曹亞強(qiáng)，余 闖，郭正光

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

Novikov方程

是Vladimir Novikov在對(duì)稱分類中發(fā)現(xiàn)的具有三次非線性的非局部偏微分方程[1]，Novikov方程被證明是可積的.Rodríguez-Blanco在文獻(xiàn)[2]中證明了方程（1）在Sobolev空間中的適定性，Ni和Zhou在文獻(xiàn)[3]中證明了方程（1）在Besov空間中是局部適定的，其中s=32是適定的臨界指數(shù)[4]，Yan等[5]證明了方程（1）在Besov空間中局部適定性的某些假設(shè)，并且表明方程（1）在Sobolev空間Hs（?），s＜中是不適定的[6].我們?cè)诒疚闹袑⒎匠蹋?）推廣為以下方程：

相關(guān)的初值u（x;t=0）=u0（x），這里的a＞0,b＞0是任意的常數(shù)，初始動(dòng)量y（0,x）=u（0,x）-uxx（0,x）（簡(jiǎn)記為y0）非負(fù)且具有緊支集.在本文中，無窮遠(yuǎn)處的零邊界條件已經(jīng)被施加于u（x,t）和它的所有可能的導(dǎo)數(shù)，除了a=3和b=1（在方程（1）中）之外，方程（2）的可積性仍然不確定，所以本文的主要目的是討論這些系數(shù)如何影響解的大時(shí)間行為.通過對(duì)方程Camassa-Holm和Degasperis-Procesi的深入研究，我們?cè)噲D選擇a和b的適當(dāng)關(guān)系來討論方程（2）的大時(shí)間行為.Li等在文獻(xiàn)[7]中對(duì)方程（2）的持續(xù)性質(zhì)和爆破現(xiàn)象進(jìn)行了探討，基于Kato的半群理論[4]可以證明方程（2）的局部適定性，根據(jù)Ni和Zhou在[3]中所作的工作，這里我們跳過它的細(xì)節(jié)，重點(diǎn)關(guān)注解的動(dòng)量支集的大時(shí)間行為，證明在全局解存在的條件下，隨著時(shí)間趨于無窮大動(dòng)量支集也足夠大.

1 準(zhǔn)備知識(shí)

介紹一些基本的符號(hào)和屬性.假設(shè)u（x,t）是方程（2）的一個(gè)光滑解，并且y（x,t）=（1-）u（x,t），于是u（x,t）和ux（x,t）能夠表示為：

從（3）式和（4）式可以直接得知：

另一方面，為了方便討論方程（1）的等價(jià)形式為：

為了定理證明，引入特征方法.設(shè)q（x,t）是隨著解u（x,t）發(fā)展的粒子軌跡，并且滿足方程初始值q（x, 0）=x，易看出q（x,t）是一個(gè)單調(diào)遞增的同胚線，它保持

事實(shí)上，通過直接計(jì)算有：

為了方便介紹，引入以下符號(hào)：

通過簡(jiǎn)單的計(jì)算，對(duì)于E+（x,t）有：

類似地，對(duì)于E-（x,t）有：

2 大時(shí)間行為

本節(jié)研究具有緊支集的解的大時(shí)間行為以及初始值保持它的符號(hào)不變性.這里只關(guān)注a=b3的情形，因?yàn)橛锌赡艽_定E+（x,t）和E-（x,t）的單調(diào)性對(duì)于我們的研究至關(guān)重要，這個(gè)靈感來自于（5）式、（8）式和（9）式.以下是結(jié)果.

定理1 假設(shè)y0（x）在區(qū)間[m,n]上具有緊支集，并且保持符號(hào)不變.如果a=3b，則當(dāng)t→+∞時(shí)，有：

證明：通過（8）式得到：

類似地，

如果y0(x)≥0，從（7）式可以知道，y（x,t）≥0在上有緊支集，并且從（3）式和（5）式可以有u（x,t）≥0以及u+ux≥0，因此對(duì)于（11）式和（12）式有：

E+（t）和E-（t）的單調(diào)性也意味著I（t）是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，II（t）是嚴(yán)格單調(diào)遞減的.由于II（t）是嚴(yán)格單調(diào)遞減并且是正的，所以當(dāng)t趨向與+∞時(shí)，II（t）的極限存在，我們稱

從（7）式可以得到：

然后有：

因此從（15）式的角度看，當(dāng)t→+∞時(shí)，e2q（n,t）-e2q（m,t）→+∞.

如果y0（x）≤ 0，可以通過類似的方法，很容易得到

注意到I（t）是單調(diào)遞減的，而II（t）是嚴(yán)格單調(diào)遞增并且是負(fù)的，所以可以通過矛盾來證明

利用H?lder's不等式，有：

化簡(jiǎn)得到：

然后可得到當(dāng)t→∞時(shí)，e2q（n,t）-e2q（m,t）→+∞.