雷曉艷

（周口師范學院網(wǎng)絡工程學院，河南 周口 466000）

0 引言

受到多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）技術在通信領域成功應用的啟發(fā)，MIMO概念最近被引入雷達領域，并受到越來越多的關注［1］。與傳統(tǒng)的只發(fā)射相干波形的相控陣雷達不同的是，MIMO雷達幾乎可發(fā)射任意波形。根據(jù)陣元間距，MIMO雷達可分為以下兩類：分置雷達和共置雷達。相較于傳統(tǒng)的相控陣雷達，MIMO雷達幾乎可發(fā)射任意波形，即所謂的波形分集［2］。因而，MIMO雷達比相控陣雷達具有更多的優(yōu)勢，比如參數(shù)辨識性［2］，靈活的發(fā)射方向圖設計［3］。

波形設計是MIMO雷達研究領域中非常重要的方向之一，受到越來越多的關注。在目標及環(huán)境先驗知識確知條件下，Wang H.等研究了通過設計發(fā)射波形改善基于MIMO的空時自適應處理（Space-Time Adaptive Processing，STAP）方法的檢測性能［4］。Jian L.基于某些準則，比如最小化克拉美-羅界（Cramer-Rao Bound，CRB）的跡等，設計波形以提高場景先驗知識完備場景下多個點目標的參數(shù)估計性能［5］。Wang H.等則考慮了雜波場景下發(fā)射波形和接收權聯(lián)合優(yōu)化以改善目標估計性能［6］。明顯地，求解上述文獻中波形設計問題需要某些參數(shù)的確切值，比如到達方向角（Direction-of-Arrival，DOA）等。然而，這些參數(shù)在實際應用中須通過估計得到，因而不可避免地存在誤差。因此，最終的參數(shù)估計性能相應地會受到這些參數(shù)估計誤差的影響，此現(xiàn)象已在文獻［5-6］中通過數(shù)值試驗驗證。

針對上述問題，基于最小化最差情況下（worst-case）CRB跡準則，通過將目標初始參數(shù)估計誤差凸集包含進波形優(yōu)化，本文考慮了依賴信號噪聲（即雜波）場景下穩(wěn)健波形優(yōu)化問題以改善系統(tǒng)參數(shù)估計性能對參數(shù)初始估計誤差的穩(wěn)健性。在發(fā)射功率及參數(shù)估計不確定凸集約束下，首先推導了穩(wěn)健波形優(yōu)化問題，為求解此復雜非線性問題，本文提出一種基于對角加載（Diagonal Loading，DL）［7］的迭代方法。所提方法首先基于哈達瑪不等式（Hadamard’s inequality）［8］將內(nèi)層優(yōu)化分解為多個獨立子問題，以減少計算復雜度從而利于工程實現(xiàn)，而后基于DL將子問題轉化為半定規(guī)劃問題（SDP）［9］，接著通過線性化方法將外層優(yōu)化轉化為凸問題，進而此問題可利用諸如最陡梯度下降法獲得高效求解從而方便硬件實現(xiàn)。最后，初始問題的最優(yōu)解可通過對迭代所得結果的最小二乘（Least Square，LS）擬合得到。

1 問題描述

本文所用MIMO雷達具有Mt個發(fā)射以及Mr個接收陣元，且具有任意間距，第i個陣元發(fā)射形如的離散基帶信號，其中L為快拍數(shù)。則，此MIMO雷達發(fā)射信號為。如若信號傳輸沒有散布，且目標距離環(huán)內(nèi)雜波可建模為多個獨立雜波塊的疊加，則MIMO雷達接收信號為：

式中，

觀察式（2）～ 式（5），可以看出 CRB 是關于 θ，，Hc以及W的函數(shù)。實際上，這些參數(shù)須從接收數(shù)據(jù)中估計得到，從而不可避免存在誤差。因此，基于參數(shù)估計值得到的估計或檢測精度會對參數(shù)估計誤差比較敏感（參見文獻［5］中的數(shù)值仿真），這對波形設計在實際工程中應用非常不利。

此外，從式（3）～式（5）可得，CRB依賴于以下關于目標的兩項，即。由此，為研究關于目標非確知先驗信息條件下的MIMO雷達穩(wěn)健波形設計，本文將此兩項建模如下：

式中，Ak為矩陣 A 的第 k 列；以及分別表示位于θk的目標的發(fā)射接收導向矢量；Ak和Bk則表示對應的假設矢量；分別表示和的真實導數(shù)；及則為 Ak及 Bk對應的假設導數(shù)；式 （9） 中 δk及 γk分別表示如下兩項的誤差，分屬于如下集合：

明顯地，CRB的跡，即式（11）是關于 RΦ以及的復雜非線性函數(shù)。因此，此問題比較難以利用諸如凸優(yōu)化［9］等傳統(tǒng)優(yōu)化方法進行求解。

2 所提迭代方法

本節(jié)提出一種新的基于DL的迭代方法以求解問題。為此，首先考慮最大化問題式（11）。為求解此問題，將利用如下定理［8］：

定理1：假設M為N×N半正定厄米特矩陣，則如下不等式

成立，當矩陣M為對角陣時上式等式成立。

根據(jù)定理1，可將內(nèi)優(yōu)化問題式（11）松弛為

基于Khatri-Rao積的定義［8］，可重寫表示為：

比較式（15）及式（13）可知，基于矩陣不等式，本文將復雜的非線性問題松弛為較為簡單的優(yōu)化問題以減少計算復雜度，從而利于工程實現(xiàn)。

式（17）及式（18）根據(jù)如下定理［8］轉化為 SDP問題：

根據(jù)定理2，式（17）以及式（18）可分別轉化為如下SDP：

式中，t為輔助優(yōu)化變量。

基于式（16），下述命題可將式（11）關于 RΦ的非線性問題轉化為線性問題，且將對應約束轉化為線性不等式（LMI）。

命題：基于矩陣不等式性質，式（11）中的約束可重寫為：

式中，

基于定理2以及上述命題，類似于內(nèi)層優(yōu)化，式（11）中的外層優(yōu)化可重寫為如下SDP：

式中，矩陣X為輔助優(yōu)化變量。

得到D之后，RΦ可通過對之LS擬合得到，即：

基于定理2，式（24）可重寫為如下SDP：

基于上述內(nèi)外層優(yōu)化問題的求解，根據(jù)文獻［11］的算法3，本文可提出一種基于DL的迭代方法以最小化最差情況下CRB。此算法可詳述如下：

2）計算式（23）以得到 D；

3）重復1，2直至最差情況下CRB增加不明顯。

而后，最優(yōu)WCM，即RΦ可通過求解式（25）得到。

式（19），式（20），式（23）以及式（25）的最優(yōu)解可通過文獻［12］所提CVX優(yōu)化工具箱高效求得。

由上述算法步驟可知，所提方法的每一步都可以利用諸如梯度下降法獲得最優(yōu)解，且計算量較小，從而非常便于硬件實現(xiàn)。

3 仿真結果及分析

本節(jié)將通過數(shù)值仿真將所提方法與文獻［4］提出的非穩(wěn)健方法以及非相關波形相比以驗證所提方法有效性。驗證著眼于以下3方面：參數(shù)估計性能改善，方法穩(wěn)健性，以及誤差取值對CRB的影響。

本仿真環(huán)境設置如下：MIMO雷達為線性陣列，且發(fā)射接收陣元數(shù)分別為Mt=3，Mr=3，且具有如下配置：發(fā)射接收陣元間距皆為半波長，記為MIMO雷達1，發(fā)射陣元間距為3/2波長，接收陣元間距為半波長，記為MIMO雷達2。假設感興趣距離單元可等距離劃分為NC=10 000雜波單元，且雜噪比（CNR）為30 dB。假設干擾位于-5°，且干噪比（JNR）為60 dB，具有單位幅度的目標位于θ=20°，采樣數(shù)為L=256。根據(jù)第2部分可知，計算CRB須基于初始參數(shù)估計。此估計可通過文獻［13］中所提方法得到。

仿真將在初始角度估計誤差場景中驗證所提方法性能。假設存在如下角度估計不確定性：，即，式 中為 θ的估計。經(jīng)過計算，可得MIMO雷達1條件下，而MIMO雷達條件下。

圖1 ASNR=10 dB條件下所提方法得到的最優(yōu)發(fā)射方向圖

圖2 worst-case CRBs隨ASNR變化

由所提方法、非穩(wěn)健方法以及非相關波形得到的平均worst-case CRB隨ASNR變化而變化如圖3所示（100次蒙特卡洛試驗）。由圖3可知，所提方法得到的worst-case CRB優(yōu)于非穩(wěn)健方法以及非相關波形，換言之，所提方法有著針對δ及γ更好的穩(wěn)健性。

圖3 worst-case CRB隨ASNR變化而變化

此外，ASNR=10 dB條件下，所提方法及非相關波形所得最差情況下CRB隨不確定邊界變化如圖4所示。由圖可知，此兩種方法所得最差情況CRBs隨ζ或 增加而增加，此結論類似于文獻［10］所述。

4 結論

基于CRB，本文考慮了雜波條件下目標先驗信息不確知，且位于凸不確定集場景下改善最差情況下MIMO雷達參數(shù)估計性能的穩(wěn)健波形設計問題。為求解所得復雜非線性問題，本文提出一種新的基于DL的迭代方法，以求解此NP問題，從而優(yōu)化WCM進而獲得較好的最差情況下參數(shù)估計性能。迭代中的每一步都可轉化為SDP問題，因而可以通過諸如梯度下降法獲得高效求解，從而利于硬件實現(xiàn)。初始問題的最優(yōu)解可以通過對由迭代算法得到的解進行最小二乘擬合得到。數(shù)值仿真通過與非穩(wěn)健方法以及非相關波形的比較，驗證了所提方法的有效性。