董朝陽，劉 晨，王 青，劉雨昂

(1. 北京航空航天大學航空科學與工程學院，北京 100191；2. 北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京 100191)

0 引 言

臨近空間是指海拔在20～100 km之間的空域[1-2]。近空間飛行器(Near space vehicle，NSV)是指持續(xù)飛行在臨近空間內(nèi)以完成特定的軍事或民用任務的飛行器[3]。近空間飛行器具有飛行包線大，飛行速度快，發(fā)射時間短，續(xù)航時間長及生存能力強的特點，從而引起各國深入研究和廣泛關(guān)注[4]。另一方面，臨近空間中的飛行環(huán)境存在著較大的差異，空氣密度與溫度變化較為復雜，風場干擾十分劇烈。這些因素使得NSV的數(shù)學模型呈現(xiàn)出很強的非線性，各通道間的強耦合性，快時變性以及劇烈變化的氣動特性，傳統(tǒng)的控制器設計方法將不再適用，也導致NSV的控制系統(tǒng)設計十分困難。

目前，針對NSV的控制系統(tǒng)設計已存在一定的成果。文獻[5]針對考慮控制器故障的NSV信號跟蹤問題，設計了基于T-S模糊系統(tǒng)的自適應容錯控制策略。文獻[6]針對考慮參數(shù)不確定以及執(zhí)行器故障的NSV指令跟蹤問題，設計了一種魯棒可靠控制器設計方法。文獻[7]建立了非線性切換模型對NSV的動態(tài)進行描述，設計了自適應模糊動態(tài)面控制器，并基于公共Lyapunov方法對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了分析。文獻[8]通過非線性干擾觀測器對NSV受到的干擾進行觀測，并基于反步法設計了變增益魯棒控制器。文獻[9]提出了一種基于滑模干擾觀測器的廣義預測控制方法，提高了NSV的抗擾能力。文獻[10]設計了二階終端滑?？刂破?，提高了NSV指令跟蹤的收斂速度。文獻[11]針對受飽和約束限制的NSV姿態(tài)控制問題，提出了一種基于輸入飽和抑制的自適應模糊控制器設計方法。

但前述成果中，均僅針對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性進行控制器設計，未考慮對指令信號的動態(tài)跟蹤性能以及姿態(tài)角速度的約束。若在動態(tài)過程中系統(tǒng)的跟蹤誤差或者姿態(tài)角速度過大，則需要較大的控制信號確保系統(tǒng)穩(wěn)定，從而容易引起控制器的飽和，控制性能也會有所下降，嚴重時甚至導致系統(tǒng)失穩(wěn)。基于Barrier Lyapunov函數(shù)的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法是解決這一問題的有效方法，且在理論與工程中均已有較多應用。文獻[12]針對一類考慮狀態(tài)受限問題的非線性系統(tǒng)進行了研究，基于Barrier Lyapunov方法對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行了分析，并提出了一種自適應次優(yōu)控制器的設計方法。文獻[13]解決了一類考慮時變輸出約束的非線性系統(tǒng)的控制器設計問題。文獻[14]針對高超聲速飛行器的高度及速度指令跟蹤誤差及攻角、俯仰角和俯仰角速度受限的問題，通過引入Barrier Lyapunov函數(shù)，基于反步法進行了自適應控制器的設計。文獻[15]針對一類考慮時變狀態(tài)約束的直流電機控制問題，設計了自適應神經(jīng)網(wǎng)絡控制器。因此，本文后續(xù)將結(jié)合公共Barrier Lyapunov函數(shù)方法，以解決NSV的跟蹤性能約束及狀態(tài)受限情況下的控制器設計問題。

基于上述分析，本文針對一類存在外部干擾及不確定項的可變后掠角NSV非線性切換模型，考慮對指令信號的跟蹤性能以及姿態(tài)角速度的約束，對其指令跟蹤問題進行研究。針對以非線性切換系統(tǒng)描述的NSV姿態(tài)角子系統(tǒng)及姿態(tài)角速度子系統(tǒng)，分別設計模糊系統(tǒng)對子系統(tǒng)內(nèi)的未知非線性項進行實時估計，在所設計的切換控制器中對所受擾動進行實時補償，并構(gòu)造公共Barrier Lyapunov函數(shù)確保整個切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性，確保了系統(tǒng)在指令跟蹤過程中能夠滿足對跟蹤性能以及系統(tǒng)狀態(tài)的約束，從而有更為良好的動態(tài)特性；數(shù)值仿真驗證了本文所提出控制方案的有效性與優(yōu)越性。

1 問題描述

本文所研究的NSV氣動外形如圖1所示[7]。NSV的控制主要由發(fā)動機推力矢量和氣動操縱機構(gòu)來實現(xiàn)，氣動操縱機構(gòu)主要有單垂尾方向舵、左右升降副翼舵以及可伸縮水平鴨翼。NSV能夠通過調(diào)整機翼后掠角保證各飛行階段的飛行操縱性能[8]。

圖1 NSV氣動外形Fig.1 Near space vehicle aerodynamic model

NSV的姿態(tài)動力學模型如式(1)所示[7]:

(1)

(2)

(3)

(4)

[sinα(tanγsinμ+tanβ)-

cosαtanγcosμsinβ]

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

假設Ωref=[αref,βref,μref]T為給定的制導指令信號，并定義姿態(tài)角跟蹤誤差為eΩ=Ω-Ωref，則本文的目標即為：在NSV受到外部擾動以及參數(shù)不確定影響的情況下設計控制器，確保NSV的姿態(tài)控制系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)對給定制導指令的快速穩(wěn)定跟蹤，同時確保系統(tǒng)滿足如下跟蹤誤差約束及狀態(tài)約束：

(12)

(13)

其中：

AeΩ=[Aeα,Aeβ,Aeμ]T,Aω=[Ap,Aq,Ar]T

(14)

且Aeα,Aeβ,Aeμ,Ap,Aq,Ar均為正常數(shù)。

在前述分析的基礎(chǔ)上，本文對NSV的姿態(tài)控制問題做出如下假設：

假設1[7].飛行器的姿態(tài)角及姿態(tài)角速度信息均可測，參考跟蹤信號Ωref光滑連續(xù)。

注1.制導回路產(chǎn)生的指令信號應確保系統(tǒng)的飛行過程是平穩(wěn)的，且對飛行器姿態(tài)及姿態(tài)角速度的測量在實際工程中易于實現(xiàn)，因此假設1合理；在NSV后掠角變化過程中，飛行器的轉(zhuǎn)動慣量始終是正值且有界，因此假設2合理；假設3說明飛行器的初始姿態(tài)應調(diào)節(jié)到制導指令給定的初始值附近，這在實際飛行過程中也是易于實現(xiàn)的。

2 基于模糊系統(tǒng)的非線性切換控制器設計

本文研究NSV在后掠角變化時多模態(tài)間切換的控制器設計問題，同時假設飛行器水平鴨翼收入機體內(nèi)不起控制作用?？刂破鞯脑O計目標是當飛行器進行模態(tài)切換時,控制器能夠?qū)崿F(xiàn)對給定指令信號的穩(wěn)定跟蹤控制，并保證系統(tǒng)滿足給定的跟蹤性能及系統(tǒng)狀態(tài)約束。針對NSV的非線性切換模型具有嚴格反饋形式以及飛行器模型參數(shù)不確定、外部干擾強的特點，擬利用公共Barrier Lyapunov函數(shù)方法對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行分析，并設計模糊系統(tǒng)對系統(tǒng)的未知擾動與不確定進行實時估計，通過反步法完成控制器的設計。

2.1 模糊系統(tǒng)設計

以如下的模糊規(guī)則定義一個模糊系統(tǒng):

那么y是Gi,i=1,2,…,N

(15)

若定義模糊基函數(shù)為：

(16)

y(x)=θTφ(x)

(17)

引理1[16].若f(x)為定義在緊集Θ上的連續(xù)函數(shù)，則對模糊系統(tǒng)(17)及任意常數(shù)ε>0，均有

(18)

(19)

(20)

注2.本文后續(xù)擬采用公共Lyapunov函數(shù)方法對切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析，在基于反步法的控制器設計過程中，需要針對所有子系統(tǒng)設計公共的虛擬控制量。因此，在本文中針對外環(huán)設計的模糊系統(tǒng)中包含對切換非線性函數(shù)的估計，在虛擬控制器中以連續(xù)的估計值代替原不連續(xù)的切換函數(shù)，從而確保了后續(xù)所設計的公共虛擬控制量的連續(xù)性。與傳統(tǒng)的通過自適應方法進行公共虛擬控制量設計的方法[7-8]相比，上述對于切換非線性函數(shù)處理的優(yōu)勢即在于能夠有效地降低虛擬控制量的復雜度。另一方面，增加部分預估計的非線性項并不會增加模糊系統(tǒng)的負擔。

2.2 基于反步法的控制器設計

第一步：由式(1)及式(19)可知，跟蹤誤差的動態(tài)為：

(21)

(22)

其中，ln(e)表示e的自然對數(shù)。同時，設計姿態(tài)角系統(tǒng)的虛擬控制器為：

(23)

式中，kΩ=diag{k1,k2,k3},k1,k2,k3>0表示控制器增益。從而，可得式(22)的導數(shù)為：

(24)

根據(jù)Young不等式：

(25)

將(25)代入(24)可得：

(26)

第二步：定義姿態(tài)角速度指令跟蹤誤差eω=ω-ωref，結(jié)合式(1)和式(20)，得到姿態(tài)角速度跟蹤誤差的動態(tài)為：

(27)

為確保系統(tǒng)外環(huán)跟蹤誤差滿足式(12)，則系統(tǒng)狀態(tài)約束(13)也必須同時滿足。假設虛擬控制量ωref有界且滿足：

(28)

式中，Aωref=[Apref,1qref,Arref]T，且Apref,Aqref,Arref>0。從而，若令Aeω=[Aeq,Aeq,Aer]T,Aeq,Aeq,Aer>0，且所設計的控制器能夠確保姿態(tài)角速度子系統(tǒng)的跟蹤誤差滿足：

(29)

則系統(tǒng)的狀態(tài)約束(13)將同時成立。也即，系統(tǒng)狀態(tài)約束(13)被轉(zhuǎn)化為對虛擬控制量的跟蹤誤差約束(29)。在此基礎(chǔ)上，可選擇Barrier Lyapunov函數(shù)的形式為：

(30)

此時，可設計姿態(tài)角速度子系統(tǒng)的控制器為：

(31)

(32)

根據(jù)Young不等式：

(33)

將(33)代入(32)可得：

(34)

2.3 穩(wěn)定性分析

在前述基于反步法的控制器設計方法的基礎(chǔ)上，可選擇系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為：

L=LΩ+Lω

(35)

且其導數(shù)滿足：

(36)

定理1.考慮NSV姿態(tài)控制系統(tǒng)(1)，如果假設1～3均成立，則系統(tǒng)姿態(tài)角能夠?qū)崿F(xiàn)對給定信號的穩(wěn)定跟蹤，且跟蹤誤差及系統(tǒng)狀態(tài)分別在集合ΨeΩ和Ψω內(nèi)。

(37)

(38)

(39)

因此，系統(tǒng)狀態(tài)滿足給定的狀態(tài)限制。

同時，由式(39)可知下述不等式成立：

(40)

從而，系統(tǒng)的過渡過程與穩(wěn)態(tài)過程分別滿足

(41)

式中，i=1,2,3。結(jié)合前述分析，可知所設計控制器能夠確保系統(tǒng)滿足式(37)和(38)。證畢。

注4.由式(41)可知，如果增大控制器增益kΩ和kω，能夠使得系統(tǒng)對指令的跟蹤誤差減小。但增大控制器增益同時也會使得控制器的幅值增大。因此，在進行控制器調(diào)參時應綜合考慮系統(tǒng)跟蹤性能以及執(zhí)行機構(gòu)的性能。

注5.為避免在反步法中存在的虛擬控制量“微分爆炸”問題，同時簡化其微分操作，本文中采用動態(tài)面方法，選用具有如下形式的非線性濾波器對虛擬控制量進行處理：

(42)

其中ωn1,ωn2和ζ為可調(diào)參數(shù)。

3 仿真校驗

首先，對兩個子系統(tǒng)分別設計模糊系統(tǒng)，選擇高斯隸屬度函數(shù)的具體形式為：

i=1,2,3,l=1,2,…,5

(43)

i=1,2,3,l=1,2,…,5

(44)

并選擇模糊基函數(shù)為：

(45)

(46)

式中，l=1,2,…,5。NSV姿態(tài)角的跟蹤誤差約束給定為AeΩ=diag{1°,1°,1°}，姿態(tài)角速度的約束為Aω=diag{3(°)/s,3(°)/s,3(°)/s}。

同時，假設飛行器的氣動參數(shù)存在30%的不確定，且兩個模態(tài)的外環(huán)與內(nèi)環(huán)分別受到的外部擾動為：

[2×105sin(3t),3×105sin(2t),2×105sin(2t)]TN·m

[sin(t),cos(t),sin(1.5t)]T(°)/s

(47)

[3×105sin(3t),2×105sin(2t),3×105sin(2t)]TN·m

[1.2cos(t),1.2sin(t),1.2cos(1.5t)]T(°)/s

(48)

最后，加入文獻[8]的控制策略與本文控制方案進行比對。在前述條件下，可得系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖2～圖6所示。

圖2 姿態(tài)角響應Fig.2 Attitude angle response

圖3 姿態(tài)角速度響應Fig.3 Angular rate response

圖4 姿態(tài)角系統(tǒng)總干擾及其估計值Fig.4 Total disturbance in attitude angle subsystem and its estimate

圖5 姿態(tài)角速度系統(tǒng)總干擾及其估計值Fig.5 Total disturbance in angular rate subsystem and its estimate

圖6 控制量Fig.6 Control input

從圖2可知，本文所提出方法能夠確保系統(tǒng)姿態(tài)快速穩(wěn)定地跟蹤給定信號，同時，姿態(tài)角的跟蹤誤差滿足給定的跟蹤性能約束。與文獻[8]的方法相比，本文所提出方法能夠確保系統(tǒng)具有更為良好的動態(tài)性能，超調(diào)量小且收斂速度快。圖3為系統(tǒng)姿態(tài)角速度的響應曲線，可知姿態(tài)角速度滿足給定的狀態(tài)約束條件。圖4與圖5為模糊系統(tǒng)對系統(tǒng)總擾動的估計值曲線，可知本文所設計的模糊系統(tǒng)能夠?qū)ο到y(tǒng)中的未知擾動進行有效的實時估計。圖6為系統(tǒng)的控制量曲線，系統(tǒng)的舵偏角均保持在合理范圍之內(nèi)。從而，上述仿真結(jié)果表明了本文所提出控制方法的有效性與優(yōu)越性。同時，與文獻[8]相比，由于本文所提出的控制器不存在自適應項，因此結(jié)構(gòu)更為簡單，更容易在實際工程中實現(xiàn)。

4 結(jié) 論

對于一類可變后掠角的近空間飛行器，考慮其受到外界擾動及參數(shù)不確定的影響，并考慮跟蹤性能約束及姿態(tài)角速度約束的指令跟蹤問題，本文提出了一種基于模糊系統(tǒng)的切換控制器設計方法，并通過公共Barrier Lyapunov方法對系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及動態(tài)性能進行了分析。理論分析與仿真結(jié)果表明所設計的控制方案能夠確保系統(tǒng)在滿足跟蹤性能及狀態(tài)約束的條件下實現(xiàn)對指令信號的穩(wěn)定跟蹤。