姜蓮霞，鄧 勇

(喀什大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆 喀什 844006)

設Mm×n(R)是有單位元e≠0的主理想環(huán)R上的m×n階矩陣集合，GL(n，R)是R上的n階可逆矩陣集合。令In和0n×k分別表示n階單位矩陣和n×k階零矩陣。設矩陣對A，B∈Mn×n(R)，用[A，B]=AB-BA表示其交換子。

稱矩陣對A，B∈Mn×n(R)可同時三角化，如果存在可逆矩陣T∈GL(n，R)，使得

均為下三角矩陣。

目前，有單位元的交換環(huán)上的矩陣對可同時三角化的問題仍未得到徹底解決。我們已經(jīng)知道，在有單位元的交換環(huán)上，矩陣對可同時三角化的必要條件是它們的特征多項式能夠分解成一次因式的乘積。文獻[1]研究了在主理想環(huán)上，當矩陣對的特征多項式的最小多項式為二次不可約多項式時，它們可同時三角化的問題。文獻[2]在交換環(huán)上，建立了二階矩陣族可同時三角化的充分必要條件。McCoy定理雖然給出了代數(shù)閉域上矩陣對可同時三角化的判據(jù)[3]，但是定理的條件卻很難通過常規(guī)的方法去驗證。在復數(shù)域上，文獻[4-7]給出了將矩陣對同時三角化的構造方法；文獻[8]給出了對稱不定矩陣三對角化約化方法的新的方法；文獻[9-10] 中給出了對稱矩陣三對角化的算法設計；文獻[11]給出了基于矩陣三對角化分解的DOA估計算法；文獻[12]給出了實對稱陣三對角化和二分法的結(jié)構優(yōu)化算法。

眾所周知，矩陣A∈Mn×n(R)稱為對合矩陣，如果A2=In。顯然，對合矩陣的最小多項式為m(λ)=(λ-e)(λ+e)。因此，A∈Mn×n(R)是對合矩陣的充分必要條件是(In-A)(In+A)=0n×n?；诖?，在主理想環(huán)上，建立矩陣對可同時三角化的充分必要條件。

2 主要結(jié)論及其證明

值得注意的是，當R是代數(shù)閉域F時，矩陣對A，B∈Mn×n(F)存在共同特征向量的問題文獻[13]已徹底解決。但是，當R是一般的交換環(huán)時，矩陣對A，B∈Mn×n(R)存在共同特征向量的問題卻仍未得到有效解決[14]。

假設矩陣對A，B∈Mn×n(R)的最小多項式均為二次多項式，并且它們均可分解為一次因式的乘積。下面，建立這種矩陣對存在共同特征向量的充分必要條件。

定理1 設矩陣對A，B∈Mn×n(R)的最小多項式分別為

mA(λ)=(λ-α1)(λ-α2)，α1≠α2

和

mB(λ)=(λ-β1)(λ-β2)，β1≠β2

其中：αi，βj∈R(i，j=1，2)。于是，A和B在R上有共同特征向量當且僅當交換子[A，B]是一個奇異矩陣。

證明 必要性顯然。

由定理1可得如下推論：

推論1 對合矩陣對A，B∈Mn×n(R)有共同特征向量當且僅當(A-B)和(A+B)至少有一個是奇異矩陣。

(?) 設(A-B)和(A+B)至少有一個是奇異矩陣。因

(A-B)(A+B)=AB-BA=[A，B]，

故對合矩陣A和B的交換子[A，B]奇異。由定理1，矩陣A和B有共同特征向量。證畢。

現(xiàn)在，利用定理1的結(jié)果來建立Mn×n(R)中的矩陣對可同時三角化的充分必要條件。

定理2 設矩陣對A，B∈Mn×n(R)的最小多項式分別為

mA(λ)=(λ-α1)(λ-α2)，α1≠α2

和

mB(λ)=(λ-β1)(λ-β2)，β1≠β2，

其中αi，βj∈R(i，j=1，2)。于是，A和B在R上可同時三角化當且僅當交換子[A，B]是冪零矩陣。

證明 (?)顯然。

(?)設矩陣對A，B∈Mn×n(R)的最小多項式分別為

mA(λ)=(λ-α1)(λ-α2)，α1≠α2

和

mB(λ)=(λ-β1)(λ-β2)，β1≠β2，

和

其中A1，B1∈M(n-1)×(n-1)(R)。因交換[A，B]是冪零矩陣，故

和

和

用類似方法，經(jīng)過有限步后，必可得出結(jié)論：對矩陣A和B，存在矩陣T∈GL(n，R)，使得TAT-1和TBT-1均為下三角矩陣。證畢。

由定理2可得如下推論

推論2設矩陣對A，B∈Mn×n(R)的最小多項式分別為

mA(λ)=(λ-α1)(λ-α2)，α1≠α2

和

mB(λ)=(λ-β1)(λ-β2)，β1≠β2，

其中αi，βj∈R(i，j=1，2)，交換子[A，B]是冪零矩陣。若矩陣A可對角化，則存在矩陣W∈GL(n，R)，使得WAW-1是對角矩陣，WBW-1是下三角矩陣。

證明 因為交換子[A，B]是冪零矩陣，所以對矩陣A，B而言，存在矩陣U∈GL(n，R)，使得UAU-1=TA和UBU-1=TB均為下三角矩陣。又因矩陣A可對角化，故UAU-1可對角化。 容易看出， 對矩陣UAU-1， 存在下三角矩陣V∈GL(n，R)， 使得VTAV-1是對角矩陣，VTBV-1是下三角矩陣。 證畢。

推論3 對合矩陣對A，B∈Mn×n(R)可同時三角化當且僅當它們的交換子[A，B]是冪零矩陣。

3 結(jié)論

在定理2假設的條件下，本文得到了主理想環(huán)R上的n×n階矩陣對A，B可同時三角化的一個充分必要條件。根據(jù)定理2的充分性證明，進而得到了通過有限步驗證程序，將矩陣對A，B化簡為下三角矩陣的一種方法。另外，還需注意到，本文的結(jié)論對初等除環(huán)上的矩陣對A，B依然正確。