張書瑋

(內(nèi)蒙古包頭市第一中學 014040)

一、題目與參考答案

題目如圖1所示，一根長為l的均勻細桿可以繞通過其一端的水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，桿最初處在水平位置. 桿上距O為a處放有一小物體(可視為質(zhì)點)，桿與其上小物體最初均處于靜止狀態(tài)，若此桿突然以勻角速度ω繞O軸運動. 問：當ω取什么值時小物體與桿可能相碰?

參考答案:

當ω較小時物體正好撞晨桿的邊緣，轉(zhuǎn)過小半圓周，

當ω較大時物體也撞晨邊緣，轉(zhuǎn)過大半圓周，

二、參考答案的反思

本題答案直接選用特定位置計算極值：物體與桿在桿端相遇. 本題中，需要滿足什么條件才能使桿長對結(jié)論沒有影響，從而可以選用桿端相碰作為特值來求解答案呢？我們在此作一討論：

當ω取較小值時，即桿轉(zhuǎn)動小圈時碰撞的情形. 設桿上距O為a處放有一可視為質(zhì)點的小物體，桿以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，物體與桿在桿的某位置(點C)相碰，所需時間為t，t時刻內(nèi)物體下落高度為h.

若此函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，即滿足物體下落時間越長，桿與物體碰撞所需角速度越大時，桿長對結(jié)果必無影響，則特值法可用，物體與桿在桿端碰撞時可解極值.

于是我們繼續(xù)進行下一步分析：桿長對結(jié)果是否產(chǎn)生影響，如何影響？當函數(shù)值ω在(0，ω)這一區(qū)間進行取值時，將對應兩個自變量t. 即假設碰撞后桿與物體的運動狀態(tài)皆不改變，當0<ω<ω0時，桿可與物體碰撞兩次.

此時我們對第二次碰撞進行分析，桿與物體運動狀態(tài)均改變，則不可能達到t2時刻進行第二次相碰，即不能在桿端相碰.由此得出，此時桿長l與下落時間t形成了相互制約關系，從而影響對ω極值進行討論. 桿長對所求量ω產(chǎn)生影響，則不能使用特值，即桿端碰撞取ω極值這一情況進行計算.

對桿長l與時間t的制約關系進行討論.

設桿長l0，物體下落時間為t0，下落高度h0，桿以角速度ω0轉(zhuǎn)動，桿與物體恰在桿端相碰.①當l>l0時，如圖3為幾何關系示意圖，點M、B、C、D分別為物體初始時刻位置、ta時刻位置、t0時刻位置與tb時刻位置，點A、A1、A2、A3分別為桿端初始時刻位置、ta時刻位置、t0時刻位置與tb時刻位置，點D與A3重合. 設|MB|=ha,|MD|=hb,|MC|=h0.

要使物體與桿在桿端相碰，物體下落時間tb必然大于桿長為l0時桿端相碰(點C)的用時t0，即此時用桿端相碰特值所求ωA實則對應ta、tb兩值(圖4)，下落高度分別為ha、hb. 即假設碰撞不改變運動狀態(tài)，物體可與桿兩次相遇(點B、點A′)，且桿端相碰情形中，物體下落高度為hb，下落時間tb，是第二次碰撞.

而第一次碰撞后，運動狀態(tài)必然改變，即物體與桿必在ωA相對應的ta(0l0)，當ω取ω0，物體可與桿在距O點l0處相碰，ω0為ω可取到的最大值，而與桿長無關.

②當ω較小時，桿轉(zhuǎn)過小半圓周與物體發(fā)生碰撞.

三、討論過程反思

特值法可以用來排除錯誤答案，直接用于解題則可能因為其包含情況不完整而導致結(jié)論產(chǎn)生偏差. 如本題當中，特值法忽略了桿長對結(jié)論的影響，雖思路及運算簡便，但思維與邏輯不夠嚴謹. 我們在解決習題時，應養(yǎng)成多角度思考、不放過任何一種可能性，最終排除多余項，從而得出正確結(jié)論的良好習慣，這樣才能培養(yǎng)思維的全面性與嚴謹性.

在對本題的討論中，我與導師進行多次交流，將假設出的情況分別進行討論驗證，對多余限制條件一一排除，最終整合出較完整的結(jié)果，受益良多.