黃 星，何標(biāo)濤，王 濤，王建暉

(廣州大學(xué) 機(jī)械與電氣工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

球桿系統(tǒng)是高?？刂茖?shí)驗(yàn)室常見(jiàn)的設(shè)備，是安全性較高的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，通常用來(lái)檢驗(yàn)控制方法的效果，是經(jīng)典控制方法與現(xiàn)代控制方法的理想研究對(duì)象[1-4]。近幾年來(lái)，很多學(xué)者對(duì)球桿系統(tǒng)作了大量的研究，并從不同的角度提出了控制器的設(shè)計(jì)方法，主要有PID控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制和模糊控制等。其中PID控制器以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、對(duì)模型誤差具有魯棒性以及易于操作等特點(diǎn)，得到了廣泛的應(yīng)用。

在廣泛的實(shí)際應(yīng)用中，發(fā)現(xiàn)上述方法存在局限性，主要表現(xiàn)在系統(tǒng)難以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間穩(wěn)定，且對(duì)強(qiáng)干擾過(guò)程難以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制，從而無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的高精度控制，甚至導(dǎo)致控制系統(tǒng)崩潰。而工業(yè)系統(tǒng)中，有限時(shí)間穩(wěn)定性能和抗擾動(dòng)性能無(wú)疑是十分重要的，因此針對(duì)有限時(shí)間穩(wěn)定和抗擾動(dòng)性能的研究是非常具有實(shí)際意義的工作。

本文首先對(duì)球桿系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和分析，設(shè)計(jì)出有限時(shí)間穩(wěn)定控制器，然后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證有限時(shí)間穩(wěn)定控制方法的擾動(dòng)性能，最后與PID控制進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證有限時(shí)間穩(wěn)定控制方法的有效性和可行性。

1 球桿系統(tǒng)的建模與分析

球桿系統(tǒng)的機(jī)械部分主要由鋼制支架、底座、小球、平衡桿、帶輪、電機(jī)等部分組成[5]，其閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 球桿系統(tǒng)閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Closed-loop control structure of the Ball&beam system

圖1中，實(shí)時(shí)控制電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)使帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)，帶輪再帶動(dòng)機(jī)械結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，從而控制小球在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)[6]。具體地說(shuō)，基于讓小球在導(dǎo)軌上穩(wěn)定運(yùn)行的目的，對(duì)直流伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)速與方向進(jìn)行控制以實(shí)現(xiàn)對(duì)帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)的控制，從而帶動(dòng)機(jī)械結(jié)構(gòu)控制導(dǎo)軌的傾斜程度，進(jìn)而達(dá)到對(duì)小球穩(wěn)定運(yùn)行的精準(zhǔn)控制。

球桿系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)示意圖如圖2所示。通常直流伺服電機(jī)所帶的增量式碼盤(pán)可以測(cè)量電機(jī)的實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)位置，而小球的實(shí)際位置則是通過(guò)導(dǎo)軌上的電阻傳感器測(cè)量，并進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)換計(jì)算得出。圖2中，電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)θ角度，帶輪又帶動(dòng)連桿運(yùn)動(dòng)，使得導(dǎo)軌產(chǎn)生α角度的偏轉(zhuǎn)，從而導(dǎo)致小球在導(dǎo)軌上滾動(dòng)。

圖2 球桿系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.2 Motion diagram of the Ball&beam system

圖2中，連桿與帶輪連接處的中心點(diǎn)與帶輪中心點(diǎn)的距離記為d,mm；連桿與帶輪連接處的中心點(diǎn)與帶輪幾何中心點(diǎn)的連線與水平線的夾角記為θ,(°)，在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中θ的大小有一定的范圍限制；連桿與導(dǎo)軌的連接點(diǎn)與導(dǎo)軌固定點(diǎn)之間的距離記為L(zhǎng)，mm。在忽略一些部件構(gòu)成因素的情況下，利用經(jīng)典力學(xué)理論建立球桿系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，近似得出導(dǎo)軌的傾斜角度α與帶輪轉(zhuǎn)角θ間關(guān)系如下：

(1)

因此，通過(guò)控制帶輪上齒輪的轉(zhuǎn)角θ，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)小球位置的控制。球桿系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)原理就是通過(guò)控制直流伺服電機(jī)達(dá)到對(duì)帶輪轉(zhuǎn)角θ的精確調(diào)整，實(shí)現(xiàn)對(duì)小球位置的精確控制[7]。

對(duì)球桿系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，得出小球運(yùn)動(dòng)與其自身重力、慣量、導(dǎo)軌的轉(zhuǎn)角α、自身的位移r之間的關(guān)系如下：

(2)

由于所建模型不需要很精確，且α的期望在0附近，故在0附近對(duì)α進(jìn)行線性化，得

sinα≈α,

(3)

因此，方程(2)可以近似簡(jiǎn)化為：

(4)

將式(1)帶入式(4)，可得

(5)

式中，小球在導(dǎo)軌上的實(shí)際位移r是系統(tǒng)的實(shí)際輸出量，帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ是控制的輸入量[8-10]。

2 有限時(shí)間穩(wěn)定控制器設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程描述

根據(jù)式(5)，定義如下變量：

由上述定義可得

(6)

(7)

因此，控制器可以設(shè)計(jì)為:

u=-k1signy1|y1|α1-k2signy2|y2|α2

(8)

2.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

球桿系統(tǒng)要具有有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定的特性和魯棒性的要求。現(xiàn)對(duì)有限時(shí)間內(nèi)球桿系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行證明，過(guò)程如下：

選擇Lyapunov函數(shù)如下：

(9)

對(duì)式(9)的Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)，可得

k1sign(y1|y1|α1y2+

y2(-k1signy1|y1|α1-k2signy2|y2|α2)=

-k2signy2|y2|α2y2=

-k2|y2|1+α2

(10)

k2signy2|y2|α2

(11)

令

g1(t)=-k1signy1|y1|α1y1=

-k1|y1|1+α1

(12)

根據(jù)齊次系統(tǒng)定義，系統(tǒng)的向量場(chǎng)滿足

f(φλ1y1,φλ2y2)=

(13)

由此可得

(14)

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 球桿系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定控制模型仿真搭建

球桿系統(tǒng)模型可以描述如式(5)所示，即

對(duì)球桿系統(tǒng)模型分析后可得式(8)形式的有限時(shí)間控制器，即

u=-k1signy1|y1|α1-k2signy2|y2|α2

在Simulink中使用相應(yīng)模塊并調(diào)整參數(shù)搭建球桿系統(tǒng)仿真模型，如圖3所示。

3.2 傳統(tǒng)PID控制與有限時(shí)間穩(wěn)定控制的對(duì)比分析

3.2.1 未加擾動(dòng)分析

對(duì)圖3的模型運(yùn)行后得到傳統(tǒng)的PID控制與有限時(shí)間穩(wěn)定控制的響應(yīng)曲線對(duì)比,如圖4所示。

圖3 未加入擾動(dòng)時(shí)有限時(shí)間穩(wěn)定控制的Simulink仿真圖Fig.3 Simulink simulation diagram of undisturbance finite time stability control

對(duì)圖4的響應(yīng)曲線作誤差分析，得到圖5所示的誤差分析曲線。

分析圖4、圖5可知：傳統(tǒng)PID控制與有限時(shí)間穩(wěn)定控制相比，有限時(shí)間穩(wěn)定控制幾乎沒(méi)有超調(diào)量，且能夠讓系統(tǒng)在更短的時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，控制誤差范圍更小，符合對(duì)于有限時(shí)間穩(wěn)定控制優(yōu)勢(shì)的理論分析。

3.2.2 加擾動(dòng)分析

對(duì)已搭建好的模型穩(wěn)定運(yùn)行300 s后加入擾動(dòng)d(t)=20sint+20cost。加入擾動(dòng)后，有限時(shí)間穩(wěn)定控制和PID控制在Simulink上的仿真模型分別如圖6、圖7所示。

圖4 未加入擾動(dòng)的響應(yīng)曲線Fig.4 Undisturbance response curve graph

圖5 未加入擾動(dòng)的誤差曲線Fig.5 Undisturbance response error curve graph

圖6 加入擾動(dòng)后有限時(shí)間穩(wěn)定控制的Simulink仿真圖Fig.6 Simulink simulation diagram of add disturbance finite time stability control

圖7 加入擾動(dòng)后PID控制的Simulink仿真圖Fig.7 Simulink simulation diagram of add disturbance PD control

圖8 加入擾動(dòng)響應(yīng)曲線Fig.8 Add disturbance response curve graph

圖9 加入擾動(dòng)誤差曲線Fig.9 Add disturbance response error curve graph

運(yùn)行后得到傳統(tǒng)的PID控制與有限時(shí)間穩(wěn)定控制的響應(yīng)對(duì)比曲線如圖8所示。

對(duì)圖8的響應(yīng)曲線作誤差分析，得到圖9所示的誤差分析曲線。

由圖8、圖9可以看出：加入擾動(dòng)后，PID控制系統(tǒng)出現(xiàn)輕微的振動(dòng)，其振動(dòng)變化幅度比有限時(shí)間穩(wěn)定控制的更大，即有限時(shí)間穩(wěn)定控制方法具有更強(qiáng)的抗干擾能力，符合有限時(shí)間穩(wěn)定控制方法優(yōu)勢(shì)的理論分析。

4 結(jié)論

針對(duì)現(xiàn)有球桿系統(tǒng)控制方法在有限時(shí)間穩(wěn)定和抗干擾能力上的不足，提出一種有限時(shí)間穩(wěn)定控制的方法?；谝延械那驐U系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析，建立球桿系統(tǒng)的簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型；結(jié)合相應(yīng)的控制理論，設(shè)計(jì)出有限時(shí)間穩(wěn)定控制器；最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)有限時(shí)間穩(wěn)定控制和PID控制在加入擾動(dòng)前后的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，有限時(shí)間穩(wěn)定控制方法能夠讓系統(tǒng)在更短的時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，同時(shí)提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。因此，有限時(shí)間穩(wěn)定控制方法在球桿系統(tǒng)上表現(xiàn)出的優(yōu)異控制性能，能夠滿足現(xiàn)代工業(yè)系統(tǒng)在短時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定且具有較強(qiáng)抗干擾能力的需求，即對(duì)有限時(shí)間穩(wěn)定控制方法的研究具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。