摘要：作為數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)思想是一切數(shù)學(xué)知識的精髓所在，是學(xué)生將所學(xué)數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為解題能力的重要媒介，尤其是近年來的中考數(shù)學(xué)題高度重視考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想掌握情況，強化數(shù)學(xué)思想教學(xué)指導(dǎo)與應(yīng)用具有重要意義。本文先對數(shù)學(xué)思想及其應(yīng)用價值進行了分析，然后結(jié)合例題，重點對常見的數(shù)學(xué)思想及其在中考數(shù)學(xué)試題中的具體應(yīng)用進行了探討，希望能有效提升初中生的數(shù)學(xué)解題能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想? ?中考? ?數(shù)學(xué)? ?解題能力

在新課改實施日益深入的背景下，新課標(biāo)對初中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了越來越高要求，其中最為顯著的一個變化就是要促使學(xué)生從知識被動接受向能力提升方向轉(zhuǎn)變，同時中考數(shù)學(xué)試卷中重點考察學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的試題也越來越多。數(shù)學(xué)思想則是一切數(shù)學(xué)知識的精髓所在，也是提升學(xué)生解題能力的重要保障，所以數(shù)學(xué)教師需要高度重視數(shù)學(xué)思想在解題教學(xué)中的滲透，深化學(xué)生對于數(shù)學(xué)思想的理解和認(rèn)識，不斷提升其解題能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想及其應(yīng)用

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾在探討數(shù)與形關(guān)系的時候說：“數(shù)缺形時少直說，形少數(shù)時難入微?！敝挥袛?shù)與形相互結(jié)合，才能夠“萬事休”，這充分凸顯了數(shù)形結(jié)合思想的重要性。通過數(shù)形結(jié)合思想的合理運用，可以將某些繁雜、抽象的數(shù)量關(guān)系，以形象、直觀的幾何圖形來進行直接展現(xiàn)，也可以將某些圖像的性質(zhì)等，以數(shù)量關(guān)系加以體現(xiàn)，從而可以起到化繁為簡，化抽象為具體，提高解題能力的有效性。因此，在實際的中考數(shù)學(xué)題求解中，對于幾何問題的求解，可以嘗試運用代數(shù)方法，或者對于代數(shù)問題的求解，可以嘗試運用幾何方法。

例1：已知某函數(shù)圖象如圖1所示，試求當(dāng)y>0時，x的取值范圍___。

解析：由圖1可知，在y>0時，相應(yīng)的函數(shù)圖象應(yīng)該處于x軸的上方，這樣就可以直觀地確定出本道題的正確答案為，x<-1或1<x<2。

例2：已知A點坐標(biāo)為（2，2），假如P位于坐標(biāo)軸上，且△APO為等腰三角形，那么可知點P的坐標(biāo)，肯定不是（? ? ?）。

A.（2，0）? ? ?B.（4，0）? ? ?C.（0，2）? ? ?D.（3，0）

解析：通過對該題干信息進行閱讀，涉及到比較多的抽象參數(shù)，學(xué)生理解起來可能難度比較大，這時候如果可以靈活地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將題干文本信息轉(zhuǎn)化成圖2所示的圖形，那么可以直觀地觀察到選項A、選項B和選項C均符合題干要求，但是選項D不符合相應(yīng)要求，所以該道題的正確答案為D。

例3：如圖3，將一個裝有部分水的圓柱形小玻璃杯擱置于一個空的大圓柱形玻璃杯中，現(xiàn)在通過某注水管沿著大玻璃杯的內(nèi)壁向其中進行勻速注水，那么可以求出該小玻璃杯內(nèi)水面高度h（cm）和注水時間t（min）之間所構(gòu)成的函數(shù)圖像近似于如下哪一種（? ? ? ?）。

解析：通過對題干信息進行詳細(xì)審讀，可知最初的小玻璃杯中在沒有注水前就已經(jīng)有一定量的水，所以其最初的高度必然大于0，所以可知本道題目中的選項A和選項D是錯誤的。在用注水管進行持續(xù)注水的過程中，水會在最初一段時間內(nèi)先填充大玻璃杯底部，不會流入到小燒杯中，所以這段時間內(nèi)小燒杯中水的高度不會發(fā)生變化，待小玻璃杯和大玻璃杯中水面保持一致后，水就可以流向小玻璃杯，這時候其高度會逐漸增加，待浸沒小燒杯后，其水面高度h不會繼續(xù)發(fā)生變化，由此可以清楚地得出該道題的正確答案為B。

例4，如圖4，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，CD是△ABC斜邊上的高，現(xiàn)有一點E位置于AB上，過E點作一條直線，其同△ABC直角邊相較于F點，其中AE=x，△AEF的面積y。假定AB⊥EF，試求在AB上移動的時候，函數(shù)y和x的函數(shù)關(guān)系？在x取值為何時，y值取得最大值？

解析：該道題是數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的一個典型題，借助幾何圖形方面的知識來求解代數(shù)函數(shù)問題，那么可以快速達(dá)到求解的目的。首先，要根據(jù)題干信息以及三角形面積求解公式，求得函數(shù)y和x之間構(gòu)成的函數(shù)關(guān)系式為y=1/2*x*EF，然后在求解EF的長度，結(jié)合AE（x）和AD之間的長短關(guān)系，當(dāng)0<x<AD時，△ADC和△BEF二者呈現(xiàn)為相似的關(guān)系;當(dāng)AD≤x≤AB時，結(jié)合EF長度可以求出△BEF的面積。在這兩種情況下，可以分別求出對應(yīng)二次函數(shù)何時取得最大值以及最大值是多少，之后通過對比分析這兩個最大值即可找出該道題的正確答案。在該道題目求解過程中，借助幾何圖形中三角形、線段和相似等相關(guān)知識，對面積和線段之間函數(shù)關(guān)系進行仔細(xì)思考，那么可以將二次函數(shù)方面的代數(shù)知識形象化、具體化，這樣可以顯著打破學(xué)生求解數(shù)學(xué)問題的常規(guī)思維束縛，有效結(jié)合幾何知識和代數(shù)知識來提升學(xué)生求解能力。

二、方程思想及其應(yīng)用

方程式初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點。如果初中生可以熟練地掌握和應(yīng)用方程思想，那么對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力具有重要意義。方程思想本質(zhì)上就是基于問題數(shù)量關(guān)系入手，通過科學(xué)、合理地設(shè)定未知數(shù)，有效地結(jié)合未知量和已知量之間的數(shù)量關(guān)系來構(gòu)成求解問題的方程組，這樣就可以有效地運用方程思想來解決數(shù)學(xué)問題。在實際的中考數(shù)學(xué)題中，對于方程思想的考查，主要側(cè)重于如下兩個方面，除了通過列方程組來求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題外，還可以借助方程來對幾何問題或代數(shù)問題進行求解。

例8：如圖7，該反比例函數(shù)圖象經(jīng)過A、B兩點，且已知A點坐標(biāo)為（1，3），B點的縱坐標(biāo)為1，C點坐標(biāo)為（2，0），試求：（1）該反比例函數(shù)的解析式？（2）直線BC的解析式？

解析：該道題給出了函數(shù)圖象，并給出了其中幾個關(guān)鍵點的坐標(biāo)，所以需要結(jié)合這些關(guān)鍵點滿足待求函數(shù)關(guān)系式，將B點代入到反比例函數(shù)中來得出一個函數(shù)關(guān)系式。而對于直線函數(shù)關(guān)系式的求解，則可以通過將點B和點C兩點代入到一次函數(shù)解析式中，借助方程組求解來求得函數(shù)解析式，借此來達(dá)到求解該道題的目的。

解：（1）假定待求反比例函數(shù)解析式為：y=k/x（k≠0），因為點A位于反比例函數(shù)圖象上，所以可知3=k/1，求得k=3，所以待求反比例函數(shù)解析式為y=3/x。

（2）假定待求直線BC的解析式為：y=ax+b（a≠0），因為點B位于反比例函數(shù)圖象上，可以通過將B點縱坐標(biāo)代入解析式求得其橫坐標(biāo)為3，之后再將B點坐標(biāo)帶入到直線BC解析式中，可得1=3a+b，0=2a+b，聯(lián)立可得a=1，b=-2，所以待求直線BC的解析式為y=x-2。

三、整體思想及其應(yīng)用

在對某些數(shù)學(xué)問題進行求解期間，往往不是以某個部分作為著眼點來進行求解，而使放大考查問題的視角，將待求解的問題看做成一個整體。通過對研究問題的整體結(jié)構(gòu)、形式或作整體處理后，可以快速、便捷地找到解題突破口，最終達(dá)到求解相應(yīng)問題，這就是所謂的整體思想。

例9：如圖8，在天平上面擱置有正方體、圓柱和球體，可以保持天平保持平衡狀態(tài)，那么由此可知同2個球體質(zhì)量等同于幾個正方體的總質(zhì)量？

解析：如果通過直接觀察，那么學(xué)生很難求得該道題的正確答案，但是如果可以先假定正方體、圓柱和球體的質(zhì)量，那么就可以更好地明確它們之間的質(zhì)量關(guān)系。比如，可以假定球體、圓柱和正方體三者的質(zhì)量分別為x、y和z，那么根據(jù)圖8所示的天平，可以列出①2x=5y和②2z=2y這兩個求解方程，之后通過①*2-②*5得到4x-10z=0，即2x=5z，所以可知2個球體質(zhì)量等同于5個正方體的個數(shù)。

除了上述常用數(shù)學(xué)思想外，函數(shù)思想、建模思想、轉(zhuǎn)化思想等也是中考數(shù)學(xué)題求解中常用的數(shù)學(xué)思想。比如，函數(shù)思想主要是用變化和聯(lián)系的觀點來對數(shù)學(xué)對象間的數(shù)量關(guān)系進行揭示或看待，具體就是利用函數(shù)的概念、性質(zhì)以及圖像等相關(guān)知識去構(gòu)建解決問題的專門函數(shù)模型。比如，可以運用函數(shù)的最大值、最小值、周期性、奇偶性以及單調(diào)性等性質(zhì)來解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題。

總之，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的精髓所在，其掌握情況直接關(guān)乎初中生解題能力的高低。在實際的教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師需要高度重視數(shù)學(xué)思想滲透，同時平時的解題教學(xué)中要注意結(jié)合具體中考數(shù)學(xué)題目，為學(xué)生講解方程思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想的具體應(yīng)用，確保學(xué)生可以靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想來解決數(shù)學(xué)問題。

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（作者簡介：姜丹，本科，單位：黑龍江省鶴崗市私立新北方學(xué)校初中部，數(shù)學(xué)教師，班主任，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。）