黃葉飛 徐 磊 劉 杰 荊帥召 周昌巧 金永苗

(1.中冶華天南京工程技術(shù)有限公司,南京 210019;2.河海大學(xué) 水利水電工程學(xué)院,南京 210098;3.重慶市水利電力建筑勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院,重慶 400020)

隨著數(shù)值分析方法的發(fā)展和計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步,在混凝土結(jié)構(gòu)分析中開展宏細(xì)觀相結(jié)合的多尺度結(jié)構(gòu)分析方法已成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)之一.

相對(duì)于基于給定的混凝土材料宏觀本構(gòu)模型并在單一宏觀尺度上開展混凝土結(jié)構(gòu)分析,在多尺度分析中混凝土材料的宏觀力學(xué)行為是直接基于細(xì)觀分析結(jié)果給出的,理論上具有更高的精度.在多尺度分析中為實(shí)現(xiàn)宏觀尺度與細(xì)觀尺度間的連接,通常需要為宏觀尺度上的任一材料點(diǎn)賦予一個(gè)細(xì)觀尺度上的代表性體積單元(RVE),繼而通過(guò)降尺度技術(shù)將宏觀應(yīng)變轉(zhuǎn)化為細(xì)觀RVE的邊界條件,并開展細(xì)觀分析得到RVE的細(xì)觀力學(xué)響應(yīng),在此基礎(chǔ)上,通過(guò)升尺度技術(shù)(計(jì)算均勻化),將細(xì)觀尺度上的計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為宏觀尺度計(jì)算所需的本構(gòu)行為[1-2].

如前所述,將宏觀應(yīng)變轉(zhuǎn)化為細(xì)觀RVE的邊界條件是實(shí)現(xiàn)尺度連接的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一.目前,常用的細(xì)觀RVE邊界條件主要有均勻應(yīng)變(Dirichlet)邊界條件、均勻應(yīng)力(Neuman)邊界條件以及周期性邊界條件.研究表明[3],隨著RVE尺寸的增大,Dirichlet和Neuman邊界條件下的結(jié)果會(huì)分別從上限和下限逼近周期性邊界條件下的結(jié)果.對(duì)于固定尺寸的RVE,相比其他兩種邊界條件,周期性邊界條件得到的材料宏觀有效性能更加精準(zhǔn).因而,在混凝土結(jié)構(gòu)的多尺度分析中,周期性邊界條件是較為理想的選擇.

現(xiàn)階段,周期性邊界條件的施加方法多采用手動(dòng)人工操作的方法.對(duì)于水工混凝土而言,由于其骨料尺寸相對(duì)較大,相應(yīng)的RVE尺寸也較大,這意味著其邊界結(jié)點(diǎn)數(shù)量眾多,當(dāng)采用常規(guī)的手動(dòng)方法對(duì)RVE施加周期性邊界條件時(shí),需要將相對(duì)邊界上的節(jié)點(diǎn)一一匹配,逐點(diǎn)施加邊界約束.在混凝土細(xì)觀數(shù)值分析過(guò)程中,該方法存在操作繁瑣,工作量巨大的弊端.而且在當(dāng)前的研究工作中,對(duì)此問(wèn)題仍然缺乏有效的解決方案.鑒于此,本文以周期性邊界條件理論為基礎(chǔ),并結(jié)合有限元計(jì)算軟件ABAQUS平臺(tái),提出了周期性邊界條件自動(dòng)施加的方法,給出了具體的實(shí)施流程,開發(fā)了基于ABAQUS的混凝土細(xì)觀分析周期性邊界條件自動(dòng)施加程序.最后,通過(guò)算例分析驗(yàn)證了該方法的可行性.

1 周期性邊界條件

在多尺度分析方法中,假設(shè)混凝土結(jié)構(gòu)在宏觀尺度上的任一積分點(diǎn)X都有相應(yīng)的RVE與之關(guān)聯(lián),其中RVE的區(qū)域是V,邊界是?V,如圖1所示.

圖1 RVE選取示意圖

在均勻化理論中,RVE上所施加的邊界條件應(yīng)滿足宏觀、細(xì)觀變形能量相等的條件,即Hill-Mandel條件.Hill-Mandel條件如下:

根據(jù)虛功原理,外力在容許位移上做的功等于應(yīng)力在容許應(yīng)變上做的功.在不考慮體力的情況下,公式為:

故可將Hill-Mandel條件改寫為:在細(xì)觀分析中,RVE邊界上的細(xì)觀位移場(chǎng)可分為均勻應(yīng)變場(chǎng)和位移波動(dòng)場(chǎng),即

將式(4)代入到(3)式,可得Hill-Mandel的簡(jiǎn)化公式:

對(duì)于一個(gè)二維的RVE幾何結(jié)構(gòu),如圖2所示,V1,V2,V3,V4為RVE的4個(gè)頂點(diǎn),?V+和?V-為邊界?V的正負(fù)兩個(gè)部分.在RVE的邊界上施加周期性邊界條件,要求其相對(duì)邊界上的節(jié)點(diǎn)分布相同,同時(shí)滿足位移連續(xù)和應(yīng)力連續(xù)條件,即相對(duì)邊上的節(jié)點(diǎn)位移相同,應(yīng)力矢量大小相等,方向相反.周期性邊界條件的特征可用下式表示:

圖2 RVE的幾何結(jié)構(gòu)

可以發(fā)現(xiàn)將式(6)和式(7)代入到式(5)的Hill-Mandel定理中等式仍然成立,說(shuō)明在RVE上施加周期性邊界是滿足Hill-Mandel條件的.

2 周期性邊界的自動(dòng)施加

對(duì)于RVE模型而言,其邊界條件是由宏觀應(yīng)變場(chǎng)轉(zhuǎn)換成的細(xì)觀尺度上邊界節(jié)點(diǎn)的位移來(lái)決定的[4].在定義RVE邊界條件時(shí),頂點(diǎn)V1在x和y方向的位移被約束,通過(guò)在其他邊界節(jié)點(diǎn)上施加相應(yīng)的位移約束來(lái)定義邊界條件.對(duì)于圖2所示的RVE結(jié)構(gòu),邊界節(jié)點(diǎn)的具體位移值如下所示:

其中,u表示細(xì)觀尺度上節(jié)點(diǎn)的位移,上標(biāo)V1,V2,V3,V4表示RVE 4個(gè)頂點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)編號(hào),從左下角開始逆時(shí)針?lè)较蚺判?而LR和TB分別表示RVE左右邊界和上下邊界上的節(jié)點(diǎn)編號(hào);下標(biāo)1,2表示節(jié)點(diǎn)的自由度;ε和γ表示宏觀的應(yīng)變分量;L x和L y分別表示RVE水平和豎直方向的尺寸.

根據(jù)式(4)和(6),可將周期性邊界條件改寫為:

在ABAQUS中,周期性邊界條件的施加,一般是通過(guò)在RVE相對(duì)邊界上的相應(yīng)節(jié)點(diǎn)處使用約束方程來(lái)實(shí)現(xiàn)的(可參考ABAQUS幫助文檔),約束方程的具體形式如下:

其中,A1,A2,A N是定義節(jié)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的系數(shù);P,Q,R是節(jié)點(diǎn)的編號(hào);i,j,k是節(jié)點(diǎn)自由度,如1,2,3分別表示x,y,z方向;^u是指定的位移約束,作為邊界條件使用.

為了方便在ABAQUS定義周期性邊界條件,引入了虛擬節(jié)點(diǎn)這個(gè)概念[5].將式(15)改寫為:

其中表示虛擬節(jié)點(diǎn)Z在s方向的位移值.定義虛擬節(jié)點(diǎn)時(shí),應(yīng)注意的是虛擬節(jié)點(diǎn)Z的編號(hào)要足夠大,不能與模型中的節(jié)點(diǎn)編號(hào)重復(fù),且虛擬節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)位置不能與模型的任何部分相連.

在ABAQUS的input文件中,使用命令*E-quation去定義這個(gè)約.

周期性邊界條件的自動(dòng)施加是建立在混凝土細(xì)觀有限元模型的基礎(chǔ)上.首先需要將混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分,獲取所有單元節(jié)點(diǎn)的編號(hào)以及坐標(biāo)等信息.有限元網(wǎng)格劃分時(shí),相對(duì)邊界上的網(wǎng)格密度應(yīng)相同.

在獲取有限元模型的數(shù)據(jù)信息后,本文基于周期性邊界條件理論以及ABAQUS的input計(jì)算文件的格式要求,編制了相應(yīng)程序用以實(shí)現(xiàn)周期性邊界條件的自動(dòng)施加,圖3為相應(yīng)程序的流程圖.

圖3 程序流程圖

下面對(duì)程序中的約束方程進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明.為了在有限元分析中應(yīng)用周期性邊界條件,程序引入了3個(gè)虛擬節(jié)點(diǎn)Set-dummy-XX、Set-dummy-XY、Set-dummy-YY,節(jié)點(diǎn)編號(hào)設(shè)為100000、100001、100002,坐標(biāo)設(shè)為(-10,10)、(-10,0)、(10,0).然后使用下述命令行對(duì)邊界節(jié)點(diǎn)施加約束方程.

最后,定義一個(gè)加載步,在該加載步中指定虛擬節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的宏觀應(yīng)變分量.具體命令行如下:

3 算例驗(yàn)證

為驗(yàn)證2中所提到的周期性邊界自動(dòng)施加程序的正確性,取一個(gè)300 mm×300 mm的二維水工混凝土試件進(jìn)行算例分析.

在本項(xiàng)研究中,認(rèn)為混凝土在細(xì)觀尺度上是由骨料、砂漿以及界面過(guò)渡區(qū)(ITZ)3部分構(gòu)成的.考慮到水工混凝土的實(shí)際結(jié)構(gòu),骨料的幾何形狀被定為不規(guī)則多邊形,界面過(guò)渡區(qū)則是用骨料和砂漿之間具有一定厚度的界面表示,砂漿被認(rèn)為是連續(xù)均勻材料.混凝土試件中骨料含量為50%,骨料級(jí)配采用常用的混凝土三級(jí)配曲線,其中小石∶中石∶大石的比例為3∶3∶4.根據(jù)蒙特卡洛原理以及take-and-place方法,生成混凝土試件的隨機(jī)骨料結(jié)構(gòu).詳細(xì)步驟見(jiàn)文獻(xiàn)[6].混凝土試件的隨機(jī)骨料結(jié)構(gòu)如圖4所示.

圖4 混凝土試件的幾何模型

在材料的本構(gòu)模型方面,對(duì)于骨料采用各向同性線彈性模型,對(duì)于砂漿和ITZ則采用CDP模型,而ITZ是混凝土材料中的薄弱環(huán)節(jié),其相應(yīng)材料參數(shù)均取為砂漿參數(shù)的0.75倍.

為了使混凝土細(xì)觀材料參數(shù)更加符合實(shí)際,依據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范(GB50010-2010)》[7]中給出的C20混凝土單軸受拉應(yīng)力應(yīng)變曲線,反演出砂漿和ITZ的力學(xué)參數(shù),表1給出了混凝土細(xì)觀組成的力學(xué)參數(shù).

表1 混凝土細(xì)觀組成的力學(xué)參數(shù)

根據(jù)混凝土的細(xì)觀結(jié)構(gòu),借助于有限元軟件平臺(tái)ABAQUS,可實(shí)現(xiàn)混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格剖分,圖5為混凝土試件的有限元模型,其中骨料位置用紅色突出顯示.網(wǎng)格密度設(shè)為骨料最小粒徑的0.4倍,保證了相對(duì)邊界上節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).

圖5 混凝土試件的有限元模型

采用2中提出的自動(dòng)施加周期性邊界條件的方法,對(duì)混凝土有限元模型施加3種不同的約束,包括主軸方向的拉伸和平面內(nèi)的剪切,這3種工況邊界條件下的宏觀應(yīng)變分量見(jiàn)表2.

表2 RVE的邊界條件

圖6～7為工況1邊界條件下的變形圖和等效應(yīng)力圖,圖8～9為工況2邊界條件下的變形圖和等效應(yīng)力圖,圖10～11為工況3邊界條件下的變形圖和等效應(yīng)力圖.

圖6 工況1變形圖

圖7 工況1等效應(yīng)力圖

圖8 工況2變形圖

圖9 工況2等效應(yīng)力圖

圖10 工況3變形圖

圖11 工況3等效應(yīng)力圖

由圖6、圖8和圖10可以發(fā)現(xiàn),在3種不同工況下,混凝土試件相對(duì)邊界都表現(xiàn)出變形形態(tài)相同,位移差相等的特點(diǎn),滿足周期性邊界位移連續(xù)的要求;由圖7、圖9和圖11可以發(fā)現(xiàn),在3種不同工況下,混凝土試件的應(yīng)力分布并不均勻,但是相對(duì)邊界的對(duì)應(yīng)區(qū)域呈現(xiàn)應(yīng)力一致的特點(diǎn),滿足周期性邊界應(yīng)力連續(xù)的要求.綜上,可以證明本文所提出的方法滿足周期性邊界正確施加的兩個(gè)基本特征:位移連續(xù)和應(yīng)力連續(xù),驗(yàn)證了本文方法的正確性.

與此同時(shí),相比手動(dòng)施加周期性邊界條件方法的繁瑣耗時(shí),由于本文采用的是自動(dòng)施加,在操作上更加便捷,施加速度也具有明顯的優(yōu)勢(shì).

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)水工混凝土細(xì)觀分析中周期性邊界條件施加存在操作繁瑣,耗時(shí)過(guò)長(zhǎng)等問(wèn)題,本文以周期性邊界條件理論為基礎(chǔ),結(jié)合有限元計(jì)算軟件ABAQUS,提出了周期性邊界條件自動(dòng)施加方法,并通過(guò)算例對(duì)本文所提方法進(jìn)行了驗(yàn)證.在3種不同工況下,使用本文方法對(duì)混凝土細(xì)觀數(shù)值模型施加周期性邊界條件.結(jié)果表明,本文所提方法滿足周期性邊界條件位移連續(xù)和應(yīng)力連續(xù)的基本要求,且操作便捷,周期性邊界條件施加速度顯著提升,在水工混凝土細(xì)觀分析中具有較好的可行性.