在中高頻段的主頻范圍內(nèi)使輪軌的動(dòng)力仿真結(jié)果被放大。

(3)由時(shí)頻域計(jì)算結(jié)果可知，為確保輪軌動(dòng)力仿真得到更加準(zhǔn)確的結(jié)果，需要根據(jù)激振頻率的大小，對(duì)鋼軌模態(tài)階數(shù)進(jìn)行合理的取值，對(duì)于激振頻率較高的高速鐵路動(dòng)力仿真計(jì)算，本文建議將鋼軌模態(tài)階數(shù)最低取到軌道中的扣件個(gè)數(shù)。