龔利爽，侯二林，劉海芳，李凱凱，王云才

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布爾混沌系統(tǒng)的物理隨機(jī)性分析

龔利爽1,2，侯二林1,2，劉海芳1,2，李凱凱1,2，王云才1,2

（1. 太原理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，山西 太原 030024；2. 新型傳感器與智能控制教育部和山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030024）

為了分析布爾混沌系統(tǒng)的物理隨機(jī)性，構(gòu)建了基于自治布爾網(wǎng)絡(luò)的電路混沌模型，建立了包含相位噪聲特性的數(shù)學(xué)方程，研究了相位噪聲對布爾混沌熵增長時(shí)間（記憶時(shí)間）的影響。研究結(jié)果表明，在相位噪聲的影響下，布爾混沌輸出將在有限的記憶時(shí)間（數(shù)十納秒）后達(dá)到無法預(yù)測，且相位噪聲越強(qiáng)，布爾混沌平均記憶時(shí)間越短。這證明了相位噪聲是布爾混沌物理隨機(jī)性的來源，且布爾混沌可以作為性能良好的真隨機(jī)數(shù)物理熵源。

自治布爾網(wǎng)絡(luò)；布爾混沌；相位噪聲；物理隨機(jī)性

1 引言

真隨機(jī)數(shù)是確保信息加密安全的關(guān)鍵[1]。傳統(tǒng)的真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器（TRNG, the random number generator）主要利用熱噪聲、量子噪聲、振蕩器抖動(dòng)、電子器件的亞穩(wěn)態(tài)等不可預(yù)測的物理隨機(jī)過程（物理熵源）來產(chǎn)生真隨機(jī)數(shù)[1-6]。但是，受限于物理熵源帶寬，上述真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的速率普遍為數(shù)十兆比特每秒，難以適用于高速信息的加密需求。在安全通信領(lǐng)域，香農(nóng)（Shannon）提出的“一次一密”被證明是一種絕對安全的保密通信機(jī)制，而該機(jī)制實(shí)現(xiàn)的前提之一是需要有大量實(shí)時(shí)產(chǎn)生的加密密鑰（真隨機(jī)數(shù)），且這些密鑰加密不能重復(fù)使用，因此，高速真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的研究成為解決安全通信問題的關(guān)鍵技術(shù)之一[4, 7]。

近年來，隨著寬帶混沌技術(shù)的出現(xiàn)，基于電路混沌的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器逐漸成為研究熱點(diǎn)[8]。2006年，Pareschi等[9]利用馬爾可夫混沌映射作為物理熵源，實(shí)現(xiàn)了40 Mbit/s的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器；2010年，該課題組進(jìn)一步修正混沌映射，實(shí)現(xiàn)了100 Mbit/s的混沌隨機(jī)數(shù)發(fā)生器[10]；2013年，Rosin等[11]利用布爾混沌作為物理熵源，完成了12.8 Gbit/s的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的研制；2015年，Park等[12]研制了基于布爾混沌的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器芯片，速率可達(dá)300 Mbit/s?；煦珉S機(jī)數(shù)發(fā)生器的迅速發(fā)展使其有望解決“一次一密”高速保密通信中海量真隨機(jī)數(shù)的實(shí)時(shí)產(chǎn)生難題。

然而，目前的混沌高速隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的研究仍面臨一個(gè)“原則性”問題，即確定性的非線性系統(tǒng)中能否真正產(chǎn)生不可預(yù)測的“真隨機(jī)數(shù)”，對此多數(shù)研究文獻(xiàn)缺乏相關(guān)理論分析與證明[13]。為了更好地將電路混沌隨機(jī)數(shù)發(fā)生器應(yīng)用于保密通信中，本文以布爾混沌系統(tǒng)為例，仿真研究了該系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列在有相位噪聲和無相位噪聲條件下隨機(jī)特性（不可預(yù)測性）的變化，研究了不同強(qiáng)度相位噪聲對布爾混沌熵增長時(shí)間（記憶時(shí)間）的影響。研究發(fā)現(xiàn)，在相位噪聲強(qiáng)度下，布爾混沌序列由可預(yù)測逐步轉(zhuǎn)變?yōu)椴豢深A(yù)測，且相位噪聲越強(qiáng)，布爾混沌平均記憶時(shí)間越短，在相位噪聲強(qiáng)度達(dá)到時(shí)延的1%~5%時(shí)，布爾混沌輸出將在有限的記憶時(shí)間（數(shù)十納秒）后變得無法預(yù)測，該研究結(jié)果為基于布爾混沌物理熵源的真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器提供了理論依據(jù)，對其他混沌真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器研究也提供了有益的借鑒。

2 布爾混沌模型

圖1是研究所用的三節(jié)點(diǎn)自治布爾網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，圖中“”代表XNOR邏輯門，“○”代表XOR邏輯門。該網(wǎng)絡(luò)共包含3個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別是一個(gè)執(zhí)行異或非（XNOR）運(yùn)算的節(jié)點(diǎn)和2個(gè)執(zhí)行異或（XOR）運(yùn)算的節(jié)點(diǎn)。每個(gè)節(jié)點(diǎn)分別和相鄰的2個(gè)節(jié)點(diǎn)連接，構(gòu)成一個(gè)雙向反饋的環(huán)形自治布爾網(wǎng)絡(luò)。τ（=1, 2, 3,=1, 2, 3）是節(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)的傳輸時(shí)延，通過控制自治布爾網(wǎng)絡(luò)相鄰節(jié)點(diǎn)的傳輸時(shí)延，可以使網(wǎng)絡(luò)輸出混沌信號。XOR邏輯門和XNOR邏輯門的輸入輸出真值如表1所示。

電路中的邏輯器件響應(yīng)并非無限快，無法響應(yīng)變化速度無限快的信號，即低通濾波效應(yīng)，考慮低通濾波效應(yīng)的自治布爾網(wǎng)絡(luò)方程如式(1)所示。

表1 XOR和XNOR邏輯門的輸入輸出值

其中，⊕是XOR運(yùn)算符，x∈=[0,1],=1, 2, 3。每個(gè)布爾變量的值都依賴于運(yùn)行時(shí)刻、傳輸時(shí)延及相鄰布爾節(jié)點(diǎn)上一時(shí)刻的邏輯值，其中

其中，“1”和“0”分別表示布爾網(wǎng)絡(luò)的高電平和低電平，th為布爾網(wǎng)絡(luò)輸出為“0”或“1”的閾值，本文取閾值th=0.5。

當(dāng)傳輸時(shí)延τ≠τ時(shí)，自治布爾網(wǎng)絡(luò)XNOR節(jié)點(diǎn)可以輸出復(fù)雜信號。圖2(a)和圖2(b)是自治布爾網(wǎng)絡(luò)輸出信號的時(shí)序波形和頻譜圖，圖2(c)是根據(jù)Ghil、Bockman和Zhang等[14-16]提出的計(jì)算分段線性微分方程的動(dòng)力系統(tǒng)的方法得出的網(wǎng)絡(luò)輸出時(shí)序的Lyapunov指數(shù)。圖2結(jié)果表明，當(dāng)傳輸時(shí)延τ≠τ時(shí)，自治布爾網(wǎng)絡(luò)可以輸出帶寬達(dá)362 MHz的復(fù)雜信號，網(wǎng)絡(luò)輸出時(shí)序的最大Lyapunov指數(shù)為0.41 ns?1，代表此布爾網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)。

除低通濾波效應(yīng)外，自治布爾網(wǎng)絡(luò)電路系統(tǒng)中還存在幅值噪聲和相位噪聲[17-18]，這2種噪聲會(huì)對傳輸時(shí)延和網(wǎng)絡(luò)輸出的幅值產(chǎn)生影響?？紤]到自治布爾網(wǎng)絡(luò)的幅值限制機(jī)理，本文僅分析相位噪聲對布爾混沌的影響，建立相位噪聲的自治布爾網(wǎng)絡(luò)模型，如式(3)所示。

其中，τRij為相位噪聲引起的時(shí)延抖動(dòng)。實(shí)際電路中熱噪聲引起的時(shí)延抖動(dòng)服從高斯分布[17]。

3 相位噪聲對布爾混沌系統(tǒng)隨機(jī)性影響

3.1 相位噪聲對混沌動(dòng)態(tài)的影響

基于上述布爾混沌模型，分析了無相位噪聲和有相位噪聲這2種情況下布爾混沌系統(tǒng)的輸出特性。圖3為理想的布爾混沌系統(tǒng)（即系統(tǒng)中沒有噪聲）XNOR節(jié)點(diǎn)的輸出結(jié)果；圖4為在=0時(shí)刻引入相位噪聲后，布爾混沌系統(tǒng)XNOR節(jié)點(diǎn)的輸出結(jié)果，其中相位抖動(dòng)為時(shí)延的0.2%。由圖3可知，無噪聲時(shí)布爾混沌系統(tǒng)在重啟2次的情況下輸出的時(shí)序相同，這意味著在理想情況下，布爾混沌輸出是可以預(yù)測的。圖4顯示，布爾混沌系統(tǒng)在最初一段時(shí)間內(nèi)，重啟2次情況下輸出時(shí)序基本相同；但由于相位噪聲的影響，一段時(shí)間后，2條布爾混沌輸出時(shí)序軌跡開始分離。在圖4中，2條軌跡開始分離的時(shí)間是35~40 ns。

圖4 引入相位噪聲后布爾混沌系統(tǒng)XNOR節(jié)點(diǎn)的輸出結(jié)果

進(jìn)一步分析相同相位噪聲強(qiáng)度的混沌自治布爾網(wǎng)絡(luò)輸出的變化，相位噪聲強(qiáng)度相同是指相位抖動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差相同。圖5是布爾混沌電路系統(tǒng)在初始值為0、相位噪聲強(qiáng)度相同時(shí)系統(tǒng)運(yùn)行1 000次，系統(tǒng)在0 ns、10 ns、25 ns和95 ns時(shí)輸出幅值的概率密度直方圖。由圖5(a)可知，在=0時(shí)刻（剛加入相位噪聲時(shí)），布爾混沌運(yùn)行1 000次的輸出電壓幅值都相同，此時(shí)輸出某一電壓幅值的概率為1，意味著此時(shí)布爾混沌的輸出是可以預(yù)測的。隨著相位噪聲在布爾網(wǎng)絡(luò)中作用時(shí)間的增加，布爾混沌系統(tǒng)的輸出開始出現(xiàn)不確定值，且隨著時(shí)間的增加，不確定性逐漸增大，如圖5(b)~圖5(d)所示。

3.2 相位噪聲對混沌輸出不可預(yù)測性的影響

Shannon熵是對序列隨機(jī)性的一種有效統(tǒng)計(jì)度量，它從概率角度評價(jià)輸出比特獨(dú)立性和不確定性[19]。通過計(jì)算不同相位噪聲強(qiáng)度下布爾混沌輸出布爾值在時(shí)刻的Shannon熵，本文分析了相位噪聲對布爾混沌輸出不可預(yù)測性的影響。

圖5 有相位噪聲時(shí)混沌布爾網(wǎng)絡(luò)XNOR節(jié)點(diǎn)不同時(shí)刻的輸出概率直方圖

Shannon熵公式如式(4)所示。

其中，P()是自治布爾網(wǎng)絡(luò)添加不同相位噪聲序列時(shí)，自治布爾網(wǎng)絡(luò)混沌電路系統(tǒng)在時(shí)刻輸出0或者1的概率。由式(4)可得，當(dāng)P()=0.5時(shí)，所對應(yīng)時(shí)刻的自治布爾網(wǎng)絡(luò)輸出布爾序列的熵最大（即熵等于1）。這意味著，此時(shí)布爾網(wǎng)絡(luò)的輸出不可預(yù)測。

圖6為相同噪聲布爾混沌系統(tǒng)多次運(yùn)行后每一時(shí)刻的熵值隨時(shí)間的變化曲線。這里，圖6(a)和圖6(b)系統(tǒng)初值分別為0和0.15，并各運(yùn)行1 000次。由圖6可知，加入相位噪聲后，布爾混沌的熵值從0增長為1，表明相位噪聲使布爾混沌輸出由可預(yù)測逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)椴豢深A(yù)測。定義熵值從0增長為1的時(shí)間為混沌記憶時(shí)間。對比圖6(a)和圖6(b)可知，布爾混沌記憶時(shí)間與自治布爾網(wǎng)絡(luò)初始值有關(guān)。

圖6 添加相位噪聲后混沌布爾網(wǎng)絡(luò)熵值隨時(shí)間的變化

進(jìn)一步分析相同噪聲強(qiáng)度、不同網(wǎng)絡(luò)初值的布爾混沌熵隨時(shí)間變化的平均值。圖7是5種相位噪聲強(qiáng)度的布爾混沌熵值隨時(shí)間變化的平均結(jié)果。圖7中，5種相位噪聲強(qiáng)度分別為時(shí)延的0.1%、0.2%、0.3%、0.4%和0.5%，每種相位噪聲強(qiáng)度的布爾混沌初值隨機(jī)變化1 000次。由圖7可知，相同相位噪聲強(qiáng)度的布爾混沌熵值隨時(shí)間的平均變化基本為一條平滑的曲線；不同相位噪聲強(qiáng)度的布爾混沌熵值到達(dá)1.0的時(shí)間不同。圖8是相位噪聲強(qiáng)度分別為0.1%、0.2%、0.3%、0.4%和0.5%時(shí)對應(yīng)的布爾混沌平均記憶時(shí)間結(jié)果，它表明相位噪聲越強(qiáng)，布爾混沌記憶時(shí)間越短，布爾混沌能更快地達(dá)到不可預(yù)測。

4 結(jié)束語

本文通過研究相位噪聲對布爾混沌輸出的不可預(yù)測性影響分析了布爾混沌系統(tǒng)的物理隨機(jī)性，具體研究了相同噪聲布爾混沌系統(tǒng)多次運(yùn)行后每一時(shí)刻的熵值隨時(shí)間的變化。研究結(jié)果表明，電路中存在的固有相位噪聲使布爾混沌輸出變得不可預(yù)測。然后分析了布爾混沌記憶時(shí)間和相位噪聲強(qiáng)度的關(guān)系。由結(jié)果可知，相位噪聲強(qiáng)度為時(shí)延的0.1%~0.5%時(shí)，布爾混沌輸出將在有限的記憶時(shí)間后（數(shù)十納秒）達(dá)到不可預(yù)測。相位噪聲越強(qiáng)，布爾混沌輸出的平均記憶時(shí)間越短。本文的研究結(jié)果表明相位噪聲是混沌布爾網(wǎng)絡(luò)的物理隨機(jī)性的原因。該研究結(jié)果為基于布爾混沌物理熵源的真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器提供了理論依據(jù)，對其他混沌真隨機(jī)數(shù)發(fā)生器研究也提供了有益的借鑒。

圖7 不同相位噪聲強(qiáng)度下布爾混沌熵值隨時(shí)間的變化

圖8 布爾混沌平均記憶時(shí)間和相位噪聲強(qiáng)度的關(guān)系

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Physical random analysis of Boolean chaos

GONG Lishuang1,2, HOU Erlin1,2, LIU Haifang1,2, LI Kaikai1,2, WANG Yuncai1,2

1. College of Physics and Optoelectronics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China 2. Key Laboratory of Advanced Transducers and Intelligent Control System, Ministry of Education, Taiyuan 030024, China

To analyze the physical randomness of Boolean chaos, the model for chaotic circuit system based on autonomous Boolean networkwas established. In addition, the equations of the Boolean network with phase noise were deduced. By considering the phase noise, the time for the growth of entropy for an ensemble of trajectories, called the memory time, was analyzed. It was demonstrated that Boolean chaos would be unpredictable after tens of nanoseconds, and less average memory time was required as the phase noise strength increased. It is shown that Boolean chaos has physical randomness because of phase noise and it also lays the theoretical foundation for the entropy source of true random number generator based on chaotic Boolean network.

autonomous Boolean network, Boolean chaos, phase noise, physical random

TN91

A

10.11959/j.issn.1000?436x.2019048

2018?05?25；

2018?08?01

王云才，wangyc@tyut.edu.cn

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.61731014）

The National Natural Science Foundation of China (No.61731014）

龔利爽（1991? ），女，河南漯河人，太原理工大學(xué)博士生，主要研究方向?yàn)榛煦缋碚撆c混沌密碼。

侯二林（1992? ），男，河南漯河人，太原理工大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)槲锢黼S機(jī)數(shù)發(fā)生器技術(shù)。

劉海芳（1989? ），女，山西晉中人，太原理工大學(xué)博士生，主要研究方向?yàn)榛煦缋碚撆c混沌密碼。

李凱凱（1994? ），男，山西晉城人，太原理工大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)槲锢黼S機(jī)數(shù)發(fā)生器技術(shù)。

王云才（1965? ），男，山西運(yùn)城人，博士，太原理工大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榛煦缧盘柕漠a(chǎn)生與應(yīng)用。