朱恒元

(浙江省義烏中學(xué) 322000)

高考數(shù)學(xué)命題有一條重要原則，那就是“既考查中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法，又考查考生進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能”.學(xué)習(xí)潛能如何考查？通常采用“自選動(dòng)作”，通過(guò)自定義信息題考查學(xué)生即時(shí)學(xué)習(xí)的能力.自定義信息題可以有效考查學(xué)生收集信息、提煉加工、靈活運(yùn)用的學(xué)習(xí)潛能.自定義信息題，過(guò)去在選擇、填空題中頻頻出現(xiàn)，而今在解答題中也量增質(zhì)高.下面略舉數(shù)例，著重談?wù)勊鳛椤皦狠S性”解答題的功能及特點(diǎn).

一、自定義集合

例1 記所有非零向量構(gòu)成的集合為V，對(duì)于a，b∈V，a≠b，定義V(a，b)={x∈V|x·a=x·b}.

(1)請(qǐng)你任意寫出兩個(gè)平面向量a，b，并寫出集合V(a，b)中的三個(gè)元素；

(2)請(qǐng)根據(jù)你在(1)中寫出的三個(gè)元素，猜想集合V(a，b)中元素的關(guān)系，并試著給出證明；

(3)若V(a，b)=V(a，c)，其中b≠c，求證：一定存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得a=λ1b+λ2c．

解析(1)比如a(1，2)，b=(3，4)，設(shè)x=(x，y)，由x·a=x·b，可得x+2y=3x+4y，即為x+y=0，則集合V(a，b)中的三個(gè)元素為(1，-1)，(2，-2)，(3，-3).

(2)由(1)可得這些向量共線．

(3)證明：設(shè)x=(s，t)，a=(a，b)，b=(c，d)，y=(u，v)，c=(e，f).

若V(a，b)=V(a，c)，

即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，

點(diǎn)評(píng)本題以平面向量為載體自定義一個(gè)集合，考查平面向量的數(shù)量積、共線向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查向量運(yùn)算的基本技能以及觀察、歸納、推理能力．

二、自定義函數(shù)

例2 已知函數(shù)f(x)，定義

(1)寫出函數(shù)F(2x-1)的解析式；

(2)若F(|x-a|)+F(2x-1)=0，求實(shí)數(shù)a的值；

當(dāng)2x-1>x，可得x>1，則F(2x-1)=1；

當(dāng)2x-1=x，可得x=1，則F(2x-1)=0；

當(dāng)2x-1

(2)當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(2x-1)=1，F(xiàn)(|x-a|)=-1，

即有|x-a|1恒成立，

即有a2≤2a，解得0≤a≤2.

當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)(2x-1)=0，F(xiàn)(|x-a|)=0，

可得|1-a|=1，解得a=0或2；

當(dāng)x<1時(shí)，F(xiàn)(2x-1)=-1，F(xiàn)(|x-a|)=1，

即有|x-a|>x恒成立，即為a2≥2ax在x<1恒成立，

即有a2≥2a，解得a≥2或a≤0.

綜上，a的值為0或2.

可得cosx=0或F(x+sinx)=0，

則h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；

當(dāng)x+sinx=x，即x=π時(shí)，h(x)=0；

綜上可得，h(x)的值域?yàn)?-1，1)．

點(diǎn)評(píng)本題通過(guò)自定義“復(fù)合”函數(shù)，考查函數(shù)的解析式、定義域、值域、零點(diǎn)和三角函數(shù)求值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論的思想方法以及分析問(wèn)題的綜合能力．

三、自定義數(shù)列

例3 對(duì)任意正數(shù)M，取正整數(shù)對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列數(shù)集{an}，記bk=max{a1,a2,…,ak}(k=1,2,…,m)，即bk為a1,a2,…,ak中的最大值，并稱數(shù)列{bn}是{an}的控制數(shù)列.如1,3,2,5,5的控制數(shù)列是1,3,3,5,5.

(1)若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列{an}的控制數(shù)列為2,3,4,5,5，寫出所有的{an}；

(2)設(shè){bn}是{an}的控制數(shù)列，滿足ak+bm-k+1=C(C為常數(shù)，k=1,2,…,m).

求證：bk=ak(k=1,2,…,m)；

解析(1)數(shù)列{an}為：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.

(2)因?yàn)閎k=max{a1,a2,…,ak},bk+1=max{a1,a2,…,ak,ak+1},所以bk+1≥bk.

因?yàn)閍k+bm-k+1=C,ak+1+bm-k=C,所以ak+1-ak=bm-k+1-bm-k≥0，即ak+1≥ak.

因此，bk=ak.

(3)對(duì)k=1,2,…,25,a4k-3=a(4k-3)2+(4k-3);a4k-2=a(4k-2)2+(4k-2);a4k-1=a(4k-1)2-(4k-1);a4k=a(4k)2-(4k).

比較大小，可得a4k-2>44k-3.

又a4k+1>a4k.

從而b4k-3=a4k-3,b4k-2=a4k-2,b4k-1=a4k-2,b4k=a4k.

(b1-a1)+(b2-a2)+…+(b100-a100)

=(b3-a3)+(b7-a7)+(b10-a10)+…+(b4k-1-a4k-1)+…+(b99-a99)

=(a2-a3)+(a6-a7)+(a9-a10)+…+(a4k-2-a4k-1)+…+(a98-a99)

=2525(1-a).

點(diǎn)評(píng)本題通過(guò)自定義“控制”數(shù)列，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差和等比數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)列運(yùn)算的基本技能以及分析探究和推理論證的能力．

四、自定義距離

例4 已知平面內(nèi)的線段l及點(diǎn)P，在l上任取一點(diǎn)Q,線段PQ長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)P到線段l的距離，記作d(P,l).

(1)求點(diǎn)P(1,1)到線段l:x-y-3=0(3≤x≤5)的距離d(P,l);

(2)設(shè)l是長(zhǎng)為2的線段，求點(diǎn)集D={P|d(P,l)≤1}所表示圖形的面積；

(3)寫出到兩條線段l1,l2距離相等的點(diǎn)的集合Ω={P|d(P,l1)=d(P,l2)},其中l(wèi)1=AB,l2=CD,A,B,C,D是下列三組點(diǎn)中的一組，對(duì)于下列三組點(diǎn)只需選做一種．

①A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0).

②A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2).

③A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)．

解析(1)設(shè)Q(x,x-3)是線段l:x-y-3=0(3≤x≤5)上一點(diǎn)，則

(2)設(shè)線段l的端點(diǎn)分別為A，B，以直線AB為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A(-1，0)，B(1，0)，點(diǎn)集D由如下曲線圍成

l1∶y=1(|x|≤1),l2∶y=-1(|x|≤1)；

C1∶(x+1)2+y2=1(x≤-1),C2∶(x-1)2+y2=1(x≥1).

其面積為S=4+π.

(3)①選擇A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0),Ω={(x,y)|x=0}.

②選擇A(1，3)，B(1，0)，C(-1，3)，D(-1，-2).

Ω={(x,y)|x=0,y≥0}∪{(x,y)|y2=4x,-2≤y<0}∪{(x,y)|x+y+1=0,x>1}.

③選擇A(0，1)，B(0，0)，C(0，0)，D(2，0).

Ω={(x,y)|x≤0,y≤0}∪{(x,y)|y=x,02}.

點(diǎn)評(píng)本題自定義“點(diǎn)P到線段l的距離”，考查建立坐標(biāo)系、點(diǎn)的集合、圓的方程和函數(shù)表達(dá)式、最小值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)和分析解決問(wèn)題的能力．

五、自定義性質(zhì)

例5 若無(wú)窮數(shù)列{an}滿足：只要ap=aq(p,q∈N*)，必有ap+1=aq+1，則稱{an}具有性質(zhì)P.

(1)若{an}具有性質(zhì)P，且a1=1,a2=2,a4=3,a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；

(2)若無(wú)窮數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列{cn}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，b1=c5=1，b5=c1=81，an=bn+cn判斷{an}是否具有性質(zhì)P，并說(shuō)明理由；

(3)設(shè){bn}是無(wú)窮數(shù)列，已知an+1=bn+sinan(n∈N*),求證：“對(duì)任意a1,{an}都具有性質(zhì)P”的充要條件為“{bn}是常數(shù)列”.

解析(1)因?yàn)閍5=a2，所以a6=a3，a7=a4=3，a8=a5=2．

于是a6+a7+a8=a3+3+2，又因?yàn)閍6+a7+a8=21，解得a3=16．

an=bn+cn=20n-19+35-n．

所以{an}不具有性質(zhì)Ρ．

(3)充分性：

當(dāng){bn}為常數(shù)列時(shí)，an+1=b1+sinan．

對(duì)任意給定的a1，只要ap=aq，則由b1+sinap=b1+sinaq，必有ap+1=aq+1．

充分性得證．

必要性：

用反證法證明．假設(shè){bn}不是常數(shù)列，則存在k∈N*，使得b1=b2=…=bk=b，而bk+1≠b．

下面證明存在滿足an+1=bn+sinan的{an}，使得a1=a2=…=ak+1，但ak+2≠ak+1．

設(shè)f(x)=x-sinx-b，取m∈N*，使得mπ>|b|，則f(mπ)=mπ-b>0，f(-mπ)=-mπ-b<0，故存在c使得f(c)=0．

取a1=c，因?yàn)閍n+1=b+sinan(1≤n≤k)，所以a2=b+sinc=c=a1，

依此類推，得a1=a2=…=ak+1=c．

但ak+2=bk+1+sinak+1=bk+1+sinc≠b+sinc，即ak+2≠ak+1．

所以{an}不具有性質(zhì)Ρ，矛盾．

必要性得證．

綜上，“對(duì)任意a1，{an}都具有性質(zhì)Ρ”的充要條件為“{bn}是常數(shù)列”．

點(diǎn)評(píng)本題考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)和三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，著重考查運(yùn)用反證法等證明方法進(jìn)行推理論證的能力．

六、自定義運(yùn)算

(2)由a2-4b>0知點(diǎn)M(a,b)在拋物線L的下方，

①當(dāng)a>0,b≥0時(shí)，作圖可知，若M(a,b)∈X，則p1>p2≥0，得|p1|>|p2|.若|p1|>|p2|，顯然有點(diǎn)M(a,b)∈X,∴M(a,b)∈X?|p1|>|p2|．

②當(dāng)a>0,b<0時(shí)，點(diǎn)M(a,b)在第四象限，作圖可知，若M(a,b)∈X，則p1>0>p2，且|p1|>|p2|.

若|p1|>|p2|，顯然有點(diǎn)M(a,b)∈X,∴M(a,b)∈X?|p1|>|p2|．

根據(jù)曲線的對(duì)稱性可知，當(dāng)a<0時(shí)，M(a,b)∈X?|p1|>|p2|．

綜上所述，M(a,b)∈X?|p1|>|p2|(*).

綜合(*)式，得證．

∵q≤p-1，

點(diǎn)評(píng)本題通過(guò)自定義“運(yùn)算”，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、方程求解、不等式、曲線方程及性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解的基本技能、分類討論的思想方法以及推理論證的思維能力．