袁偉娜，嚴秋

（華東理工大學信息科學與工程學院，上海 200237）

1 引言

近年來，在無線通信系統(tǒng)中，濾波器組多載波（FBMC,filter bank multi-carrier）技術成為正交頻分復用（OFDM,orthogonal frequency division multiplexing）技術的替代方案之一，引起了許多研究者的關注[1]。作為下一代無線通信網絡的潛在候選多載波調制方案[2-3]，F(xiàn)BMC常與偏移正交幅度調制（OQAM,offset quadrature amplitude modulation）技術結合，充分利用時頻局部化特性，并采用基于濾波器組的脈沖整形，提供了與無循環(huán)前綴（CP,cyclic prefix）的OFDM系統(tǒng)相似的頻譜效率；由于其放寬了正交條件，因此具有良好的抗干擾能力[4]。雖然FBMC具有良好的頻譜利用率、抗帶外泄露和抗干擾的特性，然而，子載波基函數只在實數域上是正交的，因此，相鄰子載波和符號之間總是存在固有的虛部干擾。

固有的載波間/符號間干擾將使FBMC信道估計變得更加復雜。因此，現(xiàn)有的OFDM信道估計方法不能直接應用于FBMC/OQAM系統(tǒng)。近年來，國內外研究了多種導頻方案和相關的估計方法。2種經典的基于導頻的方法是干擾近似法（IAM,interference approximation method）[5-6]和干擾消除法（ICM,interference cancellation method）[7-8]，它們的本質是消除固有干擾或者利用它來提高估計性能。然而，由于難以完全消除虛部干擾，因此基于導頻的信道估計方法的性能不是特別理想。

為了提高FBMC信道估計的性能，研究者們已經做了很多工作。文獻[9]提出了一種輔助導頻信道估計方法。相對于IAM和ICM，輔助導頻方法（APM,auxiliary preamble method）在估計頻域信道響應的同時，只需要2個與CP-OFDM系統(tǒng)相同的實值符號持續(xù)時間，而不會損失估計性能的準確性。文獻[10]研究了一種編碼輔助導頻信道估計方法，該方法利用編碼輔助導頻符號來消除對每個散射導頻的假想干擾。文獻[11-12]還研究了半盲和盲符號定時估計方法。然而，這些方法具有較高的計算復雜度，可能出現(xiàn)相位模糊，并需要較長的測量數據，這在一定程度上限制了其可用性。在實踐中，無線信道往往呈現(xiàn)稀疏多徑的結構特性，可建模為時間–頻率雙選信道[13-14]，其響應在時延–多普勒域呈現(xiàn)稀疏性，使壓縮感知（CS,compressive sensing）技術[15-17]得以應用到稀疏信道估計中。在過去的幾年里，人們已經研究了基于CS的OFDM系統(tǒng)信道估計[18-19]。然而，對于基于CS的FBMC/OQAM系統(tǒng)信道估計的研究很少。文獻[20]提出了一種改進的IAM，并利用正交匹配追蹤（OMP,orthogonal matching pursuit）算法重建信道脈沖響應。結果表明，與傳統(tǒng)的基于導頻的最小二乘（LS,least square）方法相比，基于OMP[21]的方法可以獲得顯著的性能改善。文獻[22]研究了FBMC/OQAM系統(tǒng)下基于IAM和ICM的信道估計方法。新的自適應壓縮采樣匹配追蹤（ARCoSaMP,adaptive regularized compressive sampling matching pursuit）算法結合了稀疏度自適應匹配追蹤（SAMP,sparsity adaptive matching pursuit）算法和壓縮采樣匹配追蹤（CoSaMP,compressive sampling matching pursuit）算法的特點，其估計性能優(yōu)于基于傳統(tǒng)貪婪重構算法的信道估計方法。

針對FBMC/OQAM系統(tǒng)，在輔助導頻和編碼方法的基礎上，本文提出了一種新的稀疏信道估計方法——基于Tanimoto系數的弱選擇正則化正交匹配追蹤（T-SWROMP,Tanimoto based stagewise weak and regularized OMP）算法。該算法的優(yōu)點是不需要已知信道的稀疏信息，基于Tanimoto系數度量準則，然后利用弱選擇標準，結合正則化的思想，優(yōu)化支撐集的選擇，迭代地改進了原信號的近似值，信號重構效果得到提升。仿真結果表明，新方法比傳統(tǒng)的OMP、分段弱正交匹配追蹤（SWOMP,stagewise weak OMP）和正則化正交匹配追蹤（ROMP,regularized OMP）方法具有更好的誤比特率（BER,bit error ratio）性能。

本文中，?{?}表示取實部，diag{?}表示對角矩陣，?和C分別表示實數域和復數域，(?)-1表示一般逆運算，(?)#表示矩陣的逆，(?)T和(?)H分別表示轉置和共軛轉置，IM表示M維的單位矩陣。

2 FBMC系統(tǒng)稀疏信道模型

在FBMC/OQAM系統(tǒng)中，發(fā)送的信號可以表示為[5]

其中，dm,n表示實值OQAM符號；gm,n(t)表示合成基，可以是由原型函數gm,n(t)通過以下方式獲得

其中，F(xiàn)0表示系統(tǒng)的子載波間隔，τ0表示FBMC 系統(tǒng)的符號間隔。在OFDM系統(tǒng)中，，但是在FBMC系統(tǒng)中，，所以有。且脈沖g的設計使相關子載波函數gm,n(t)在實數域正交

其中，δi,j代表克羅內克函數，如果m≠p，那么δm,p=0；如果m=p，那么δm,p=1?？梢园l(fā)現(xiàn)，即使在無失真的信道中，在時間和頻率完全同步的情況下，輸出端仍然存在載波間虛部干擾，因此定義干擾權重為

通過帶有加性噪聲的信道，接收到的信號可以表示為

另外，有

其中，h(t,τ)表示信道脈沖響應，Hm,n(t)表示時刻t信道的復數響應。

式(5)中的信號r(t)的矩陣形式可以表示為

其中，X=diag{x(0),x(1),…,x(N-1)}；R=diag{r(0),r(1),…,r(N-1)}T；H=FNLh表示多徑信道頻率響應采樣值，F(xiàn)NL表示N×L維離散傅里葉變換矩陣，L是信道長度；Φ表示N×N大小的噪聲矩陣，均值為0，方差為σ2。

假設導頻數量為P，?=(es1,es2,…,esP)表示大小為P×N的導頻選擇矩陣，?用于從整個子載波中尋找導頻位置，si(i=1,2,…,P)表示第i個導頻的位置。式(7)可寫為

其中，RP=φR是收到的導頻信號，在本文中，RP是LS信道估計值，ΦP=?φ，F(xiàn)P=φFNL，XP=φXφT是對角線矩陣，其中對角線元素是導頻值。

假設F=XPFP，重寫式(8)為

其中，h表示稀疏多徑信道響應，在傳輸過程中可以得到RP和F。然后，本文可以用CS重構算法來恢復稀疏信號h。

3 基于T-SWROMP算法的稀疏信道估計

在基于導頻符號輔助的信道估計中，導頻符號在接收端是先驗的。在OFDM中，由于干擾權重是一個單位矩陣，導頻位置上接收到的符號除以相應的數據符號，即可得到導頻位置上信道系數的估計值，然后通過插值來獲得數據位置處的信道值。然而，在FBMC中，這種簡單的方法由于虛部干擾而不起作用，即由非對角虛元素組成。

犧牲一個額外的數據符號，即所謂的輔助導頻符號，可以消除一個導頻位置上的虛部干擾。圖1顯示了本文的輔助導頻結構。其中■表示數據，表示輔助導頻。如果選擇輔助導頻符號，可以完全消除導頻位置處的虛部干擾，所以有

圖1 輔助導頻放置方式

其中，有

如果導頻符號彼此間隔足夠遠，則DP,P將成為一個單位矩陣，從而可以簡化式(11)。

編碼方法是指不使用輔助符號，將數據進行編碼從而消除導頻處的虛部干擾的方法。圖2顯示了本文的編碼輔助導頻結構。因此，將發(fā)送的信號改寫為

經過信道估計后，本文用CT對均衡后接收的信號進行解碼，而條件必須保持不變，即編碼向量ci是正交的，因此傳輸系統(tǒng)與不編碼的情況相似。假設導頻符號之間的間隔足夠遠，允許為不同的導頻符號獨立設計編碼。因此，找到C的問題可以簡化為找到一個更小的編碼矩陣，通過該矩陣編碼得到最接近導頻的N個干擾符號，從而消除干擾。

圖2 編碼輔助導頻放置方式

要很好地進行稀疏信道估計，除了合適的導頻結構外，還需要較優(yōu)的CS重構算法。

OMP、ROMP和SWOMP算法[24]是基于迭代貪婪追蹤的CS重構算法。對于OMP算法，在每次迭代中，只選擇與殘差內積絕對值最大的一列。ROMP算法則是先選出內積絕對值最大的K列，然后從這K列中按正則化標準再篩選一次，其在信號重構過程中，每次迭代都是根據殘差r與測量矩陣Φ中原子相似度，挑選與信號稀疏度相同的K個原子索引集作為候選集J，所以稀疏度K直接影響信號的重構精度。因此，為解決ROMP算法在信號重構中需已知信號稀疏度K的問題，結合SWOMP算法中原子的弱選擇標準，即

其中，i∈J，α∈(0,1]。

將殘差r與測量矩陣Φ中原子的相似度即內積值g滿足式(14)的所有原子對應的索引集i并入候選集J中，則完成了一次原子的弱選擇。ROMP算法結合弱選擇標準使原算法在信號重構過程中不再依賴稀疏度，并且根據殘差r與測量矩陣Φ中各原子相似度的不同，自適應地調節(jié)原信號的原子個數，更好地挑選出表示原信號的原子候選集，進而提升信號重構精度及穩(wěn)定性。

同時，在信號重構過程中，弱選擇正則化正交匹配追蹤算法[15]采用了Cosine相似度度量準則，原理是求從冗余字典庫中尋找到的匹配原子與殘差的夾角余弦值。余弦值越大，說明夾角越大，兩點相距就越遠，相似度就越小。Cosine相似度度量準則的定義為

信號重構指的是對通過相似度度量準則得到的最優(yōu)原子索引集矩陣進行重構計算。算法對原始信號進行重構時，利用Cosine準則度量相似性，不會考慮到原子相似度的變化，不能很好地放大重要向量分量的效果，造成原始信息的部分失真，進而會影響對最優(yōu)原子索引集的建立，信號的重構效果不好。Cosine相似性表示公共屬性的數量除以可能屬性的總數，而Tanimoto相似性作為Cosine相似度的擴展，表示公共屬性的數量除以2個對象中至少一個對象中存在的屬性的數量，且適用于測量稀疏高維數據中的鄰近度。Tanimoto可以通過稀疏點積有效地計算非對稱數據，在表示向量的接近度時，它同時考慮了向量的角度和長度。這種特性可以更好地保留原始向量分量，捕捉到原子相似度的變化，提升算法的重構效果。所以，引入Tanimoto相似性為

利用Tanimoto相似度度量準則度量相似性時，分子項不變，分母項保留2個對象中至少一個對象中存在的屬性特點，從而更多地保留每個向量的原始狀態(tài)，突出向量中重要的組成元素，真實捕捉到原子相似度的變化。針對任意2個向量x和y，Tanimoto相似性可以最大化地有效運用向量中的數值來求解相似度，解決了Cosine準則在度量過程中導致原始信號部分失真的問題。因此相對于Cosine相似度度量準則，基于Tanimoto相似性的重構算法可以更可靠地區(qū)分2個相似的原子，更好地從冗余字典中挑選出與殘差信號相似的原子，極大地提升了信號的重構效果。

基于Tanimoto相似性的弱選擇正則化正交匹配追蹤（T-SWROMP）算法流程如下。

輸入原稀疏信號測量值y，測量矩陣Φ，算法最大迭代次數L，重構的誤差ε

輸出重構信號的原子支撐集，即由中原子的線性組合表示原稀疏信號

1)初始化：初始殘差r0=y，迭代次數初始值n=1，算法最大迭代次數L，重構的誤差ε，索引值集合Λ=φ，J=φ。

2)弱選擇：先計算殘差和測量矩陣每個原子之間的Tanimoto相似性，(j=1,…,N)，并從中找出滿足式(14)的測量矩陣Φ中原子?i對應的索引值i，將其存入索引值集J中。

6)比較算法迭代次數，當n≥L時，停止迭代；比較更新殘差和上次迭代殘差，當時，停止迭代；否則，令r=rn，n=n+1，轉至步驟2)。

4 仿真結果

本節(jié)通過仿真，對LS、OMP、ROMP、SWOMP、ARCoSaMP[22]和本文提出的T-SWROMP算法的性能進行了比較。這里分別使用算法的重構率和BER性能來對算法的恢復率和信道估計的性能進行評價。仿真環(huán)境中FBMC子載波個數為1 024，星座映射方式為40QAM，原型濾波函數采用Hermite函數，濾波器的重疊因子設定為8，采用IEEE 802.22信道模型,最大徑數為6，其信道參數的功率時延譜（PDP,power delay profile）如表1所示。

圖3是對原始的和估計的信道參數的功率時延譜的比較，它表明本文所提出的針對FBMC系統(tǒng)的貪婪重構算法能夠很好地重構原始的多徑信道。

表1 IEEE 802.22信道參數的功率時延譜

圖3 原始的和估計的IEEE 802.22信道參數功率時延譜的比較

本文研究了不同算法在固定信號稀疏度K=8時的重構概率。圖4描述了高斯稀疏信號的重構概率曲線。從圖4可以看出，當測量值M在5～50的范圍內時，所提算法的重構性能優(yōu)于其他幾種算法。

圖4 不同重構算法在不同測量值下高斯稀疏信號的重構概率比較(K=8,N=256,Gaussian)

圖5顯示了FBMC/OQAM系統(tǒng)采用輔助導頻結構時的誤碼率性能隨最大多普勒頻移的變化。在圖5中，隨著最大多普勒頻移的增大，所提算法與OMP、ROMP、ARCoSaMP算法的估計性能都下降，但是所提算法在估計性能更好的情況下，其變化相對平緩，這說明所提算法對多普勒頻移具有較好的穩(wěn)健性。

圖5 信道估計誤碼率性能隨最大多普勒頻移的變化

圖6顯示了FBMC/OQAM系統(tǒng)采用輔助導頻結構時的誤碼率性能比較。在圖6中，F(xiàn)BMC/OQAM系統(tǒng)中采用了基于CS的信道估計，最大多普勒頻移設定為10 Hz。與傳統(tǒng)LS方法相比，基于CS的信道估計方法可以獲得顯著的誤碼率改善。同時，在基于CS的信道估計方法中，所提算法在整個信噪比范圍內優(yōu)于OMP、ROMP和SWOMP算法，與ARCoSaMP算法性能接近。

圖6 FBMC/OQAM系統(tǒng)下基于輔助導頻的信道估計的誤碼率比較

圖7顯示了FBMC/OQAM系統(tǒng)采用編碼輔助導頻結構時的誤碼率性能比較。同樣，在圖7中，與LS相比，基于CS的信道估計方法可以獲得顯著的誤碼率改善。且在基于CS的信道估計方法中，所提算法在整個信噪比范圍內優(yōu)于OMP、ROMP和SWOMP算法，與ARCoSaMP算法性能接近。

圖7 FBMC/OQAM系統(tǒng)下基于編碼輔助導頻的信道估計的誤碼率比較

表2給出了仿真中不同稀疏信道恢復算法在配置為i5處理器、3.1 GHz主頻、8 GB內存、macOS Mojave(64位)操作系統(tǒng)的PC環(huán)境下，進行單次運算所需要的時間?？梢钥闯?，在信道稀疏度未知的情況下，T-SWROMP算法在計算復雜度上低于SWOMP和ARCoSaMP算法。由于信道稀疏度未知，迭代次數過多，導致ARCoSaMP和SWOMP稀疏度計算復雜度相對較高。

表2 不同稀疏信道重構算法的仿真運行時間

仿真結果表明，在FBMC/OQAM系統(tǒng)中，基于CS的信道估計方法比傳統(tǒng)的LS方法能提供更有效的性能。本文提出的基于T-SWROMP的信道估計方法，在不需要信道稀疏度的情況下，可以獲得比其他重構算法更好的性能，并且在時間復雜度較低的情況下，具有更好的信道估計性能。

5 結束語

本文研究了在IEEE 802.22稀疏多徑衰落信道下基于CS的FMBC/OQAM系統(tǒng)的稀疏信道估計，提出了一種新的基于Tanimoto系數的弱選擇正則化正交匹配追蹤算法，所提算法結合輔助導頻和編碼方法，可以實現(xiàn)在未知信號稀疏度的條件下，根據弱選擇標準自適應地確定原子候選集的原子個數，進而通過正則化過程從候選集中快速有效地挑選出完成信號重構的最優(yōu)原子組。同時，在重構信號時，利用Tanimoto度量準則，優(yōu)化了支撐集的選擇，進一步提高了信號的重構精度。仿真結果表明，基于CS的導頻方法比傳統(tǒng)的LS方法具有更好的誤碼率性能。在時間復雜度較低的情況下，該方案優(yōu)于SWOMP算法，并且在未知信道稀疏度的情況下，該方案優(yōu)于ROMP算法。在FBMC/OQAM傳輸網絡中，T-SWROMP方案是一種有效的稀疏信道估計方法。