高有濤，李木子，孫 俊

(1. 南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，江蘇 南京 210016； 2. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109)

0 引言

現(xiàn)有的軌道確定技術(shù)主要依靠地基觀測(cè)設(shè)備和衛(wèi)星導(dǎo)航星座。隨著對(duì)衛(wèi)星自主性和在軌生存能力需求的不斷提升，各類自主導(dǎo)航理論得到越來越多的重視。其中，基于地面遙感圖像的自主定軌方法具備以下特點(diǎn)：1)光學(xué)遙感衛(wèi)星本身攜帶有光學(xué)相機(jī)，可直接用以定軌，節(jié)省載荷空間；2)具有很好的延展性，對(duì)于搭載其他波段探測(cè)器的衛(wèi)星同樣適用；3)圖像中包含豐富信息，借助已有的視覺位姿估計(jì)算法，可設(shè)計(jì)更加靈活多樣的定軌方案。

利用地面景物圖像進(jìn)行衛(wèi)星定軌的思路最早源自20世紀(jì)60年代美國空軍提出的基于地標(biāo)的衛(wèi)星定軌方案[1]。隨后，麻省理工學(xué)院(MIT)、美國國家航空航天局(NASA)等機(jī)構(gòu)的研究團(tuán)隊(duì)分別提出了基于地面遙感圖像數(shù)據(jù)的定軌方案，并進(jìn)行了可行性分析[2-4]。近年來，相關(guān)研究主要是評(píng)估使用不同類型地標(biāo)圖像方案的定軌表現(xiàn)[5-7]。

定軌系統(tǒng)的關(guān)鍵問題之一是分析系統(tǒng)的可觀測(cè)性。只有系統(tǒng)的狀態(tài)量根據(jù)觀測(cè)可以唯一確定，系統(tǒng)才是可觀測(cè)的?？捎^測(cè)性的概念最早是由Kalman為解決確定線性系統(tǒng)問題時(shí)引入的，用以描述系統(tǒng)利用有限觀測(cè)確定系統(tǒng)狀態(tài)的能力。對(duì)于航天器精密定軌系統(tǒng)，可觀測(cè)性是指系統(tǒng)利用有限觀測(cè)確定航天器軌道狀態(tài)量的能力。在有關(guān)自主導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)性的研究中，崔平遠(yuǎn)等[8]針對(duì)深空導(dǎo)航系統(tǒng)，討論了利用太陽視線矢量、地球視線矢量、相對(duì)太陽的徑向速度及其相互組合作為觀測(cè)量時(shí)系統(tǒng)的可觀測(cè)性能，得出多種觀測(cè)量組合下定軌可觀測(cè)性能最佳，同時(shí)還證明了定軌可觀測(cè)度越高，則定軌精度越高。寧曉琳等[9]分別利用星光角距和星光仰角兩類觀測(cè)量時(shí)系統(tǒng)的可觀測(cè)性，通過比較2種情形下的可觀測(cè)度，得出利用星光仰角可以得到更高的導(dǎo)航精度的結(jié)論。除此之外，一些學(xué)者針對(duì)測(cè)角、磁強(qiáng)計(jì)測(cè)量等觀測(cè)量對(duì)可觀測(cè)性進(jìn)行了分析[10-11]。

本文首先介紹了基于地面遙感圖像定軌的基本原理及相關(guān)理論模型。隨后針對(duì)該定軌系統(tǒng)，給出系統(tǒng)可觀測(cè)性和可觀測(cè)度的分析方法。最后，通過算例證明了系統(tǒng)的可觀測(cè)性，對(duì)可觀測(cè)度進(jìn)行評(píng)估，通過仿真實(shí)驗(yàn)分析了該定軌系統(tǒng)的定軌精度。

1 基于地面遙感圖像的衛(wèi)星自主定軌原理

地表存在大量可識(shí)別的自然或人造特征景物。當(dāng)對(duì)地成像的遙感衛(wèi)星拍攝地面圖像時(shí),可以將這些圖像與事先存儲(chǔ)在衛(wèi)星上的特征景物庫進(jìn)行匹配，由此建立實(shí)際景物坐標(biāo)與其像點(diǎn)坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。根據(jù)該對(duì)應(yīng)關(guān)系便可以建立定軌觀測(cè)模型，從而確定衛(wèi)星軌道。下面對(duì)基于地面遙感圖像的衛(wèi)星自主定軌系統(tǒng)中涉及的軌道動(dòng)力學(xué)模型、觀測(cè)模型和濾波算法分別進(jìn)行介紹。

1.1 定軌觀測(cè)模型

對(duì)于理想的pin-hole相機(jī)模型，成像過程遵循中心投影透視原理。選取J2000地心天球坐標(biāo)系作為物方坐標(biāo)系，在該坐標(biāo)系中表示地面特征點(diǎn)。成像的幾何關(guān)系如圖1所示。圖中：S為投影中心；O為光軸與成像平面的交點(diǎn)；P(xg,yg,zg)為地面特征點(diǎn)；p(u,v,-f)為地面特征點(diǎn)在焦平面上的像點(diǎn)。

圖1 測(cè)量幾何示意Fig.1 Schematic diagram of measurement geometry

像點(diǎn)坐標(biāo)在像空間坐標(biāo)系下表示為

(1)

式中：f為相機(jī)焦距；(u，v)為焦平面像點(diǎn)坐標(biāo)。為了建立像點(diǎn)與地面特征點(diǎn)之間的關(guān)系，應(yīng)建立1個(gè)輔助坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系各軸與物方坐標(biāo)系各軸平行，原點(diǎn)為投影中心。由此可得到在該輔助坐標(biāo)系下的像點(diǎn)坐標(biāo)，即

(2)

式中：TA為衛(wèi)星體坐標(biāo)系向物方坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣；TI為相機(jī)的安裝矩陣。輔助坐標(biāo)系與物方坐標(biāo)系坐標(biāo)軸平行，因此根據(jù)簡(jiǎn)單的相似三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比一致的原理可得

(3)

式中：(xg,yg,zg)為地面特征點(diǎn)坐標(biāo)；(x,y,z)為投影中心坐標(biāo)，近似等于衛(wèi)星位置坐標(biāo)。將式(3)代入式(2)便能建立起地面控制點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)應(yīng)像點(diǎn)坐標(biāo)和投影中心坐標(biāo)之間的關(guān)系，即

(4)

式中：(a11,a12,…,a33)是(TATI)-1矩陣元素。

由以上推導(dǎo)可建立定軌觀測(cè)模型，該觀測(cè)模型的具體形式為

(5)

式中：焦平面坐標(biāo)(u,v)為定軌觀測(cè)量；η為二維測(cè)量誤差。由式(5)可推導(dǎo)出該觀測(cè)模型下的測(cè)量矩陣

(6)

式中：

h1=

h2=

h3=

h4=

h5=

h6=

1.2 衛(wèi)星軌道動(dòng)力學(xué)模型

近地衛(wèi)星的軌道運(yùn)動(dòng)問題可理解為受攝二體問題，軌道狀態(tài)量可表示為衛(wèi)星在J2000地心天球坐標(biāo)系下各軸方向上的位置速度分量，即

(7)

其滿足運(yùn)動(dòng)方程

(8)

式中：F0為二體引力項(xiàng)；Fε為各種攝動(dòng)加速度之和。對(duì)于地球低軌衛(wèi)星，地球非球形引力是最主要的攝動(dòng)源，除此之外，大氣阻力、光壓攝動(dòng)、日月等大天體的攝動(dòng)也是比較顯著的攝動(dòng)因素。當(dāng)追求更高的模型精度時(shí)，還需考慮來自潮汐、后牛頓效應(yīng)等因素的影響。

1.3 濾波模型

鑒于動(dòng)力學(xué)模型和觀測(cè)模型所體現(xiàn)出的非線性特性，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)算法對(duì)軌道狀態(tài)量進(jìn)行估計(jì)。濾波算法中的待估狀態(tài)量即為軌道狀態(tài)量x，根據(jù)式(7)，(8)可構(gòu)造完整的濾波狀態(tài)方程，即

(9)

其過程噪聲w滿足譜密度矩陣，即

(10)

基于以上狀態(tài)方程，濾波流程由時(shí)間更新和測(cè)量更新兩部分組成。在時(shí)間更新中，衛(wèi)星的軌道狀態(tài)量由時(shí)刻tk-1積分至?xí)r刻tk，相應(yīng)的tk時(shí)刻的協(xié)方差矩陣為

Pk/k-1=φ(t,tk)Pk-1/k-1φT(t,tk)

(11)

式中：φ(t,tk)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。借助時(shí)間更新得到的先驗(yàn)軌道狀態(tài)量和協(xié)方差矩陣Pk/k-1，可以求解出測(cè)量殘差yk和濾波增益矩陣Kk，即

yk=ζ-h(x)

(12)

(13)

(14)

對(duì)軌道狀態(tài)量的更新可表示為

(15)

同時(shí)對(duì)協(xié)方差進(jìn)行更新，即

Pk/k=(I-KkHk)Pk/k-1

(16)

將改正過的狀態(tài)量和協(xié)方差帶入到新的濾波循環(huán)中，直至所有觀測(cè)數(shù)據(jù)處理完畢，即

F=F0+Fε

(17)

2 系統(tǒng)可觀測(cè)性分析方法

對(duì)于航天器定軌系統(tǒng)，可觀測(cè)性是指系統(tǒng)利用已有的觀測(cè)量可以唯一地確定航天器的軌道狀態(tài)的能力[12]。如果系統(tǒng)的狀態(tài)量可以根據(jù)觀測(cè)唯一地確定，則該系統(tǒng)是可觀測(cè)的。在實(shí)際處理中，往往利用構(gòu)造可觀測(cè)性矩陣的方法對(duì)系統(tǒng)的可觀測(cè)性進(jìn)行分析。

由以上對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型和觀測(cè)模型的分析可知，本文構(gòu)建的基于地面遙感圖像的定軌系統(tǒng)為非線性時(shí)變系統(tǒng)。將該系統(tǒng)進(jìn)行分段定常簡(jiǎn)化[13]，通過局部可觀測(cè)矩陣對(duì)系統(tǒng)的可觀測(cè)性進(jìn)行分析。局部可觀測(cè)矩陣可描述為

(18)

式中：φ表示衛(wèi)星軌道狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。對(duì)任意定軌時(shí)刻t，若局部可觀測(cè)矩陣o(t)滿秩，即其秩等于系統(tǒng)狀態(tài)量的維數(shù)n，則稱系統(tǒng)在t時(shí)刻為局部可觀測(cè)的。如果在整個(gè)定軌弧段內(nèi)，各定軌時(shí)刻的局部可觀測(cè)矩陣均滿秩(秩等于n)，那么該定軌系統(tǒng)就是完全可觀測(cè)的。

通過對(duì)局部可觀測(cè)矩陣秩的求解可判斷系統(tǒng)是否可觀測(cè)，但這種方式無法反映出系統(tǒng)估計(jì)性能的好壞。為了評(píng)價(jià)系統(tǒng)的估計(jì)性能，這里引入可觀測(cè)度的概念。可觀測(cè)度表征了觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)量變化的敏感程度，其數(shù)值大小一定程度上體現(xiàn)了系統(tǒng)對(duì)軌道狀態(tài)估計(jì)的精度。本研究中選取局部可觀測(cè)矩陣的條件數(shù)作為可觀測(cè)度的度量標(biāo)準(zhǔn)。為了求取條件數(shù)，需對(duì)局部可觀測(cè)矩陣進(jìn)行奇異值分解，其表達(dá)式為

O=USVT

(19)

式中：U，V分別為維度m×m和n×n的奇異向量矩陣，其中m為觀測(cè)量維度p與狀態(tài)量維度n的乘積；S為由奇異值組成的對(duì)角矩陣，其維度與O矩陣一致，均為m×n。至此，利用求得的矩陣奇異值，可求取矩陣條件數(shù)，即

(20)

式中：σmin，σmax分別代表矩陣O的最小奇異值和最大奇異值。由條件數(shù)定義可知，其在數(shù)值上必大于等于1，且條件數(shù)越大，矩陣越趨向于病態(tài)。應(yīng)用于定軌系統(tǒng)可觀測(cè)性的分析中，可以理解為條件數(shù)越大可觀測(cè)度越差，條件數(shù)越接近于1可觀測(cè)度越好，定軌性能更優(yōu)越。

3 可觀測(cè)性與定軌性能仿真分析

3.1 仿真條件

仿真中使用WorldView-3衛(wèi)星的軌道參數(shù)(見表1)作為標(biāo)稱軌道初始參數(shù)。通過仿真合成的方式產(chǎn)生模擬的定軌觀測(cè)數(shù)據(jù)。星載光學(xué)相機(jī)進(jìn)行星下點(diǎn)成像，相機(jī)焦距為13.3 m，視場(chǎng)為1.27°。在生成仿真數(shù)據(jù)時(shí)，判斷攝像機(jī)視場(chǎng)內(nèi)是否存在選取的地面特征點(diǎn)。當(dāng)攝像機(jī)的視場(chǎng)內(nèi)包含地面特征點(diǎn)時(shí)，借助地面特征點(diǎn)位坐標(biāo)、衛(wèi)星的標(biāo)稱位置和姿態(tài)，根據(jù)中心投影原理生成仿真中所用到的地面圖像數(shù)據(jù)。仿真中，需要選取合適的地表特定景物作為在軌衛(wèi)星可拍照獲取的有效特征點(diǎn)。這里選取全球海岸線和主要河流作為候選景物，一是因?yàn)樵擃惥拔锓植紡V泛且密度較高，方便星載相機(jī)獲得包含該類景物的有效觀測(cè)圖像；二是因?yàn)樵趯?shí)際圖像處理中，這類景物往往與周圍景物差別明顯，更容易識(shí)別、匹配。

表1 衛(wèi)星初始軌道參數(shù)

為了模擬星上成像條件，還要考慮影響成像的光照約束，包括晝夜光照變化和云層遮擋(概率為50%)。當(dāng)星下點(diǎn)區(qū)域處于背向太陽一側(cè)或云層遮擋時(shí)，衛(wèi)星將無法獲取有效地面圖像。仿真中，假設(shè)每30 s衛(wèi)星獲取1次星下點(diǎn)圖像，需要考慮的誤差因素見表2。

表2 基于地面圖像定軌仿真誤差參數(shù)

3.2 可觀測(cè)性分析

在以上仿真條件下，對(duì)基于地面遙感圖像的定軌系統(tǒng)的可觀測(cè)性進(jìn)行仿真分析。在2 d的定軌弧段內(nèi)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示：各定軌時(shí)刻的局部可觀測(cè)矩陣的秩均為6，基值等于軌道狀態(tài)量緯度，這表明各時(shí)刻均為局部可觀測(cè)的，即該系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的。圖2展示了可觀測(cè)度隨時(shí)間變化的情況，從圖中可以看出，除了極少數(shù)時(shí)刻外，可觀測(cè)度的值均小于500，整個(gè)定軌弧段內(nèi)可觀測(cè)度的均值為342.83，這表明該定軌系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)對(duì)軌道狀態(tài)量較好的估計(jì)。

圖2 可觀測(cè)度隨時(shí)間變化Fig.2 Variation of observability degree with time

3.3 基于單點(diǎn)的精密定軌與多點(diǎn)定位結(jié)果對(duì)比

利用Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)對(duì)該系統(tǒng)的定軌性能進(jìn)行定量分析。圖3中展示了2 d的定軌弧段內(nèi)，各坐標(biāo)軸方向定軌位置誤差、速度誤差隨時(shí)間變化的情況。圖中的黑線表示估計(jì)得到的軌道與標(biāo)稱軌道間的誤差，紅線代表由估計(jì)協(xié)方差矩陣計(jì)算得到的3σ誤差曲線。從圖中可以看出，定軌誤差在0.1 d內(nèi)顯著下降達(dá)到穩(wěn)態(tài)。這表明在該實(shí)驗(yàn)條件下，定軌系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)定軌誤差快速收斂。重復(fù)進(jìn)行500次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)，得到平均的定軌位置均方根誤差為11.74 m，速度均方根誤差為1.35 m/s。

上述分析討論了利用遙感圖像中的特征點(diǎn)焦平面坐標(biāo)為觀測(cè)量，結(jié)合衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)信息的定軌結(jié)果。但通過分析式(4)中的成像共線方程可知，當(dāng)同一幅圖像中的特征點(diǎn)數(shù)大于等于2時(shí)，可以建立至少4個(gè)包含衛(wèi)星位置坐標(biāo)的獨(dú)立方程，此時(shí)方程個(gè)數(shù)大于衛(wèi)星位置坐標(biāo)維度，因此可利用最小二乘法求解出衛(wèi)星的位置坐標(biāo)，稱為多點(diǎn)定位方法。

圖3 定軌誤差隨時(shí)間變化圖Fig.3 Variation of orbit determination error with time

圖4 多點(diǎn)定位Monte-Carlo仿真結(jié)果Fig.4 Monte-Carlo simulation results of multiple-point position determination

在相同的仿真條件下對(duì)2種方法進(jìn)行比較分析。圖4展示了500次Monte-Carlo仿真下多點(diǎn)定位方法衛(wèi)星位置確定結(jié)果，仿真實(shí)驗(yàn)中假設(shè)每幅圖像包含10個(gè)特征點(diǎn)。從圖中可以發(fā)現(xiàn)衛(wèi)星的定位誤差集中在2～150 m的范圍內(nèi)。對(duì)多點(diǎn)定位方法和本文提出的定軌方法的定軌結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果見表3。由表可知，使用多點(diǎn)定位方法時(shí)，隨著控制點(diǎn)數(shù)目的增加定位誤差逐漸減小。本文提出的定軌方法得到的衛(wèi)星平均位置均方根誤差(RMSE)遠(yuǎn)小于使用多點(diǎn)定位方法得到的結(jié)果。這表明：與多點(diǎn)定位方法相比，本文提出的方法不但能同時(shí)估計(jì)衛(wèi)星位置和速度，而且可提供更高的軌道確定精度。

表3 多點(diǎn)定位方法與基于特征點(diǎn)圖像精密定軌結(jié)果比較

4 結(jié)束語

本文構(gòu)建了一種基于地面特征點(diǎn)圖像的衛(wèi)星自主定軌方法。該方法將在軌獲得的光學(xué)圖像與預(yù)存特征點(diǎn)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行匹配，獲取地面特征點(diǎn)與焦平面像點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過選取特征點(diǎn)焦平面坐標(biāo)作為觀測(cè)量，應(yīng)用EKF算法實(shí)現(xiàn)對(duì)衛(wèi)星軌道狀態(tài)量的估計(jì)。重點(diǎn)對(duì)該定軌系統(tǒng)的可觀測(cè)性進(jìn)行了討論。通過構(gòu)造局部可觀測(cè)矩陣，證明了該系統(tǒng)完全可觀測(cè)，且可觀測(cè)度在102量級(jí)，具有較為理想的估計(jì)性能。定軌仿真實(shí)驗(yàn)同樣驗(yàn)證了該方法具有較好的定軌表現(xiàn)，定軌位置精度接近10 m，速度RMSE優(yōu)于2 m/s。與基于多特征點(diǎn)的多點(diǎn)定位方法相比，該定軌方法可獲得更好的定軌表現(xiàn)。由于仿真使用的是合成的觀測(cè)數(shù)據(jù)，未包含圖像處理的過程，因此無法考慮成像扭曲、相機(jī)模型偏差等實(shí)際因素對(duì)定軌結(jié)果的影響。針對(duì)這一問題，在后續(xù)工作中將利用真實(shí)圖像數(shù)據(jù)對(duì)該方案進(jìn)行分析。