熊承義，陳仕長，高志榮，李世宇，金鑫，李治邦

(1 中南民族大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，智能無線通信湖北省重點實驗室，武漢430074；2中南民族大學(xué) 計算機科學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

壓縮感知(Compressive Sensing,CS)[1]是一種新的信號采樣理論.它指出，利用信號的稀疏性，可實現(xiàn)突破傳統(tǒng)奈奎斯特采樣的信號壓縮采樣與準確重構(gòu).具體地，基于壓縮感知理論，當(dāng)信號滿足稀疏性并且觀測矩陣滿足有限等距原則(Restricted Isometry Property，RIP)時，由降維觀測值y∈RN可以高概率地準確重構(gòu)原始信號x∈RN.

壓縮感知重構(gòu)是壓縮感知理論成功應(yīng)用的關(guān)鍵問題之一，其實現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型可表示為

(1)

其中Φ為稀疏變換矩陣，A為測量矩陣，‖·‖是取p范數(shù).

最初的CS重構(gòu)算法運用凸規(guī)劃方法，但是當(dāng)處理圖像這種高維信號時，這些凸規(guī)劃方法十分耗時.因此，低時間復(fù)雜度的迭代算法得到發(fā)展，包括正交匹配追蹤、迭代軟/硬閾值以及近似消息傳遞算法[2].特別地，由Donoho和Maleki等人提出的低復(fù)雜度、高性能的迭代算法——近似消息傳遞算法(Approximate Message Passing，AMP)在運行速度及重構(gòu)質(zhì)量上具有更加明顯的優(yōu)勢，因而更適用于高維信號的重構(gòu).

對于自然圖像壓縮感知重建，尋找合適的稀疏變換矩陣Φ，對提升壓縮感知重構(gòu)性能十分關(guān)鍵.基于AMP的圖像重構(gòu)算法常利用圖像在小波域上的稀疏性作為重構(gòu)的先驗信息[3]，如基于小波振幅尺度不變貝葉斯估計、基于小波自適應(yīng)Wiener濾波[4]和基于柯西分布最大后驗估計的小波域AMP算法[5]，然而小波系數(shù)稀疏約束并不適用于包含較多非平滑部分的自然圖像.為了解決這一問題，對邊緣和紋理較好保留的梯度稀疏先驗以及對圖像單一子塊進行稀疏表示的方法被開發(fā)出來，來改善AMP重構(gòu)CS圖像的質(zhì)量.盡管這兩種圖像先驗都具有一定的有效性，但他們僅利用了圖像的局部特征，卻忽略了圖像中大量相似塊含有的非局部信息[6,7].針對這種情況，Dabov等人開發(fā)了一種利用非局部相似塊組在稀疏3-D變換域中協(xié)同濾波的圖像去噪策略(BM3D)[6]，通過對非局部相似塊組進行小波域稀疏變換及閾值處理，成為有效的圖像恢復(fù)手段.文獻[7]進一步挖掘圖像的非局部結(jié)構(gòu)特性，提出了一種基于非局部相似塊組的低秩正則化模型，實現(xiàn)了對非局部相似塊組自適應(yīng)稀疏表示.文獻[8]構(gòu)建了基于去噪的AMP(Denoising-based AMP，D-AMP)方案，利用經(jīng)典的圖像去噪算法實現(xiàn)AMP迭代過程中的濾波操作，其中結(jié)合BM3D圖像去噪算法的BM3D-AMP，獲得了優(yōu)于當(dāng)前基于AMP方法的圖像重構(gòu)性能，然而該算法引入的BM3D算法對相似塊組采用的是固定基小波稀疏變換，忽略不同塊組的結(jié)構(gòu)變化，無法獲取每個相似塊組的自適應(yīng)稀疏表示，因而對非平穩(wěn)圖像的重構(gòu)質(zhì)量還需提高.

為了進一步改善圖像壓縮感知恢復(fù)性能，本文提出了一種自適應(yīng)低秩去噪的近似消息傳遞壓縮感知恢復(fù)方法.基于近似消息傳遞框架，對AMP迭代濾波圖像進行噪聲方差估計，根據(jù)噪聲方差大小自適應(yīng)調(diào)整圖像分塊的大小以及相似塊組的規(guī)模來構(gòu)建低秩矩陣，并對其采用加權(quán)奇異值軟閾值處理實施低秩逼近，將相似塊組在像素域的去噪逼近轉(zhuǎn)化為對奇異值的軟閾值濾波實現(xiàn)，不僅提高了對不同圖像塊組濾波的自適應(yīng)性，也更好地刻畫了圖像的非局部自相似特征，保留了組內(nèi)圖像塊之間的細微差異.實驗仿真結(jié)果驗證了該方法有效性.

1 相關(guān)工作

1.1 基于AMP的圖像CS重構(gòu)

近似消息傳遞是一種基于消息傳遞機制的迭代閾值信號恢復(fù)方法，具有快速收斂性和非線性求解能力.針對圖像CS信號重構(gòu)，該方法具有明顯優(yōu)勢.對于式(1)壓縮感知信號重構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用于圖像CS重構(gòu)時，根據(jù)AMP算法理論，可以用迭代公式求解表示如下

(2)

(3)

若令qt=xt+AT×zt，根據(jù)AMP算法特性，qt可以近似看成是被加性高斯白噪聲污染的含噪原圖像，可表示為qt=x+nt，其中nt∈RN符合零均值高斯分布.則基于AMP重構(gòu)CS圖像x的迭代公式可轉(zhuǎn)化為如下式.

(4)

(5)

1.2 噪聲水平估計

噪聲水平是圖像處理領(lǐng)域(如，圖像去噪、圖像分割和超分辨率等)中的重要參數(shù).實際應(yīng)用中，特定圖像的噪聲水平可能無法獲取，因而需要進行估計.目前廣泛用于圖像恢復(fù)的重要噪聲模型是加性高斯白噪聲，對于給定的一幅噪聲圖像，噪聲水平估計的目標就是近似獲取其附加的高斯噪聲的標準差σ.

對于觀測到的噪聲圖像I∈M×N，借鑒文獻[9]提出的方法可以精確的獲取其估計值，具體步驟如下.

2 自適應(yīng)低秩去噪的AMP圖像CS恢復(fù)

2.1 改進的自適應(yīng)圖像低秩去噪算法

在圖像獲取與傳輸過程中，噪聲的干擾是不可避免的，如何去除這些噪聲是圖像恢復(fù)領(lǐng)域的重要部分.圖像去噪具體來說就是求解一個逆問題，利用有效的圖像先驗?zāi)軌蛱嵘謴?fù)圖像的質(zhì)量.針對以往固定基變換不能很好處理圖像不同區(qū)域細節(jié)紋理的問題，近年來，利用圖像的非局部低秩先驗，對圖像不同部分自適應(yīng)稀疏表示的方法，取得了顯著的去噪成效.

如何更有效地獲取相似程度高的非局部相似塊組是低秩去噪的關(guān)鍵.盡管目前的低秩去噪算法取得了很好的去噪性能，但是實際應(yīng)用中，該算法在對一幅隨機圖像執(zhí)行去噪時，由于圖像受到的噪聲污染程度是未知的，因而很難對其噪聲方差進行準確估計，相應(yīng)的低秩矩陣構(gòu)建影響參數(shù)只能憑借經(jīng)驗設(shè)定，然而憑借經(jīng)驗得到的噪聲方差并不精確，導(dǎo)致實際去噪后的效果不理想.并且在噪聲水平不確定的情況下，為了得到更好的去噪效果，只能通過多次實驗進行比較得到，所付出的時間成本相對較大.

為了更加快速有效地獲取低秩矩陣構(gòu)建的影響參數(shù)，進而實現(xiàn)自適應(yīng)低秩去噪.考慮到不同噪聲水平下圖像塊大小以及相似圖像塊個數(shù)對低秩去噪性能的影響，從圖像數(shù)據(jù)集庫中選取多幅自然圖像進行實驗統(tǒng)計，獲取不同噪聲環(huán)境下更優(yōu)的低秩矩陣構(gòu)建方法.具體實驗時，對干凈圖像進行加噪處理后實施不同分塊以及不同相似塊個數(shù)進行低秩去噪實驗，觀測最終達到最佳峰值信噪比(Peak Signal-to-NoiseRatio，PSNR)時的這兩類參數(shù)設(shè)定.實驗中，發(fā)現(xiàn)一定范圍內(nèi)的噪聲標準差變化對圖像PSNR的影響微弱，因此給出分段噪聲情況下最佳參數(shù)設(shè)定如表1所示.

表1 分段噪聲標準差下圖像低秩去噪最佳塊大小以及相似塊個數(shù)Tab.1 Low-rank image denoising optimal block size and number of similar blocks under standard deviation of section noises

根據(jù)以上分析，提出一種改進的低秩去噪算法.利用1.2節(jié)噪聲估計方法，對含噪圖像進行噪聲估計，并按照噪聲水平分配塊大小以及相似塊個數(shù)，快速自適應(yīng)地獲取最優(yōu)低秩矩陣構(gòu)建的影響參數(shù)，然后，通過塊匹配搜尋噪聲圖像的非局部相似塊，構(gòu)建具有低秩特性的非局部相似塊組，并通過求解該低秩矩陣自適應(yīng)稀疏表示進行低秩逼近，實現(xiàn)去噪.

(6)

(7)

(8)

c2=σi(Yj)-ε,c2=(σi(Yj)+ε)2-4C.

通過將上述步驟應(yīng)用到每個分塊并將所有處理后的分塊組合，然后對重疊的圖像塊求平均，圖像X就能被復(fù)原，并多次迭代獲取更佳的去噪圖像.

2.2 提出的CS圖像重構(gòu)方法

輸入 測量矩陣A∈RM×N，測量向量y=Ax+ω∈RM，迭代次數(shù)m.

初始化 令x0=0,z0=y.

迭代運行

(1)CS反投影計算含噪圖像qt-1=xt-1+AT×zt-1；

(4)隨機生成N維變量b=randn(1,N)∈N(0,1)，

(5)求去噪函數(shù)的散度

(7)殘差更新zt=y-Axt+Onsagert；

結(jié)束迭代

3 實驗結(jié)果與分析

為了驗證本文方法的重構(gòu)性能，分別在有、無測量噪聲(對測量值進行加噪)情況下將本方法與BM3D-AMP、TV-AMP、NLM-AMP、LR-AMP四種方法進行CS重構(gòu)仿真比較.選取常用的自然圖像(大小為128×128像素的灰度圖像)作為測試圖像，以PSNR作為算法重構(gòu)性能的衡量.

實驗中，將本文方法迭代次數(shù)設(shè)定為20次.根據(jù)AMP每次迭代濾波逆投影輸入圖像的噪聲標準差估計，對含噪圖像進行自適應(yīng)低秩去噪處理.對于LR-AMP算法，其在AMP濾波去噪階段，采用固定的塊大小和相似塊數(shù)目，本文方法采用表1中最優(yōu)參數(shù)進行低秩矩陣構(gòu)建.其余參數(shù)設(shè)置與自適應(yīng)低秩去噪算法相同，塊間距step=5，搜索窗的尺寸為30×30，松弛參數(shù)δ=0.1，縮放因子γ=0.58.仿真計算機的硬件配置為Intel(R)Core(TM)i7-6700 CPU，3.40 GHz 主頻，軟件環(huán)境為64位Windows7操作系統(tǒng)下的Matlab 2015a.

首先，五種方法在無測量噪聲情況下，分別在測量率為0.1/0.2/0.3時進行仿真實驗.五種重構(gòu)方法的圖像恢復(fù)質(zhì)量PSNR比較結(jié)果如表2所示.實驗結(jié)果比對可見，不同采樣率下，本文方法的值基本上最高，證明本文方法具有更好的客觀重構(gòu)性能，也說明改進的自適應(yīng)低秩去噪算法能夠有效提升本文方法的重構(gòu)性能.由表中平均值可以發(fā)現(xiàn)，本文方法比TV-AMP、NLM-AMP、BM3D-AMP、LR-AMP方法PSNR分別提高了6.67、5.44、1.32和0.28dB，驗證了本文方法的有效性.

表2 不同采樣率下各種方法PSNR結(jié)果比較Tab.2 Comparison of PSNR results of various algorithms at different sampling rates

圖1對Leaves重構(gòu)圖像局部進行放大處理，可以觀察到，相比TV-AMP重構(gòu)，結(jié)合圖像非局部相似性的重構(gòu)方法均取得了較好的重構(gòu)效果.由TV-AMP重構(gòu)局部放大(圖1(b))可以明顯看到過平滑現(xiàn)象，在幾種采用非局部相似性的重構(gòu)方法中，NLM-AMP利用非局部相似塊的均值來估計當(dāng)前像素塊，這種估計放大會帶來振鈴效應(yīng)，因此重構(gòu)圖像邊緣紋理較為模糊.而BM3D-AMP利用圖像的非局部相似性先驗，雖然重構(gòu)效果較好，但仍不能精確重構(gòu)原圖像，而LR-AMP和本文方法采用非局部低秩先驗來自適應(yīng)估計相似塊組，對細節(jié)處理較好，并且本文方法采用自適應(yīng)策略，能夠進一步保留有效信息，因而具有更好的主觀視覺效果.

圖1 測量率為0.3 時Leaves圖像的重構(gòu)質(zhì)量比較Fig.1 Comparison of reconstruction quality of leaves image at a measurement rate of 0.3

進而，為了驗證本文方法在有測量噪聲情況下的魯棒性，由于篇幅限制，僅給出五種方法在采樣率為0.2時含噪情況下的重構(gòu)性能比較如表3所示.與無噪觀測相比，存在噪聲干擾測量值時，各種方法的PSNR都有所降低，但本文方法的值繼續(xù)保持最高，驗證了本文方法的抗噪聲干擾性能.同時由表中平均值數(shù)據(jù)可知，在測量率為0.2時，本文方法比TV-AMP、NLM-AMP、BM3D-AMP、LR-AMP算法PSNR分別提高了3.04、2.52、0.54和0.15dB，驗證了本文方法的魯棒性.

表3 測量率0.2時，不同噪聲標準差情況下圖像重構(gòu)PSNR比較Tab.3 Comparison of image reconstruction PSNR under different noise standard deviations when the measurement rate is 0.2

圖2 測量率為0.2、噪聲標準差為20時Leaves圖像的重構(gòu)圖像比較Fig.2 Comparison of reconstructed images of lefts images with a measurement rate of 0.2 and noise standard deviation of 20

圖2從主觀視覺角度比較本文方法與其他四種方法在外加測量噪聲情況下重建圖像的效果.在外加測量噪聲標準差20、測量率0.2情況下重構(gòu)Leaves圖像，TV-AMP、NLM-AMP重構(gòu)圖像較差，LR-AMP重構(gòu)圖像視覺效果優(yōu)于BM3D-AMP,本文方法實現(xiàn)較好的重構(gòu)效果，同時從局部放大可以看出，本文方法較LR-AMP有較好的細節(jié)重構(gòu)性能.

圖3(a)和(b)分別給出了在采樣率為0.3、無觀測噪聲時對House圖像重構(gòu)以及在采樣率為0.2、觀測噪聲標準差為20時對Barbara圖像重構(gòu)得到的PSNR～迭代次數(shù)曲線圖.幾種基于AMP的方法都有較好的收斂性，本文方法在基于AMP框架的基礎(chǔ)上結(jié)合圖像低秩特性以及自適應(yīng)策略實現(xiàn)了收斂性和重構(gòu)質(zhì)量PSNR雙重性能保障.

最后，給出五種方法運行時間的比較，實驗結(jié)果如表4所示.由表中可以看出，BM3D-AMP在不同采樣率下運行時間最少，這是因為該方法運用的BM3D濾波算法采用c語言編譯，速度快.本文方法在低秩矩陣的奇異值分解上耗時較大，因而在運行時間上優(yōu)勢不足，但對于實際應(yīng)用中著重重構(gòu)質(zhì)量的情況，該方法有明顯優(yōu)勢.

圖3 5種算法對兩幅圖像重構(gòu)得到的PSNR～迭代次數(shù)曲線圖Fig.3 PSNR ～ iterations curves of five algorithms for Barbara image reconstruction

平均運算時間0.10.20.3TV-AMP30.646.243.4NLM-AMP45.447.742.3BM3D-AMP14.515.614.9LR-AMP175.2168.4172.7本文方法165.7168.5160.6

4 結(jié)語

針對自然圖像壓縮感知恢復(fù)問題，提出一種自適應(yīng)低秩去噪的近似消息傳遞CS圖像重構(gòu)方法.將利用圖像非局部相似性先驗的低秩去噪算法作為AMP迭代濾波的去噪函數(shù)，實現(xiàn)圖像CS重構(gòu)；并研究不同噪聲大小圖像進行自適應(yīng)低秩矩陣構(gòu)造來實現(xiàn)更優(yōu)圖像重建，自適應(yīng)濾出AMP迭代噪聲，最終提升CS圖像重構(gòu)質(zhì)量.實驗結(jié)果表明，該方法的圖像重構(gòu)性能優(yōu)于BM3D-AMP等，對圖像非平穩(wěn)部分恢復(fù)較好.