蘇藝偉

(福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū) 363100)

一、試題

如圖1所示,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC為折痕將△ACM折起,使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置,且AB⊥DA.

(1)證明平面ACD⊥平面ABC.

二、試題分析

本題是2018年全國(guó)Ⅰ卷文科第18題.從考查內(nèi)容上看,主要考查立體幾何中常見(jiàn)的翻折問(wèn)題,涉及到垂直的證明以及求三棱錐體積問(wèn)題.從難易程度上看,試題分為兩步,梯度明顯,既可以讓不同的考生都有所收獲,還可以區(qū)分出不同層次的考生;從命題立意角度上看,主要考查空間想象能力,運(yùn)算求解能力,推理論證能力.由于本省文科生沒(méi)有學(xué)習(xí)用建系法求解空間幾何問(wèn)題,因此本道試題必須采用傳統(tǒng)的綜合法求解,所以說(shuō)本題是考查學(xué)生是否掌握立體幾何基本功的一道好題.

1.對(duì)第一步分析

第一步要證明面面垂直,根據(jù)課本中面面垂直的判定定理,不難想到首先證明線(xiàn)面垂直,因此考慮證明AB⊥面ACD,借助線(xiàn)面垂直的判定定理進(jìn)行證明.

證明:由AB⊥AC,AB⊥DA,AC∩AD=A,得AB⊥面ACD.又AB?面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.

不難看出,本小步主要考查學(xué)生是否正確掌握空間中點(diǎn),線(xiàn),面位置關(guān)系的判斷與證明.尤其是線(xiàn)面垂直判定定理,面面垂直判定定理的應(yīng)用.這其中也滲透了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.除了上述證明思路,其實(shí)還可以有如下的證明方法:

顯然DB2=DC2+BC2,因此DC⊥CB.由DC⊥CA,DC⊥CB,CA∩CB=C,得DC⊥面ABC.又DC?面ACD,所以平面ACD⊥平面ABC.

這個(gè)思路抓住翻折過(guò)程中的不變量,結(jié)合條件AB⊥DA,運(yùn)用勾股定理巧妙求出線(xiàn)段長(zhǎng)以及得到垂直關(guān)系,更能體現(xiàn)出此類(lèi)翻折問(wèn)題的本質(zhì)以及命題者命制本道試題的初衷.

2.對(duì)第二步分析

方法1:如圖2所示,作QE∥DC,交AC于E,因?yàn)镈C⊥面ABC,所以QE⊥面ABC.因此頂點(diǎn)Q到底面ABP的距離即為QE=1.

方法2: 如圖2所示,作QE⊥AC,交AC于E,則QE∥DC,所以QE⊥面ABC.因此頂點(diǎn)Q到底面ABP的距離即為QE=1.

方法3: 如圖2所示,作QE⊥面ABC,因?yàn)镈C⊥面ABC,所以QE∥DC,又DC⊥AC,

所以點(diǎn)E在AC上,因此頂點(diǎn)Q到底面ABP的距離即為QE=1.

方法4: 如圖3所示,作QE∥AC,交DC于E,則QE∥面ABP,所以頂點(diǎn)Q到底面ABP的距離即為點(diǎn)E到底面ABP的距離,即為EC=1,因此頂點(diǎn)Q到底面ABP的距離即為1.

上述四種方法其實(shí)本質(zhì)是一樣的,都是在圖形中作出(找出)三棱錐Q-ABP的高,然后利用錐體的體積公式即可順利求解.可否不用作出高直接利用錐體的體積公式求解呢?

除了上述幾種解決方法,還可以運(yùn)用分割法的思想來(lái)進(jìn)行求解.

方法9:如圖4所示,作PN∥AB,交AC于N.由于AB⊥面ACD,所以PN⊥面ACD.

上述兩種方法是運(yùn)用割補(bǔ)法中的分割法來(lái)求三棱錐Q-ABP的體積,雖然有些繁瑣,但是能夠很好地鍛煉學(xué)生的思維能力,計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化能力,值得提倡.

3.閱卷過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤

(1)第一步錯(cuò)誤的地方有以下幾點(diǎn)：

①部分考生沒(méi)有正確寫(xiě)出兩對(duì)垂直.

②部分考生只寫(xiě)一對(duì)垂直就得到線(xiàn)面垂直

③部分考生由兩對(duì)垂直直接得到面面垂直.

④部分考生邏輯思維混亂,拼湊得到結(jié)論.

⑤書(shū)寫(xiě)不規(guī)范,如把∩寫(xiě)成∪,把面ACD⊥平面ABC寫(xiě)成△ACD⊥△ABC,把?寫(xiě)成∈.

(2)第二步錯(cuò)誤的地方有以下幾點(diǎn):

①不懂得求出頂點(diǎn)Q到底面ABP的距離.

②求出頂點(diǎn)Q到底面ABP的距離為2.

三、教學(xué)啟示

通過(guò)對(duì)題目的分析以及改卷過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤,我們認(rèn)為對(duì)立體幾何教學(xué)應(yīng)注重以下幾方面.

1.立體幾何的教學(xué)首先要注重基礎(chǔ),講透基本概念,基本定理

立體幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體形狀,大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科,通過(guò)直觀感知,操作確認(rèn)是學(xué)習(xí)這一知識(shí)的最好方法,因此教師在教學(xué)時(shí)要充分利用教學(xué)模型,引導(dǎo)學(xué)生真切,直觀,具體地觀察,感知,探究幾何教學(xué)模型中空間點(diǎn),線(xiàn),面之間的位置關(guān)系,利用多種形式表征結(jié)構(gòu)關(guān)系,這樣學(xué)生更易于形成立體幾何的認(rèn)知和學(xué)習(xí)習(xí)慣,掌握立體幾何的基本概念,基本定理,發(fā)展學(xué)生的空間想象能力,推理論證能力,提高圖形語(yǔ)言,文字語(yǔ)言,符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化能力.

立體幾何教學(xué)的根本目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),其中關(guān)鍵在于提高學(xué)生的空間想象力,增強(qiáng)空間感知能力.為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo),我們需要在直觀想象的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的理性推理論證能力,理性的推理論證可以讓學(xué)生更能清晰地把握空間幾何體的空間位置,是學(xué)生建立科學(xué)空間觀必不可少的思維歷程.因此,在教學(xué)中,我們要幫助學(xué)生架構(gòu)科學(xué)判斷空間位置的一整套推理論證的思維圖式.所謂思維圖式,即主體在遇到同屬性的問(wèn)題時(shí)能及時(shí)作出相應(yīng)思維的過(guò)程.在立體幾何模塊中具有非常多的思維圖式,例如空間線(xiàn)線(xiàn)角,線(xiàn)面角,二面角的求作;空間平行位置關(guān)系的判斷,空間垂直位置的判斷等等.對(duì)于這些問(wèn)題,我們要讓學(xué)生建立正確而順暢的思維鏈,即一遇到什么問(wèn)題,我們要順利地作出與問(wèn)題相匹配的完整思維和動(dòng)作,直至解決問(wèn)題.

2.立體幾何的教學(xué)要注重幾何法(綜合法)

利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題弱化了立體幾何的教育價(jià)值,因?yàn)榭臻g向量解決立體幾何問(wèn)題更多是算法程序化的操作,少有對(duì)立體幾何圖形中點(diǎn),線(xiàn),面之間結(jié)構(gòu)關(guān)系的分析,思考,不利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.因此在立體幾何的教學(xué)中一定要注重幾何法(綜合法).

新考綱明確規(guī)定刪減幾何證明選講之后,高考命題調(diào)整考查方向,重在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查,于是立體幾何試題就成了搭載考查平面幾何知識(shí)的載體和平臺(tái),綜合考查能力陡然上升,學(xué)生的二維,三維空間思維得到很好的訓(xùn)練.平面幾何知識(shí)滲透到立體幾何中后,解題思路和難度徒然增大,學(xué)生在二維和三維間思維中不斷轉(zhuǎn)換,容易形成思維混亂,知識(shí)斷層,思維鏈?zhǔn)茏?加上計(jì)算要求較高,就越發(fā)凸顯學(xué)生的某一方面能力的嚴(yán)重不足,這就要求在平時(shí)的復(fù)習(xí)備考中,各種能力的訓(xùn)練不能馬虎,要有針對(duì)性,有的放矢,知識(shí)的專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練和綜合提升兩方面都要抓,都必須落到實(shí)處.