馮文艷,付棟之,王云龍,張 沛

(西安交通大學(xué) 陜西省量子信息與光電量子器件重點實驗室大學(xué)物理國家級實驗教學(xué)示范中心，陜西 西安 710049)

光子除了具有自旋角動量外還具有軌道角動量. 1909年，在愛因斯坦的光量子理論[1]提出幾年之后，Poynting發(fā)現(xiàn)了光子具有自旋角動量[2]，然而，直到1992年光子的軌道角動量才被Allen等人發(fā)現(xiàn)，而且揭示了拉蓋爾-高斯模式的角向指數(shù)l和光子的軌道角動量之間存在對應(yīng)關(guān)系[3]. 光子的自旋角動量和偏振有關(guān)，若1束光是圓偏振光，則光束中每個光子都攜帶了σ?的自旋角動量. 由于電磁場的橫波性，σ只能取±1，分別對應(yīng)于左旋圓偏振和右旋圓偏振. 這2個態(tài)是量子力學(xué)中自旋算符的本征態(tài), 因此光的自旋角動量態(tài)(偏振態(tài))是二維量子態(tài). 光子的軌道角動量和復(fù)電場相位有關(guān)，軌道角動量來源于繞傳播方向的相位波前. 攜帶軌道角動量l?的渦旋光束具有螺旋形等相位面，螺旋相位項為exp (ilφ)，l為軌道角動量量子數(shù)，其正負(fù)代表旋轉(zhuǎn)方向不同，φ是角坐標(biāo)[3]. 由于波前是螺旋形等相位面，這會導(dǎo)致在傳播軸上有相位奇點，即橫向光強分布的中心是暗點. 由于l可以是任意整數(shù)，所以光子有無數(shù)個軌道角動量正交本征態(tài)，即光子軌道角動量具有高維特性.

光子軌道角動量的發(fā)現(xiàn)，除了讓人們更進(jìn)一步理解光的本質(zhì)外，還拓展了光的應(yīng)用范圍，有著十分重要的科學(xué)意義和應(yīng)用價值. 近年來, 科學(xué)家在量子信息的研究中發(fā)現(xiàn)高維量子態(tài)相比于二維量子態(tài)體現(xiàn)出更加特殊和優(yōu)越的性質(zhì), 如在基礎(chǔ)量子理論的驗證方面，高維量子體系相比于二維量子體系更大程度地違背了貝爾不等式[4-5]，這使得尋找高維量子態(tài)很有必要，而光子軌道角動量具有高維特性. 由于光子又是很好的量子系統(tǒng)和信息載體，近年來基于光子軌道角動量的高維量子態(tài)的研究，引起了人們的廣泛興趣[6-7]. 目前，由于光子軌道角動量的渦旋特性和高維特性，軌道角動量模式被應(yīng)用在多個領(lǐng)域中，如光鑷[8-9]、顯微操作[10-11]、探測旋轉(zhuǎn)微粒或旋轉(zhuǎn)物體的角速度[12-13]、量子信息[14-15]、量子計算[16-19]、光通信[20-21]和量子密碼學(xué)[22]等. 對光子軌道角動量的區(qū)分顯得尤為重要，如在量子信息處理中，若利用光子軌道角動量進(jìn)行編碼信息，最后解碼信息時，必然要求對光子軌道角動量進(jìn)行識別. 目前已有多種探測軌道角動量模式的方法，本文針對目前在光學(xué)系統(tǒng)中已有的對軌道角動量模式識別的方法以分類的方式給予綜述.

具有螺旋相位結(jié)構(gòu)最常見的形式之一是拉蓋爾-高斯模式. 拉蓋爾-高斯模式是在傍軸近似條件下波動方程在柱坐標(biāo)系下的解. 拉蓋爾-高斯模式有2個指數(shù)，其中角向指數(shù)l與螺旋相位有關(guān)，徑向指數(shù)p與拉蓋爾多項式控制的振幅變化有關(guān). 角向指數(shù)l也被稱為軌道角動量量子數(shù)或軌道角動量拓?fù)浜?，攜帶軌道角動量的光束也被稱為渦旋光束. 本文以拉蓋爾-高斯模式為例來闡述識別軌道角動量模式的方法.

1 干涉儀法

Padgett等人提出利用兩臂加入Dove棱鏡的 Mach-Zehnder干涉儀來測量拉蓋爾-高斯模式的軌道角動量量子數(shù)l[23]. 其中一臂的Dove棱鏡是旋轉(zhuǎn)的，另一臂的Dove 棱鏡是靜止的，如圖1所示. SPP為螺旋相位板；HWP為半波片；PBS為偏振分束器；M為反射鏡. 當(dāng)Dove棱鏡沿長軸方向旋轉(zhuǎn)α/2時，經(jīng)過Dove棱鏡的光束將被旋轉(zhuǎn)α. 當(dāng)攜帶軌道角動量l?的拉蓋爾-高斯光束經(jīng)過圖1中的Mach-Zehnder干涉儀時，兩臂間將產(chǎn)生Δφ=lα的相位差，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的Dove棱鏡旋轉(zhuǎn)1周時，在探測端口將產(chǎn)生明暗交替變化的干涉圖樣. 在入射不同拉蓋爾-高斯模式的情況下，干涉圖樣的光強隨旋轉(zhuǎn)角α的變化如圖2所示，α/2表示Dove棱鏡的旋轉(zhuǎn)角，α表示拉蓋爾-高斯光束的旋轉(zhuǎn)角. 干涉圖樣光強變化的周期等于入射的拉蓋爾-高斯光束的軌道角動量量子數(shù)l的大小，因此，通過測量干涉圖樣光強的變化周期就可以得到入射的拉蓋爾-高斯模式的軌道角動量量子數(shù)l.

圖1 兩臂插有Dove棱鏡的Mach-Zehnder干涉儀

(a)l=0 (b)l=1

(c)l=2 (d)l=3圖2 攜帶不同軌道角動量的拉蓋爾-高斯模式入射Mach-Zehnder干涉儀得到的干涉圖樣的光強隨旋轉(zhuǎn)角α的變化

2002年，Leach等人提出基于Mach-Zehnder干涉儀在單光子水平下有效區(qū)分不同軌道角動量模式的方法[24]. 如圖3所示(圖中BS為分束器； DP為Dove棱鏡)，在 Mach-Zehnder干涉儀一臂中插入無旋轉(zhuǎn)的 Dove棱鏡，另一臂中插入旋轉(zhuǎn)角度為α/2的 Dove 棱鏡，這將會在通過兩臂的渦旋光束中引起依賴于軌道角動量量子數(shù)l的相位差Δφ=lα. 對于l和α特定的組合，不同的拉蓋爾-高斯模式將會在不同的端口出現(xiàn)干涉相長或干涉相消. 例如，當(dāng)α=π時，即其中一臂的Dove棱鏡被旋轉(zhuǎn)α/2=π/2時，奇數(shù)和偶數(shù)l將分別被分離在端口A1和B1. 理論上，N個軌道角動量模式可以通過級聯(lián)N-1個 Mach-Zehnder干涉儀進(jìn)行分離，在每一級中旋轉(zhuǎn)的Dove棱鏡的旋轉(zhuǎn)角度不同，原理圖如圖4所示. 此方法可以在單光子水平下探測軌道角動量模式，但是，對于測量多個軌道角動量模式，需要級聯(lián)多個Mach-Zehnder干涉儀，這對目前現(xiàn)有的技術(shù)來說是很大的挑戰(zhàn).

圖3 兩臂中插入Dove棱鏡的Mach-Zehnder干涉儀

圖4 級聯(lián)3級干涉儀分離8個軌道角動量模式的原理圖(從l=0到l=7，第1級、第2級和第3級光束旋轉(zhuǎn)的角度分別為π,π/2和π/4)

除此之外，還有許多基于干涉儀識別軌道角動量模式的方法[25-29]，如利用穩(wěn)定性較好的Sagnac干涉儀代替Mach-Zehnder干涉儀來區(qū)分軌道角動量模式[27,29]、利用Mach-Zehnder干涉儀或Sagnac 干涉儀將軌道角動量和偏振耦合起來的方法探測軌道角動量模式[28-29].

2 鏡像干涉

通過觀察軌道角動量模式與其鏡像模式(攜帶的軌道角動量大小相等，正負(fù)相反)的干涉圖樣可以探測軌道角動量模式[30-32]. 眾所周知，如果攜帶軌道角動量為l?的渦旋光束被鏡子反射之后，其旋轉(zhuǎn)方向反轉(zhuǎn)，即軌道角動量變?yōu)?l?. 現(xiàn)在考慮2個具有相反螺旋性的軌道角動量光束沿與z軸成角度α和-α的方向傳播，如圖5所示(紅色和藍(lán)色實線分別表示軌道角動量量子數(shù)為l和-l的渦旋光束的波矢量. 紅色虛線和藍(lán)色虛線分別表示軌道角動量量子數(shù)為l和-l的渦旋光束的波前). 入射的軌道角動量光束和它的鏡像模式光束的電場表達(dá)式為

El=u0exp [iφ1(x)]exp (ilφ)，
E-l=u0exp [iφ2(x)]exp (-ilφ)，

(1)

其中u0是軌道角動量光束的振幅. 由圖5可知，在z=0的平面上,

φ1(x)=kxcosα+φ10=kxx+φ10,
φ2(x)=kxcos (π-α)+φ20=-kxx+φ20,

(2)

其中φ10(x)和φ20(x)分別是入射的軌道角動量光束和其鏡像模式光束在坐標(biāo)原點O的初始相位. 從而得到2束光干涉圖樣的強度分布為

I=|El+E-l|2=2I0[1+cos (2lφ-2kxx+Δφ0)].

(3)

圖5 軌道角動量模式與其鏡像模式干涉原理圖

其中I0是入射的軌道角動量光束或其鏡像模式光束的光強，Δφ0=φ10-φ20是入射的軌道角動量光束與其鏡像模式光束的初始相位差. 從式(3)可以看出，干涉圖樣的強度分布類似于中心有2l個錯位條紋的振幅全息圖，因此，可以根據(jù)干涉圖樣中條紋錯位的個數(shù)來確定入射的軌道角動量模式. 如圖6所示，因為入射的2個軌道角動量光束的波前具有相反的螺旋性，且沿與z軸角度α的方向傳播，因此，干涉圖樣的下半部分的條紋相對于上半部分額外多了2l個.

(a)l=1 (b)l=2 (c)l=3圖6 軌道角動量量子數(shù)為1,2,3的渦旋光束與其鏡像模式干涉圖樣(干涉圖樣底部分別有2條、4條、6條額外的條紋)

當(dāng)然，如果軌道角動量光束與其鏡像模式進(jìn)行同軸干涉，即α=0，則它們的干涉圖樣類似于2個具有相反符號的軌道角動量光束的疊加的結(jié)果，即干涉圖樣中含有2l個花瓣，如圖7所示. 由于l和-l互為鏡像，因此，此方法只能探測渦旋光束的軌道角動量量子數(shù)l的大小，無法探測其正負(fù).

(a)l=1 (b)l=2 (c)l=3圖7 軌道角動量量子數(shù)為1,2,3的渦旋光束與其鏡像模式同軸干涉圖樣(干涉圖樣分別有2,4,6個花瓣)

3 平面波干涉

1束渦旋光和1束平面波干涉，由于渦旋光束的螺旋相位結(jié)構(gòu)exp (ilφ)，干涉圖樣是l條螺旋形條紋，因此，可以通過干涉圖樣中的螺旋條紋的個數(shù)有效地識別軌道角動量模式[32-34]. 平面波與軌道角動量模式的電場可分別表達(dá)為

E0=u0(r)exp [iφ1(r)],
El=ul(r)exp [iφ2(r)]exp (ilφ).

(4)

其中u0和ul分別是平面波和渦旋光束的振幅. 渦旋光束和平面波之間的同軸干涉可以用Mach-Zehnder干涉儀來實現(xiàn)，如圖8所示，在 Mach-Zehnder干涉儀其中一臂用螺旋相位板(SPP)產(chǎn)生待測的攜帶軌道角動量的渦旋光束，另一臂中加入擴束器用來產(chǎn)生平面波. 當(dāng)渦旋光束和平面波進(jìn)行同軸干涉時，將會得到帶有螺旋條紋的干涉圖樣. 在z=0平面上干涉圖樣的光強分布為

I= |E0+El|2=

|u0|2+|ul|2+2|u0||ul|cos (Δφ),

(5)

圖8 渦旋光束與平面波干涉的示意圖

(a)l=-3 (b)l=3 (c)l=5圖9 軌道角動量量子數(shù)為-3,3,5的渦旋光束與平面波干涉的干涉圖樣(干涉圖樣中條紋的個數(shù)分別為3條,3條,5條，干涉條紋的旋轉(zhuǎn)方向分別為順時針、逆時針、逆時針)

條紋呈順時針旋轉(zhuǎn)；當(dāng)l為正時，干涉條紋呈逆時針旋轉(zhuǎn). 因此，這種方法可以同時測量待測渦旋光束的軌道角動量量子數(shù)l的大小和符號.

4 角雙縫干涉

圖10 角雙縫干涉原理圖

當(dāng)1束具有螺旋相位項exp (ilφ) 的渦旋光束經(jīng)過動態(tài)角雙縫，由于螺旋相位項和角雙縫到觀察平面的光程差的存在，在觀察平面上將會出現(xiàn)明暗相間的干涉圖樣，通過觀察干涉圖樣光強的變化可以得到入射光束軌道角動量信息[35-38]. 如圖10所示，其中，α是每個角縫的縫寬,φ是角雙縫之間的夾角,q1和q2和q3是動態(tài)角雙縫平面上的3個點，oq3是角雙縫夾角∠q1oq2的角平分線，p是遠(yuǎn)場衍射圖樣上的點，θ代表附加相位. 2個縫在觀察平面p點的電場分別為

E1(p)=u0(p)exp [iφ1(p)],
E2(p)=u0(p)exp [iφ2(p)],

(6)

其中u0(p)和φ(p)分別是振幅和相位. 因此，角雙縫在點p的干涉光強分布為

I(p)=|E1(p)+E2(p)|2∝1+cos (Δφ),

(7)

其中，Δφ是角雙縫到點p的相位差，由圖10可知

等號右邊第一項lφ是由渦旋光束的螺旋相位項引起的相位差，等號右邊第二項是由幾何光程差引起的相位差. 如果角雙縫是關(guān)于o′p軸對稱的，那么角雙縫到點p的幾何光程差為零，則角雙縫到點p的相位差只依賴于由螺旋相位項引起的相位差，即Δφ=lφ，此時干涉光強的分布為I∝1+cos (lφ)，當(dāng)角雙縫間的夾角φ由0變化到2π時，光強變化的周期等于l,如圖11所示. 由于余弦函數(shù)是偶函數(shù)，因此l的正負(fù)無法從光強變化中識別. 為解決該問題，在角雙縫的其中1個角縫上加附加相位θ. 那么角雙縫在點p的相位差變?yōu)棣う?lφ+θ, 則干涉圖樣的光強分布為

I∝1+cos (lφ+θ).

(8)

(a)l=6 (b)l=10 (c)l=15圖11 強度隨雙縫間夾角的變化而變化的數(shù)值模擬

(a)l=3,ΔΨ=30° (b)l=-3,ΔΨ=30°

(c)l=6,ΔΨ=15° (d)l=-6,ΔΨ=15°

(e)l=10,ΔΨ=9° (f)l=-10,ΔΨ=9°圖12 攜帶不同軌道角動量的渦旋光束經(jīng)過角雙縫后，干涉圖樣中心區(qū)域的光強隨角雙縫旋轉(zhuǎn)的變化(φ-I曲線)

在這種情況下，附加相位會引起隨角雙縫夾角變化的光強分布曲線的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的方向和軌道角動量量子數(shù)l的正負(fù)有關(guān). 因此，通過對光強變化曲線的分析可以得到軌道角動量量子l的大小與正負(fù)，如圖12所示. 圖12是干涉圖樣中心區(qū)域的光強隨角雙縫夾角的變化而變化的曲線(φ-I曲線)，其中綠色的φ-I曲線是在沒有加附加相位(θ=0)時得到的實驗結(jié)果，因此，只能從中得到軌道角動量量子數(shù)l的大小，不能得到其正負(fù)的信息；藍(lán)色的φ-I曲線是在有附加相位(θ=π/2)時得到的實驗結(jié)果，從中可以看出，相對于綠色的φ-I曲線，藍(lán)色的φ-I曲線有旋轉(zhuǎn). 通過對比綠色和藍(lán)色的φ-I曲線可以得知：當(dāng)軌道角動量量子數(shù)l為正時，藍(lán)色的φ-I曲線沿順時針旋轉(zhuǎn)；當(dāng)軌道角動量量子數(shù)l為負(fù)時，藍(lán)色的φ-I曲線沿逆時針旋轉(zhuǎn). 因此，利用角雙縫干涉，在有附加相位的條件下，可以很好地識別軌道角動量量子數(shù)l的大小和正負(fù).

5 三角孔衍射

渦旋光束經(jīng)過等邊三角孔在遠(yuǎn)場的衍射圖樣可以折射出渦旋光束的軌道角動量量子數(shù)l的信息[39-41]. 當(dāng)1束渦旋光束經(jīng)過三角孔衍射，由夫瑯禾費衍射積分得在遠(yuǎn)場的電場分布為

(9)

其中El(x,y,z=0)和τ(x, y)分別是入射渦旋光束的電場和三角孔平面的透射率函數(shù). 通過數(shù)值求解式(9)，得到不同軌道角動量模式經(jīng)過三角孔夫瑯禾費衍射圖樣的數(shù)值模擬結(jié)果，如圖13所示，圖13(a)中的插圖為三角孔的方向. 從圖13中可以看出，衍射圖樣呈三角形晶格陣列，而入射渦旋光束的軌道角動量量子數(shù)為l=N-1，其中N為衍射圖樣中三角形晶格陣列任意一邊上晶格點的個數(shù). 而l的正負(fù)可由三角形衍射圖樣的旋轉(zhuǎn)方向來判斷，如果入射的渦旋光束的軌道角動量量子數(shù)l的符號是相反的，則對應(yīng)的衍射圖樣的旋轉(zhuǎn)方向也是相反的. 另外，入射的渦旋光束的軌道角動量量子數(shù)l為負(fù)值的衍射圖樣相對于l為正值的衍射圖樣旋轉(zhuǎn)了180°.

(a)模擬結(jié)果

(b)實驗結(jié)果圖13 不同軌道角動量模式經(jīng)過三角孔衍射圖樣的數(shù)值模擬結(jié)果和實驗結(jié)果

由于渦旋光束經(jīng)過三角孔的衍射圖樣是經(jīng)過三角孔三邊的場相互干涉的結(jié)果，因此，接下來分析渦旋光束經(jīng)過三角孔時，三角孔邊緣對光束的影響. 如圖14所示，假設(shè)入射的渦旋光束落在三角孔徑的中心O點所在的區(qū)域，則沿三角形孔徑任意一條邊縫的相位為

(10)

其中a是三角形孔徑每條邊的邊長. 現(xiàn)考慮三角形孔徑的每條縫近似為無限小的縫，且忽略了場振幅的變化，則可以將縫視為狄拉克函數(shù). 在這種情況下，渦旋光束通過三角孔其中一邊時相應(yīng)的電場為

exp (-ik·r)dxdy=

(11)

其中x和y是三角形孔徑平面上橫向笛卡爾坐標(biāo)，kx和ky是傅里葉平面上的橫向坐標(biāo). 由式(11)可知，三角孔衍射圖樣的大小和l成正比，且和三角形孔徑邊長a成反比，另外也可以看出，當(dāng)入射的渦旋光束的軌道角動量量子數(shù)l的符號相反時，衍射圖樣的旋轉(zhuǎn)方向是也是相反的.

圖14 三角孔示意圖

6 計算全息光柵法

攜帶軌道角動量的渦旋光束可以用衍射光學(xué)元件(類似地，可以用螺旋相位板、Q-plate代替衍射光學(xué)元件)或計算全息光柵來產(chǎn)生[42-44]. 叉形光柵可以表示為

(12)

圖15 1束軌道角動量量子數(shù)l=3的渦旋光束經(jīng)過含有Δl=-3的叉形計算全息光柵

其中l(wèi)是軌道角動量量子數(shù)，φ是方位角，Λ=2π/kx是沿x方向的光柵周期. 從激光器或者單模光纖輸出的光束(基模高斯光束)經(jīng)過含有l(wèi)個錯位的叉形衍射光柵，在衍射1級處的光束攜帶了l?的軌道角動量. 反之亦然，如圖15所示，當(dāng)1束具有軌道角動量量子數(shù)l=3的渦旋光束入射具有3個錯位的叉形光柵(Δl=-3)，此叉形光柵可以將入射光束中攜帶軌道角動量為3?的渦旋光束變成基模高斯光束，即將其螺旋相位消除掉，然后基模高斯光束可以耦合進(jìn)單模光纖中. 在這種情況下，全息光柵結(jié)合單模光纖可作為特殊的軌道角動量模式探測器，這個探測器在單光子水平下仍然工作[14,45-46]. 但該方法只允許對光子的特定軌道角動量模式進(jìn)行檢測，若待測光束中含有多個軌道角動量模式，則需一系列的全息光柵對其進(jìn)行探測，用不同l值的全息光柵就可測出待測光束中是否含有相應(yīng)的軌道角動量模式. 此外，用該方法來探測N個模式時，至少需N個光子，并會受到全息光柵和單模光纖(或小孔)過濾系統(tǒng)傳輸效率低的影響. 之后，更復(fù)雜的全息光柵被提出來，此全息光柵可探測幾種不同的軌道角動量模式[47-49]. 如圖16(a)所示的計算全息光柵是由2個正交叉形衍射光柵組成，水平放置的衍射光柵中心錯位為1，豎直放置的衍射光柵中心錯位為3. 水平和豎直叉形全息光柵可表示為

(13)

其中a的取值范圍從0到2π. 這2個全息光柵相結(jié)合組成了3 × 3的陣列，當(dāng)1束平面波入射此光柵時，可以產(chǎn)生軌道角動量量子數(shù)從l=-4到l=4的軌道角動量模式. 反之亦然，當(dāng)1束具有軌道角動量量子數(shù)l∈[-4,4]的軌道角動量模式通過此計算全息光柵時，高斯模式的光束將出現(xiàn)在3 × 3陣列中相應(yīng)的位置，此位置與入射渦旋光束的軌道角動量量子數(shù)l一一對應(yīng)，如圖16中(b),(c)和(d)所示. 因此，這種全息光柵可以測量9種軌道角動量模式中的任意一模式，但其效率近似等于模式個數(shù)的倒數(shù). 另一種利用衍射光柵探測軌道角動量模式的方法是通過分析衍射圖樣的位置特征來確定待測光束的軌道角動量量子數(shù)l的大小和正負(fù)[50]. 此外，基于計算全息光柵和單模光纖的投影技術(shù)——量子態(tài)層析是有效測量軌道角動量模式的方法[51-52].

(a)二維叉形衍射光柵 (b)l=0

(c)l=1 (d)l=2圖16 經(jīng)過叉形光柵后得到的實驗結(jié)果

7 光學(xué)幾何變換法

光波可以分解成不同方向的平面波的疊加，透鏡可以將這些平面波聚焦到其局部平面上的不同的位置，其橫向位置取決于平面波的傳播方向. 基于這一特性，Berkhout等人提出利用2種衍射光學(xué)元件對軌道角動量模式進(jìn)行分離的有效方法[53-55]. 此方法中，其中一個衍射光學(xué)元件用于幾何變換，即將軌道角動量模式對應(yīng)的笛卡爾坐標(biāo)中的方位位置轉(zhuǎn)換為橫向動量態(tài)對應(yīng)的對數(shù)極坐標(biāo)中的橫向位置；另一個衍射光學(xué)元件用于矯正經(jīng)過幾何變換時引入的相位畸變. 相位校正后，利用透鏡將每個依賴于輸入軌道角動量模式的橫向動量態(tài)聚焦到1個平面的不同橫向位置.

如圖17所示，空間光調(diào)制器(SLM1)用于產(chǎn)生待測的軌道角動量模式，SLM2和SLM3分別用于產(chǎn)生所需的相位剖面φ1(x,y)和φ2(uv)，(x,y)和(u,v)分別是輸入平面和輸出平面的笛卡爾坐標(biāo)系. 如圖18所示，φ1(x,y)和φ2(u,v)表達(dá)式為

(14)

其中λ是入射渦旋光束波長，f是傅里葉透鏡的焦距，a與轉(zhuǎn)換后光束的長度d有關(guān)，b與輸出平面的坐標(biāo)有關(guān)(a和b是縮放常數(shù)). 由于φ1(x,y)和φ2(u,v) 分別實現(xiàn)了笛卡爾坐標(biāo)與對數(shù)極坐標(biāo)的變換和相位校正，因此由同心圓組成的輸入圖像(x,y)將會轉(zhuǎn)變成平行線的輸出圖像(u,v). 經(jīng)過相位校正元件后，利用透鏡將轉(zhuǎn)換后的態(tài)分離到觀察平面指定的橫向位置，聚焦點的橫向位置取決于輸入的軌道角動量模式，其關(guān)系為

圖17 實驗裝置示意圖

(a)幾何變換 (b)相位矯正 圖18 光學(xué)元件的相位剖面

(15)

根據(jù)探測平面的強度分布，待測光束中所含的軌道角動量模式可以被識別出來，如圖19所示，第1列是待測渦旋光束經(jīng)過幾何變換元件(SLM2)之前的相位和光強分布，第2列是待測渦旋光束經(jīng)過相位校正元件(SLM3)之后的相位和光強分布，最后2列分別是在探測平面上的數(shù)值模擬結(jié)果和實驗結(jié)果. 此外，此方法可以用來識別軌道角動量的疊加態(tài)，如圖19最后1行所示. 但是，由于衍射極限的存在，2個相鄰的軌道角動量模式產(chǎn)生的光斑略有重疊. 為了解決這一問題，Boyd等人提出利用光束復(fù)制裝置來增強轉(zhuǎn)換后的軌道角動量模式分離的方案[55-56]. 另外，他們利用光學(xué)幾何變換結(jié)合光束復(fù)制技術(shù)，通過對軌道角動量的弱測量和角位置的強測量，得到了不同軌道角動量模式的復(fù)振幅[57]. 此外，由于空間光調(diào)制器的衍射效率有限，可以用折射率元件將其代替來執(zhí)行笛卡爾坐標(biāo)到對數(shù)坐標(biāo)的變換[58-59].

圖19 數(shù)值模擬結(jié)果和實驗結(jié)果

8 旋轉(zhuǎn)多普勒效應(yīng)法

旋轉(zhuǎn)多普勒效應(yīng)類似于傳統(tǒng)的多普勒效應(yīng)，是在角動量的基礎(chǔ)之上發(fā)生的多普勒效應(yīng). 如圖20所示, 當(dāng)1束攜帶軌道角動量量子數(shù)l、頻率為f的渦旋光束入射到旋轉(zhuǎn)物體表面，其轉(zhuǎn)速為Ω，則在散射光中會發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)多普勒效應(yīng)，頻移量為Δf=(l-m)Ω/2π，其中m表示散射光中的軌道角動量量子數(shù). 若旋轉(zhuǎn)物體的轉(zhuǎn)速已知，則通過測量散射光中特殊模式的頻移量就可以得到入射光束攜帶的軌道角動量[60-61].

圖20 旋轉(zhuǎn)多普勒效應(yīng)示意圖

旋轉(zhuǎn)物體對入射渦旋光束的作用是進(jìn)行了相位和振幅調(diào)制，將旋轉(zhuǎn)考慮進(jìn)去，則物體的調(diào)制函數(shù)用傅里葉展開可表達(dá)為

M(r,φ)=∑An(r)exp (inφ)exp (-inΩt)，

其中n為整數(shù)，An(r)為n階諧波復(fù)振幅，滿足∑ |An(r)|2=1. 若入射光束是攜帶多個軌道角動量疊加態(tài)的渦旋光束，即含有N個未知的軌道角動量模式，可將入射的渦旋光束表示為

(16)

其中l(wèi)s是軌道角動量量子數(shù)，取值范圍為l1到lN，f是入射渦旋光束的初始頻率，Bs表示入射渦旋光束的相應(yīng)模式的復(fù)振幅. 引入?yún)⒖脊猞肂0exp (-i2πtf)exp (il0φ)，參考光和待測的渦旋光束一起入射到旋轉(zhuǎn)物體上，其中γ是用來調(diào)節(jié)參考光光強的參數(shù). 那么從旋轉(zhuǎn)物體上散射的光束的復(fù)振幅的表達(dá)式為

B1exp (-2iπtf)Am-l1exp (imφ)exp [-i(m-l1)Ωt]+

B2exp (-2iπtf)Am-l2exp (imφ)exp [-i(m-l2)Ωt]+

…

BNexp (-2iπtf)Am-lNexp (imφ)exp [-i(m-lN)Ωt],

(17)

由式(17)可知，所有的入射模式經(jīng)過旋轉(zhuǎn)物體后均轉(zhuǎn)換成一系列相同的軌道角動量模式，這意味著散射光束經(jīng)歷了和入射渦旋光束的軌道角動量量子數(shù)ls成線性關(guān)系的多普勒頻移. 當(dāng)散射光束傳播一定距離后，利用模式濾波器選擇其中1個模式，假設(shè)該模式為OAMm，一般情況下m=0，即OAM0模式，然后利用光電探測器對該模式進(jìn)行探測. 由于拍頻效應(yīng)，則收集到的光強分布可表示為

(18)

(19)

如果lp-l0(p=1,2,…,N) 不改變符號，那么軌道角動量量子數(shù)lp會一一對應(yīng)的映射到頻率空間，而且其系數(shù)與相應(yīng)的軌道角動量模式的復(fù)振幅有關(guān). 如果所有的系數(shù)An和B0都是已知的，則可以通過對收集到的光強進(jìn)行分析得到軌道角動量模式的譜分布. 需要注意的是，當(dāng)考慮沿徑向方向的差異的情況下，φp,0是通過復(fù)雜的積分得到的值，而且φp,0并不等于相應(yīng)的入射的軌道角動量模式的相位. 但φp,0和相應(yīng)的入射的軌道角動量模式的相位總是有固定的偏差，因此可以預(yù)先測量出這個偏差，然后對測得的結(jié)果進(jìn)行校正就可以得到完整且正確的軌道角動量譜分布(包含復(fù)振幅分布和相位分布). 如圖21所示，輸入的軌道角動量模式的振幅分布是三角形分布的情況下的實驗結(jié)果，圖21(a)顯示的是輸入光的仿真圖樣和實驗圖樣. 測量得到的軌道角動量模式的功率和相位分布分別如圖21(b)和21(c)所示,其中藍(lán)色是仿真結(jié)果，紅色是實驗結(jié)果. 因此，此方法不但可以測量光束中所含的軌道角動量模式，還可以測量各個軌道角動量模式的振幅和相對相位.

圖21 輸入的軌道角動量模式的振幅分布是三角形分布的情況下的實驗結(jié)果

9 結(jié)束語

軌道角動量量子數(shù)l和徑向量子數(shù)p是表征拉蓋爾-高斯模式的基本物理參量. 由于拉蓋爾-高斯模式的高維和光學(xué)渦旋特性，使得其在經(jīng)典和量子領(lǐng)域展示出了巨大的應(yīng)用潛力，已經(jīng)引起人們廣泛的關(guān)注. 根據(jù)軌道角動量量子數(shù)l和徑向量子數(shù)p區(qū)分不同拉蓋爾高斯模式的能力對基于拉蓋爾-高斯模式的應(yīng)用至關(guān)重要. 對于光子來說，在傍軸近似的條件下，其自旋角動量和軌道角動量是相互分離的，通過偏振分束器和波片可以很容易地將光子按照其偏振狀態(tài)進(jìn)行分離，然而，根據(jù)光子的軌道角動量對光子進(jìn)行分離是比較復(fù)雜的問題. 目前，根據(jù)探測光子軌道角動量的方法有很多，本文中我們主要對光學(xué)系統(tǒng)中探測軌道角動量模式的方法以分類的形式給予闡述. 西安交通大學(xué)理學(xué)院量子光學(xué)團(tuán)隊長期從事渦旋光的理論和實驗研究，角向雙縫干涉方法和旋轉(zhuǎn)多普勒方法均為我們首先提出. 我們還利用光的軌道角動量作為信息載體，在精密測量、高維量子計算、高維量子通信等領(lǐng)域取得一系列研究成果，承擔(dān)了國家自然科學(xué)基金重點項目等多項課題.