毛如圣， 張 波， 劉子龍， 楊 波

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院物理系， 武漢 430070)

1 引 言

里德堡原子是指原子最外層電子被激發(fā)到主量子數(shù)n很大的高激發(fā)態(tài)原子[1]，它具有自發(fā)輻射壽命長(zhǎng)、極化率大和電偶極矩強(qiáng)等特殊的物理性質(zhì)[2]. 里德堡原子對(duì)外部電磁場(chǎng)十分敏感，不僅可以利用其對(duì)外場(chǎng)進(jìn)行探測(cè)，還可以利用外場(chǎng)實(shí)現(xiàn)對(duì)里德堡原子的操控[3～6]. 隨著激光冷卻技術(shù)的發(fā)展，超冷里德堡原子的獲得使多普勒效應(yīng)得到有效的抑制，推進(jìn)了里德堡原子間相互作用的研究與應(yīng)用[7]. 里德堡原子之間的相互作用大致可分為兩類(lèi)[8]：一類(lèi)為長(zhǎng)程范德瓦爾斯相互作用，其相互作用能為Vint=-C6/R6；另一類(lèi)稱(chēng)為偶極-偶極相互作用，其相互作用能為Vint∝1/R3，且這種相互作用比范德瓦爾斯相互作用更強(qiáng). 里德堡原子之間的相互作用導(dǎo)致里德堡能級(jí)頻移，從而在里德堡原子周?chē)欢ň嚯x內(nèi)的其他原子無(wú)法被激發(fā)到里德堡態(tài)，這個(gè)現(xiàn)象被稱(chēng)為偶極阻塞效應(yīng)[9,10]，這個(gè)距離為偶極阻塞半徑[11]. 利用里德堡原子的相互作用與偶極阻塞效應(yīng)可以實(shí)現(xiàn)量子比特、量子邏輯門(mén)以及量子糾纏態(tài)的制備[12～16]，這是量子信息處理[17]的基礎(chǔ)量子計(jì)算[18]的關(guān)鍵. 約化密度矩陣法[19]和量子蒙特卡羅[20, 21]等方法已被用于計(jì)算和模擬里德堡原子間的相互作用和偶極阻塞效應(yīng). 本文利用平均場(chǎng)法[22]計(jì)算里德堡原子的偶極阻塞效應(yīng)，在主量子數(shù)和原子密度不大的條件下[23]，計(jì)算過(guò)程較前述兩種方法簡(jiǎn)單，里德堡原子間的相互作用的影響可以得到簡(jiǎn)化，同時(shí)本文還分析了主量子數(shù)、拉比頻率與原子密度對(duì)偶極阻塞效應(yīng)的影響.

2 平均場(chǎng)模型

對(duì)于一個(gè)存在相互作用的多原子系統(tǒng)，其每一個(gè)原子都將受到周?chē)拥挠绊? 將其周?chē)拥南嗷プ饔眠M(jìn)行迭加，并根據(jù)原子密度分布進(jìn)行平均，從而可以形成一個(gè)只依賴(lài)于此原子的平均勢(shì)場(chǎng)，這個(gè)平均勢(shì)場(chǎng)可用一個(gè)單體算符來(lái)描述. 即利用平均場(chǎng)法，可以將單個(gè)原子受到相互作用力用一個(gè)算符來(lái)表達(dá).

(1)

(2)

(3)

其中ri與rj分別表示第i和j個(gè)原子的位矢，C6為里德堡原子間的相互作用系數(shù)[26]，利用朗道平均場(chǎng)理論，忽略場(chǎng)的二階漲落，即(|e〉i〈e|-ρee)(|e〉j〈e|-ρee)≈0，這里ρee為原子處于里德堡態(tài)的幾率，可以得到：

|e〉i〈e||e〉j〈e|≈|e〉i〈e|ρee+

(4)

其中第二步將第i和j個(gè)原子當(dāng)做等價(jià)的來(lái)處理.

當(dāng)原子數(shù)較多時(shí)，可以將原子看作是準(zhǔn)連續(xù)的，于是求和符號(hào)化為積分[27]. 當(dāng)兩原子之間的距離r=ri-rj遠(yuǎn)小于偶極阻塞半徑Rd即r<>Rd時(shí)，兩個(gè)原子均可以被激發(fā)為里德堡原子. 因此：

(5)

再將(4)和(5)式代入到(3)式中，在忽略不影響密度矩陣運(yùn)動(dòng)方程的常數(shù)項(xiàng)后，可以求得相互作用哈密頓量的表達(dá)式：

(6)

3 速率方程

由主量子方程：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

4 結(jié)果與分析討論

4.1 偶極阻塞效應(yīng)對(duì)原子躍遷的影響

取銣原子團(tuán)的密度為ρ=3×1010cm-3，激光場(chǎng)拉比頻率為Ω=5 MHz、自發(fā)輻射概率為Γ=6 MHz、激光線寬為γ=2 MHz，我們計(jì)算了不同頻率失諧量下，銣原子團(tuán)被激發(fā)到n=50的里德堡態(tài)的幾率，如圖1所示. 圖中黑色實(shí)線是不考慮原子間偶極相互作用(即公式(9)中Δint=0)時(shí)，原子的激發(fā)幾率；紅色虛線是考慮原子間偶極相互作用(Δint≠0)時(shí)，原子的激發(fā)幾率.

如果不斷減小銣原子團(tuán)的密度，原子間偶極相互作用會(huì)隨之不斷減小，以至圖中兩條曲線重合. 在不考慮原子間偶極相互作用且激光頻率失諧量Δ=0時(shí)，得到最大的激發(fā)幾率，此時(shí)被激發(fā)到里德堡態(tài)的原子占比約為22.73%(見(jiàn)圖1中黑色實(shí)線). 在ρ=3×1010cm-3時(shí)，原子間偶極相互作用不為0(Δint≠0)不可忽略，紅色虛線是加上原子間偶極相互作用后，里德堡原子的占比. 原子間偶極相互作用使里德堡能級(jí)發(fā)生頻移，此時(shí)只有當(dāng)激光頻率失諧量Δ與里德堡能級(jí)頻移Δint之和為0時(shí)，才能得到最大激發(fā)幾率，僅為19.32%(見(jiàn)圖1中紅色虛線)這是因?yàn)榕紭O阻塞效應(yīng)導(dǎo)致處于阻塞半徑內(nèi)的原子無(wú)法被激發(fā)到里德堡態(tài).

圖1 里德堡原子占比Fig.1 Population of excited Rydberg atoms vs laser detuning

4.2 主量子數(shù)對(duì)偶極阻塞效應(yīng)的影響

被激發(fā)到不同主量子數(shù)的里德堡原子之間的相互作用大小不同，所導(dǎo)致的偶極阻塞效應(yīng)也不同. 對(duì)于密度為ρ=3×1010cm-3的銣原子團(tuán)，拉比頻率為Ω=5 MHz、自發(fā)輻射概率為Γ=6 MHz、激光線寬為γ=2 MHz，且滿足Δ+Δint=0時(shí)，我們計(jì)算了主量子數(shù)n從50到80時(shí)，里德堡原子的激發(fā)幾率，如圖2所示. 這里所選取原子團(tuán)的密度較小，原子間的相互作用相對(duì)較弱，在n=80時(shí)，仍可用平均場(chǎng)法來(lái)近似計(jì)算.

隨著主量子數(shù)的增大，里德堡原子的躍遷偶極矩急劇增大，里德堡原子間的相互作用力也隨之增大，導(dǎo)致里德堡能級(jí)頻移增大，偶極阻塞效應(yīng)強(qiáng)烈，抑制基態(tài)原子向里德堡態(tài)的躍遷. 從而在圖2的曲線可以看出，主量子數(shù)的越大，被激發(fā)到里德堡態(tài)的原子數(shù)目越少. 當(dāng)主量子數(shù)n=50時(shí)，被激發(fā)到里德堡態(tài)的原子占比約為19.32%，而當(dāng)主量子數(shù)n=80時(shí)，被激發(fā)到里德堡態(tài)的原子僅占了2.44%. 即隨著主量子數(shù)的增大，里德堡原子的偶極阻塞效應(yīng)越明顯.

圖2 不同主量子數(shù)時(shí)里德堡原子的激發(fā)幾率Fig.2 population of excited Rydberg atoms at different principal quantumnumbers

4.3 拉比頻率對(duì)偶極阻塞效應(yīng)的影響

激光功率將會(huì)影響里德堡原子的偶極阻塞效應(yīng)，而激光功率越大對(duì)應(yīng)的拉比頻率也就越大. 對(duì)于密度為ρ=3×1010cm-3的銣原子團(tuán)，其自發(fā)輻射概率為Γ=6 MHz、激光線寬為γ=2 MHz，滿足Δ+Δint=0時(shí)，我們計(jì)算了拉比頻率Ω從0 MHz到20 MHz時(shí)，被激發(fā)到n=50的里德堡態(tài)原子占比，如圖3所示.

當(dāng)拉比頻率小于5 MHz ，隨著拉比頻率的增加，被激發(fā)到里德堡態(tài)的原子數(shù)目線性增大，這是因?yàn)槔阮l率較小時(shí)，被激發(fā)到里德堡態(tài)的原子數(shù)很少，處于偶極阻塞半徑內(nèi)的原子也較少，大部分原子的里德堡能級(jí)不會(huì)有顯著變化，不會(huì)出現(xiàn)偶極阻塞效應(yīng)；當(dāng)拉比頻率大于5 MHz，隨著拉比頻率的增大，里德堡原子數(shù)目逐漸增加，處于偶極阻塞半徑內(nèi)的原子增多，大部分原子的里德堡能級(jí)也都發(fā)生明顯頻移，導(dǎo)致偶極阻塞效應(yīng)增強(qiáng)；當(dāng)拉比頻率足夠大(約大于15 MHz)時(shí)，被激發(fā)到里德堡的原子數(shù)目達(dá)到飽和，大部分原子都處于偶極阻塞半徑內(nèi)，原子無(wú)法被激發(fā)到里德堡態(tài)，從而有十分明顯的偶極阻塞效應(yīng).

圖3 不同拉比頻率時(shí)的里德堡原子的激發(fā)幾率Fig. 3 population of excited Rydberg atoms at different Rabi frequencies

4.4 原子密度對(duì)偶極阻塞效應(yīng)的影響

同樣原子密度也將影響偶極阻塞效應(yīng)，原子的密度越大則原子間的間距越小. 當(dāng)拉比頻率為Ω=5 MHz、自發(fā)輻射概率為Γ=6 MHz、激光線寬為γ=2 MHz，滿足共振條件Δ+Δint=0時(shí)，我們計(jì)算了原子間距a從10-7m逐漸增大到的10-5m時(shí)(對(duì)應(yīng)密度從1015cm-3變化到109cm-3)，被激發(fā)到n=50的里德堡態(tài)原子占比，如圖4所示. 主量子數(shù)為n=50，在所取密度范圍內(nèi)(109cm-3～1015cm-3)，原子間的相互作用較弱，仍可以用平均場(chǎng)法來(lái)近似.

當(dāng)原子的間距a遠(yuǎn)小于偶極阻塞半徑Rd時(shí)，原子將會(huì)受到強(qiáng)大偶極相互作用，所有的基態(tài)原子均無(wú)法被激發(fā)到里德堡態(tài)，偶極阻塞效應(yīng)明顯；當(dāng)原子團(tuán)密度降低時(shí)，原子間距a也逐漸增大，原子間的偶極相互作用隨之降低，部分原子處于偶極阻塞半徑之外，從而這些基態(tài)原子能夠被激發(fā)到里德堡態(tài)，處于里德堡態(tài)的原子數(shù)目也逐漸增加，偶極阻塞效應(yīng)減弱；當(dāng)原子間距a足夠大時(shí)，原子之間的偶極相互作用力非常弱，此時(shí)里德堡原子占比為一定值，偶極相互作用可忽略.

圖4 不同原子間距時(shí)的里德堡原子的激發(fā)幾率Fig. 4 population of excited Rydberg atoms vs atomic distance

5 結(jié) 論

本文利用平均場(chǎng)法計(jì)算了給定銣原子團(tuán)在不同條件下的里德堡態(tài)激發(fā)幾率，分析了不同主量子數(shù)、拉比頻率以及原子密度時(shí)里德堡原子的偶極阻塞效應(yīng). 原子間的偶極相互作用使里德堡能級(jí)頻移，出現(xiàn)偶極阻塞效應(yīng)，從而降低基態(tài)原子激發(fā)到里德堡態(tài)的幾率. 主量子數(shù)越大，原子間的偶極相互作用越強(qiáng)，導(dǎo)致能級(jí)頻移越大，偶極阻塞效應(yīng)越明顯. 激光功率增強(qiáng)，拉比頻率的增大，使得里德堡態(tài)的原子數(shù)目增加，但這也將導(dǎo)致偶極相互作用的增大，當(dāng)里德堡原子達(dá)到一定數(shù)目時(shí)，即使再增加拉比頻率，由于偶極阻塞效應(yīng)里德堡態(tài)原子占比達(dá)到飽和. 原子密度越大，原子間距越小，原子間的偶極相互作用越強(qiáng)，偶極阻塞效應(yīng)越明顯. 相反，原子密度越小，原子間距越大，原子間的偶極相互作用越弱.

本文中我們假定所有原子之間的距離是相等的，適用于光晶格中的原子分布，而實(shí)驗(yàn)中捕獲在磁光阱中的原子團(tuán)是高斯分布，后續(xù)我們將在計(jì)算中考慮這種非等距分布原子團(tuán)中的原子的相互作用，并分析其偶極阻塞效應(yīng). 偶極阻塞效應(yīng)的研究有助于量子比特與量子邏輯裝置的實(shí)現(xiàn)，促進(jìn)量子信息與多體物理等領(lǐng)域的發(fā)展.