趙青波

摘要：冪級數(shù)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一種基礎(chǔ)知識，同時也是數(shù)學(xué)計算中的一種重要“工具”，其在函數(shù)領(lǐng)域中有著較為廣泛的應(yīng)用，如在復(fù)變函數(shù)等領(lǐng)域中。冪級數(shù)在函數(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用決定了其在函數(shù)計算等過程中的重要性，一般來說，運(yùn)用冪級數(shù)求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、求數(shù)值級數(shù)的和、應(yīng)用在近似計算中、應(yīng)用在微分方程的解法、。在數(shù)學(xué)解題過程中，通過把握冪級數(shù)在函數(shù)應(yīng)用中的關(guān)鍵點(diǎn)，也能夠起到事半功倍的作用，本論文通過分析冪級數(shù)在函數(shù)中具體應(yīng)用的基礎(chǔ)上，闡述冪級數(shù)在函數(shù)中應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)，以此來多方位的展示出冪級數(shù)的在函數(shù)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：冪級數(shù);函數(shù);應(yīng)用

引言冪級數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用是數(shù)學(xué)計算中解決函數(shù)問題的一種有效思路，同時也能夠為函數(shù)類型題的計算提供一種“捷徑”，通過對冪級數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，能夠觀察到，冪級數(shù)與函數(shù)之間存在著關(guān)聯(lián)性，這也是冪級數(shù)作為函數(shù)解題“工具”的基礎(chǔ)。如冪級數(shù)是函數(shù)函數(shù)項級數(shù)中最基本的一類，在冪級數(shù)的收斂域上與函數(shù)之間存在的明確的關(guān)聯(lián)性，在收斂域上函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)，稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)。本文通過對冪級數(shù)概念與性質(zhì)的闡述，結(jié)合具體的解題思路，對冪級數(shù)與函數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行分析。

一、冪級數(shù)概述

冪級數(shù)是指在級數(shù)的每一項均為與級數(shù)項序號n相對應(yīng)的以常數(shù)倍的（x-a）的n次方（n是從0開始計數(shù)的整數(shù)，a為常數(shù)）。以冪級數(shù)常見的三個性質(zhì)為例，以下進(jìn)行闡述。

1.∑ an xn 在 | x | < R 內(nèi)絕對收斂，在 | x | > R內(nèi) 發(fā) 散，其 中 R 稱? n=a 為收 斂半 徑，此時再根據(jù)Hadamard 公式進(jìn)行相應(yīng)計算。

2.如果函數(shù)S（x）是收斂域（-a，a）上的連續(xù)函數(shù)，則S（x）在x=a左連續(xù)。

3.在收斂半徑（-a，a）的范圍內(nèi)，冪級數(shù)可以任意次逐項求導(dǎo)或者求和，并且產(chǎn)生的新的冪級數(shù)的收斂半徑不變。

二、冪級數(shù)在函數(shù)中的具體應(yīng)用

（一）利用冪級數(shù)求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

在常規(guī)數(shù)學(xué)計算中，將冪級數(shù)運(yùn)用到求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)中，不僅能夠降低計算的復(fù)雜性，也能夠提高計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。以下，本論文將這種應(yīng)用分為三步進(jìn)行闡述。

首先，需要使用冪級數(shù)展開的方法，并將其展開到指定點(diǎn)處的冪級數(shù)，這是應(yīng)用的前提。其次，計算冪級數(shù)展開式的收斂域，這直接關(guān)系著后面的計算。

最后，需要使用泰勒級數(shù)的理念進(jìn)行冪級數(shù)的計算，即一個函數(shù)在指定點(diǎn)處的冪級數(shù)展開式，具有唯一性，冪級數(shù)相等情況下，x-x0次數(shù)相同的項，其系數(shù)也是相等的。

詳細(xì)如下：

（二）利用冪級數(shù)求數(shù)值級數(shù)的和

在數(shù)值級數(shù)的和的計算的過程中，冪級數(shù)也有著自身的應(yīng)用性，在該計算中，應(yīng)用冪級數(shù)往往能夠提高計算的效率，以下，本論文將其具體分為三個步驟。

首先，需要將常值級數(shù)轉(zhuǎn)化為冪級數(shù)，把其中的n次方項轉(zhuǎn)化為xn，以此來構(gòu)成冪級數(shù)，這是應(yīng)用冪級數(shù)的前提條件。

其次，需要對構(gòu)成的冪級數(shù)進(jìn)行求解，將其收斂域與函數(shù)計算出來。

最后，借用冪級數(shù)的特性，冪級數(shù)收斂域中所組成的常值級數(shù)之和，與和函數(shù)在這個點(diǎn)中的函數(shù)值是相等的。

（三）冪級數(shù)在近似計算中的應(yīng)用

根據(jù)冪級數(shù)的特性，在函數(shù)的冪級數(shù)收斂域中的點(diǎn)上，相應(yīng)的函數(shù)值，其近似值可以用收斂域中的點(diǎn)的冪級數(shù)所對應(yīng)的常值級數(shù)的部分和近似，這也可以保證預(yù)期的準(zhǔn)確度。

冪級數(shù)應(yīng)用在近似計算中，有著自身的前提，即函數(shù)要能夠展開成冪級數(shù)，如果能夠符合這個前提，則該應(yīng)用就充分成立，符合以下推論：f（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+...+ahxh+...（-R

（四）微分方程的冪級數(shù)解法

f（ x） 的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來時，計算 f（ x） 的定積分就遇到了困難，現(xiàn)在，可以利用冪級數(shù)取有限項的辦法近似計算這些定積分的值.我們在計算積分時，當(dāng)具體要求被積函數(shù)能夠展成收斂的冪級數(shù)，且積分限必須在冪級數(shù)的收斂域之內(nèi)，然后利用逐項積分來計算所求定積分的值。以下，本論文將這種應(yīng)用分為四個步驟進(jìn)行闡述：

首先，設(shè)微分方程的解函數(shù)為冪級數(shù)。

其次，解函數(shù)的冪級數(shù)表達(dá)式代入微分方程，化簡、合并等式兩端的同次項。

再次，比較等式兩端同次項的系數(shù)，得到所設(shè)冪級數(shù)的系數(shù)表達(dá)式。

最后，對于得到的冪級數(shù)，能夠求出和函數(shù)的，則和函數(shù)即為微分方程解的初等函數(shù)表達(dá)式;對于無法用初等函數(shù)描述的冪級數(shù)，則可以用其部分和作為微分方程的近似解。

三、冪級數(shù)在函數(shù)應(yīng)用中的關(guān)鍵

（一）函數(shù)展開為冪級數(shù)的可能思路

常用的基本思想與方法為：借助級數(shù)的數(shù)乘、加減運(yùn)算法則、逐項可導(dǎo)、逐項可積的微分性質(zhì)，將函數(shù)變換成已知冪級數(shù)展開式及收斂域的函數(shù)描述形式，然后借助運(yùn)算性質(zhì)寫出冪級數(shù). 該方法也稱為函數(shù)展開成冪級數(shù)的間接法. 另外也基于函數(shù)在指定點(diǎn)處冪級數(shù)的唯一性，通過待定系數(shù)的方法求冪級數(shù)的系數(shù)，從而得到最終的冪級數(shù)展開式。

（1） 所求函數(shù)→變換為容易寫出冪級數(shù)的函數(shù)加減乘形式→對函數(shù)執(zhí)行加減、求導(dǎo)、求積→已有冪級數(shù)展開式的函數(shù)→對函數(shù)及冪級數(shù)進(jìn)行逆運(yùn)算→所求函數(shù)的冪級數(shù)。

（2） 已有冪級數(shù)的展開式的函數(shù)→函數(shù)求導(dǎo)、求積分及冪級數(shù)展開式逐項求導(dǎo)、求積分→所求函數(shù)的冪級數(shù)展開式。

（3） 直接求各階導(dǎo)數(shù)，借助泰勒級數(shù)公式直接寫出相應(yīng)的冪級數(shù)表達(dá)式

一般來說，函數(shù)展開為冪級數(shù)有兩種思路，即直接展開法和間接展開法，以下進(jìn)行詳述：

①直接展開法：