李浩東

摘 要：傳統(tǒng)的衛(wèi)星姿態(tài)控制算法未考慮到撓性部件對(duì)衛(wèi)星本體姿態(tài)的影響（例如太陽能帆板的振動(dòng)），為削弱這一不利影響，基于對(duì)衛(wèi)星三軸姿態(tài)控制的研究，本文建立了衛(wèi)星的數(shù)學(xué)模型并設(shè)計(jì)了一種考慮了撓性附件影響的PID控制系統(tǒng)。最后對(duì)PID控制器進(jìn)行了MATLAB仿真，仿真結(jié)果表明，該P(yáng)ID控制系統(tǒng)對(duì)具有撓性附件影響的衛(wèi)星的姿態(tài)有很好的姿態(tài)控制效果。

關(guān)鍵詞：三軸衛(wèi)星;撓性太陽能帆板;PID控制

自1957年10月4日，世界上第一顆人造地球衛(wèi)星"斯普特尼克一號(hào)"發(fā)射升空后，世界衛(wèi)星事業(yè)蓬勃發(fā)展，至今已發(fā)射了約6600顆人造地球衛(wèi)星，應(yīng)用十分廣泛。隨著衛(wèi)星功能的日益強(qiáng)大，星載設(shè)備愈來愈多，衛(wèi)星正不可避免的向大型化的方向發(fā)展。為了滿足衛(wèi)星的動(dòng)力需求、更好的利用衛(wèi)星，衛(wèi)星上往往帶有大型撓性太陽能帆板、撓性天線等撓性附件，屬于一種撓性多體結(jié)構(gòu) [1]。

撓性附件具有結(jié)構(gòu)大、質(zhì)量輕、剛度柔的特點(diǎn)[2]，在衛(wèi)星調(diào)整其姿態(tài)時(shí)，控制力在改變衛(wèi)星的位置與姿態(tài)的同時(shí)還可能造成撓性附件振動(dòng)、多體運(yùn)動(dòng)、液體晃動(dòng)與內(nèi)外擾動(dòng)等影響，這些預(yù)期之外的作用會(huì)與衛(wèi)星剛性本體的姿態(tài)控制發(fā)生耦合從而增大了衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和受到的干擾力矩[3]。但是傳統(tǒng)的剛性衛(wèi)星在其三軸控制系統(tǒng)中未考慮到這樣的問題，導(dǎo)致將帶有撓性附件的衛(wèi)星?；癁閯傮w得到的控制律并不能正確控制衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)行為，并且，撓性體的振動(dòng)速率與大范圍剛體運(yùn)動(dòng)的速率呈正比例關(guān)系，當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)速率大于等于某一值時(shí)，傳統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型的誤差較大，甚至完全錯(cuò)誤[4]。下面介紹一個(gè)典型例子：

1958年，美國(guó)第一顆人造衛(wèi)星“探險(xiǎn)者一號(hào)”終于在“先鋒號(hào)”的失敗后成功發(fā)射，舉國(guó)歡慶。殊不知，由于該衛(wèi)星入軌自旋穩(wěn)定后懸在星體外面的四根鞭狀天線的彈性振動(dòng)，造成系統(tǒng)的機(jī)械能部分轉(zhuǎn)化為熱能，最終衛(wèi)星姿態(tài)失穩(wěn)導(dǎo)致翻滾。之后，又有越來越多由于傳統(tǒng)衛(wèi)星控制率的缺陷致使衛(wèi)星姿態(tài)控制失穩(wěn)的事件發(fā)生[5]。

1999年，繆炳祺等在論文中詳細(xì)介紹了撓性航天器動(dòng)力學(xué)在二十世紀(jì)的發(fā)展史[6];2016年，張?zhí)旌赵谡撐闹性敿?xì)闡述了對(duì)剛性衛(wèi)星、帶有撓性簇附件的衛(wèi)星與撓性鏈附件的衛(wèi)星的模塊化建模問題并提出了對(duì)撓性附件動(dòng)力學(xué)模型的修正[7]。目前，帶有撓性附件的衛(wèi)星的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)建模的問題已基本得到解決。其實(shí)，撓性振動(dòng)等影響不僅是姿態(tài)控制的干擾，還是受控衛(wèi)星特性的一部分[8]，而傳統(tǒng)剛性衛(wèi)星再設(shè)計(jì)控制率時(shí)忽略了這一特性，導(dǎo)致實(shí)際應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)了姿態(tài)誤差，對(duì)于這樣的姿態(tài)控制問題的研究，方興未艾。并且我們知道，衛(wèi)星的正常工作在滿足軌道條件外往往還須要保持一個(gè)穩(wěn)定的姿態(tài)，例如天文衛(wèi)星的望遠(yuǎn)鏡的朝向、資源偵察衛(wèi)星的拍攝機(jī)和通信廣播衛(wèi)星的天線要對(duì)準(zhǔn)地球等[9]。

為削弱撓性附件對(duì)衛(wèi)星本體姿態(tài)的影響，本文通過引入對(duì)撓性太陽能帆板的有限元分析，對(duì)剛性三軸衛(wèi)星的模型進(jìn)行了修訂，構(gòu)建了一個(gè)具有撓性太陽能帆板物理影響的三軸衛(wèi)星數(shù)字模型，同時(shí)設(shè)計(jì)了PID控制器，通過MATLAB仿真表明，該控制器對(duì)上述衛(wèi)星模型進(jìn)行了有效控制。

一、衛(wèi)星模型與姿態(tài)控制流程

本文構(gòu)建的衛(wèi)星模型（圖1）包括衛(wèi)星本體、撓性太陽能帆板等。并且建立了衛(wèi)星的本體坐標(biāo)系（原點(diǎn)o與衛(wèi)星的質(zhì)心重合）。由于衛(wèi)星繞x軸旋轉(zhuǎn)為滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng);繞y軸旋轉(zhuǎn)為俯仰運(yùn)動(dòng);繞z軸旋轉(zhuǎn)為偏航運(yùn)動(dòng)，故x軸為滾轉(zhuǎn)軸;y軸為俯仰軸;z軸為偏航軸。

在建模、控制器設(shè)計(jì)與仿真時(shí)，本文把衛(wèi)星的本體（不包括撓性太陽能帆板）模化為剛體。而實(shí)際中，衛(wèi)星本體并不只是一個(gè)簡(jiǎn)單的剛體，還有、燃料、天線等撓性體，這些撓性體都會(huì)對(duì)衛(wèi)星的姿態(tài)控制產(chǎn)生影響。

本文采用以三軸期望姿態(tài)為輸入，實(shí)際姿態(tài)為反饋的衛(wèi)星閉環(huán)控制模型。具體如圖2所示：

圖中：

A：三維矩陣形式的三軸姿態(tài)指令，即我們對(duì)衛(wèi)星的期望姿態(tài)（給定值）。

B：敏感器（測(cè)量元件）測(cè)量到的衛(wèi)星實(shí)際姿態(tài)數(shù)據(jù)（包含敏感器的誤差）。

C：期望姿態(tài)與衛(wèi)星敏感器敏感到的實(shí)際姿態(tài)間的姿態(tài)誤差，可以表示為：C=A-B。

D：根據(jù)姿態(tài)誤差，通過PID控制器的運(yùn)算，得到的控制指令，作為姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸入。

E：執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出的控制力矩，也是衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型的輸入。

F：衛(wèi)星的真實(shí)姿態(tài)，是衛(wèi)星敏感器的輸入，也是閉環(huán)控制系統(tǒng)的被控量。

在輸入三軸期望姿態(tài)指令后，PID控制器會(huì)根據(jù)期望值與敏感器得到的實(shí)際姿態(tài)間的誤差姿態(tài)，計(jì)算輸出三軸控制指令，三軸控制指令會(huì)輸入姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)，并由執(zhí)行機(jī)構(gòu)產(chǎn)生相應(yīng)方向的控制力矩。這些控制力矩是衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型的輸入，并由動(dòng)力學(xué)模型得到衛(wèi)星真實(shí)姿態(tài)。這時(shí)，衛(wèi)星的姿態(tài)敏感器會(huì)對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)的各方面數(shù)據(jù)（如偏轉(zhuǎn)角）進(jìn)行精確的測(cè)量，隨后得出衛(wèi)星實(shí)際的姿態(tài)數(shù)據(jù)（包含測(cè)量誤差）。將期望姿態(tài)與敏感器得到的實(shí)際姿態(tài)進(jìn)行比較，計(jì)算出姿態(tài)誤差并根據(jù)此誤差進(jìn)行新一輪的控制，直到預(yù)期姿態(tài)與實(shí)際姿態(tài)間的姿態(tài)誤差滿足一定的范圍，達(dá)到期望的姿態(tài)。

二、衛(wèi)星敏感器

在衛(wèi)星的閉環(huán)控制流程中，衛(wèi)星姿態(tài)敏感器肩負(fù)著測(cè)量衛(wèi)星的真實(shí)姿態(tài)并得到三軸姿態(tài)數(shù)據(jù)的任務(wù)，即輸入F（衛(wèi)星的真實(shí)姿態(tài)）輸出B（實(shí)際姿態(tài)數(shù)據(jù)）（圖2），是至關(guān)重要的一環(huán)。本文列出并比較了幾種常見的衛(wèi)星姿態(tài)敏感器（表一）。

為了更好地敏感衛(wèi)星的真實(shí)姿態(tài)，滿足衛(wèi)星對(duì)姿態(tài)敏感的要求，在同一個(gè)航天器上往往把多種敏感器進(jìn)行組合，以綜合不同敏感器的不同優(yōu)點(diǎn)。本文也進(jìn)行了組合： 以數(shù)字式太陽敏感器為主要的敏感裝置，將激光諧振式陀螺儀作為備份。由于數(shù)字式太陽敏感器能夠避免太陽能帆板等反射的太陽光干擾，而且功耗低、精度高、壽命長(zhǎng)，故可以持續(xù)地對(duì)衛(wèi)星的真實(shí)姿態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量，使誤差在可控范圍之內(nèi)。但是，當(dāng)衛(wèi)星處在地球陰影區(qū)時(shí)，此敏感器無法接受到來自太陽的信號(hào)，無法工作，使閉環(huán)系統(tǒng)無法運(yùn)行。然而，當(dāng)這種情況發(fā)生時(shí)，我們將使用激光諧振式陀螺儀。該敏感器精度高、壽命長(zhǎng)、重復(fù)性好、動(dòng)態(tài)范圍寬，也可以持續(xù)而準(zhǔn)確地進(jìn)行測(cè)量，并且很好的彌補(bǔ)了數(shù)字式太陽敏感器無法在地球陰影區(qū)工作的不足。所以，我們將數(shù)字太陽敏感器和激光陀螺儀進(jìn)行組合。

三、衛(wèi)星的執(zhí)行機(jī)構(gòu)

在閉環(huán)控制流程中，衛(wèi)星的執(zhí)行機(jī)構(gòu)是衛(wèi)星姿態(tài)控制力矩的具體執(zhí)行者。在得到由PID控制器計(jì)算出的三軸指令后，執(zhí)行機(jī)構(gòu)會(huì)根據(jù)該指令輸出控制力矩，對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)進(jìn)行控制，讓衛(wèi)星姿態(tài)向給定值靠近。表二列出了幾種執(zhí)行機(jī)構(gòu)并對(duì)他們進(jìn)行了比較。

和衛(wèi)星的姿態(tài)敏感器一樣，為了追求更好的姿態(tài)控制效果，輸出更準(zhǔn)確的控制力矩以及更長(zhǎng)的衛(wèi)星在輪工作時(shí)間，在同一個(gè)航天器上往往有多個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)組合在一起。本文給出的組合是：以動(dòng)量交換式執(zhí)行機(jī)構(gòu)中的動(dòng)量輪為主要的執(zhí)行裝置，把噴氣推進(jìn)器作為備份。動(dòng)量輪可以不斷地從太陽電池獲得能量，持續(xù)性很好，而且精度穩(wěn)定度高、壽命長(zhǎng)、輕而小、能耗低，在三軸方向上都安裝上動(dòng)量輪后，可以對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行穩(wěn)定而準(zhǔn)確的姿態(tài)控制，性能優(yōu)良。但它并不完美，因?yàn)樵谶\(yùn)行過程中，如果衛(wèi)星受到強(qiáng)的干擾力矩，動(dòng)量輪就容易達(dá)到飽和，這就要求必須有卸載裝置輔助動(dòng)量輪的工作，噴氣推進(jìn)器就扮演著這樣的角色。這樣一來，一般情況下的小范圍擾動(dòng)由動(dòng)量輪負(fù)責(zé)，只有在遇到大范圍擾動(dòng)需要卸載或需要變軌時(shí)才用到噴氣推進(jìn)器，推進(jìn)器的噴氣周期大大延長(zhǎng)，對(duì)氧氣的消耗也大大減少。盡管推進(jìn)器儲(chǔ)備的氣體有限，仍可以使用較長(zhǎng)時(shí)間。所以這樣組合比較合適。

四、有限元分析

有限元分析，是一個(gè)用數(shù)學(xué)方法模擬復(fù)雜的物理系統(tǒng)，求解復(fù)雜問題的工具。將一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)近似成許多簡(jiǎn)單而又相互作用的單元，并通過對(duì)這些單元以及單元間節(jié)點(diǎn)的分析得到整個(gè)系統(tǒng)的模擬結(jié)果。由于實(shí)際上對(duì)許多工程問題的分析難以得到準(zhǔn)確解，而有限元分析可以對(duì)復(fù)雜的系統(tǒng)進(jìn)行高精度的模擬，所以得到了十分廣泛的應(yīng)用。ANSYS是一款功能強(qiáng)大的有限元分析軟件，在此不做詳細(xì)介紹。本文先用CATIA對(duì)衛(wèi)星的尺寸、結(jié)構(gòu)等參數(shù)進(jìn)行了建模，隨后將模型導(dǎo)入ANSYS并輸入衛(wèi)星的模型參數(shù)。ANSYS會(huì)模擬出衛(wèi)星太陽能帆板的28階模態(tài)，但由于其中的低階振動(dòng)不易衰竭影響較大，而高階的很快衰竭，本文只考慮低階振動(dòng)。

五、衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)模型

隨著衛(wèi)星事業(yè)的不斷發(fā)展，衛(wèi)星上附帶的撓性附件逐漸趨向復(fù)雜，系統(tǒng)中的自由度之間不可避免地存在著耦合作用。這種非線性的特點(diǎn)使得衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型的求解非常麻煩，為了簡(jiǎn)化，本文在進(jìn)行建模時(shí)認(rèn)為自由度之間是正交的。

本文用牛頓-歐拉向量力學(xué)建模法并結(jié)合有限元分析進(jìn)行衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)建模。其它常用的方法還有凱恩（Kane）方程等。本文將衛(wèi)星簡(jiǎn)化為一個(gè)帶有撓性太陽能帆板的剛體，建立了如圖3所示的坐標(biāo)系。

圖中：

O1-X1Y1Z1為衛(wèi)星的慣性坐標(biāo)系;

Ob-XbYbZb為衛(wèi)星的本體坐標(biāo)系，其原點(diǎn)是形變前衛(wèi)星整體的質(zhì)心;

Ok-XkYkZk為撓性太陽能帆板的坐標(biāo)系。

Mt是衛(wèi)星整體上n個(gè)質(zhì)點(diǎn)中任意一個(gè)，由于本文將本體視作剛體，Mt處的衛(wèi)星形變位移為零，其在慣性系的位置可以用向量表示。Mk是衛(wèi)星撓性太陽能帆板上m個(gè)質(zhì)點(diǎn)中任意一個(gè)，由于太陽能帆板是撓性體，Mk處存在形變位移，其位置可以用向量表示。Mt、Mk相對(duì)慣性系的線速度為

式中四個(gè)向量的物理意義如圖3所示，表示衛(wèi)星本體的絕對(duì)角速度。由于、一經(jīng)確定即為常量，導(dǎo)數(shù)為零;衛(wèi)星的形變位移在實(shí)際情況下是一個(gè)小量，可認(rèn)為。故（1）（2）式又可以寫成

由（3）（4）得到衛(wèi)星的總動(dòng)量為

式中MA是衛(wèi)星整體的質(zhì)量。由于Ob是形變前衛(wèi)星整體的質(zhì)心，Ob處整星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為零，可得，則（5）式可以寫為? ? ? ?由牛頓第二定律可得

式中是衛(wèi)星受到的總主動(dòng)力。由模態(tài)展開定理可得，其中（i=1，2L）是有限元分析得到的撓性附件的振型矩陣。是撓性附件的模態(tài)坐標(biāo)，由于模態(tài)中的低階振動(dòng)不易衰竭影響較大，而高階的很快衰竭影響較小，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，本文只考慮前三階的振動(dòng)。設(shè)A1為本體系到慣性系的轉(zhuǎn)換矩陣，A2為撓性系到慣性系的轉(zhuǎn)換矩陣，A3為撓性系到本體系的轉(zhuǎn)換矩陣，則（7）式又可以寫為

本文定義是撓性太陽能帆板在慣性坐標(biāo)系中的平動(dòng)耦合系數(shù)，是在撓性系中的平動(dòng)耦合系數(shù)?？傻眯l(wèi)星的平動(dòng)方程為

由于實(shí)際中衛(wèi)星既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)，本文還推導(dǎo)了衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)方程。設(shè)是衛(wèi)星相對(duì)慣性坐標(biāo)系的角動(dòng)量，衛(wèi)星受到的相對(duì)慣性坐標(biāo)系的力矩，則有

約去衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的小量后，化簡(jiǎn)可得到

式中矩陣、（向量積），I是整星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。本文定義是撓性太陽能帆板在慣性坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)動(dòng)耦合系數(shù)，是在撓性系中的平動(dòng)耦合系數(shù)。則衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為

式（10）與（13）即衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)方程。

在實(shí)際的操作中，還要進(jìn)行衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模。這是由于衛(wèi)星姿態(tài)敏感器所測(cè)得的三軸姿態(tài)角及角速度都是相對(duì)衛(wèi)星本體坐標(biāo)系而非慣性系的，所以需要運(yùn)動(dòng)學(xué)模型通過轉(zhuǎn)換矩陣進(jìn)行姿態(tài)的解算將姿態(tài)信息轉(zhuǎn)換到慣性坐標(biāo)系中，以滿足姿態(tài)控制器的要求。

六、衛(wèi)星控制器設(shè)計(jì)

在衛(wèi)星姿態(tài)的控制器方面，本文采用PID控制算法，即比例（P）積分（I）微分（D）控制。其輸入輸出關(guān)系可由式（14）所示。式中是PID控制器的輸出，是輸入，是比例系數(shù)，、分別是積分系數(shù)、微分系數(shù)。

PID是一種應(yīng)用廣泛的控制算法，它簡(jiǎn)單易懂，實(shí)時(shí)性好;雖然它得不到精確的模型，但是精巧、復(fù)雜的設(shè)計(jì)結(jié)果往往并不比簡(jiǎn)單的PID更為優(yōu)越，因?yàn)樾l(wèi)星的姿態(tài)控制需要實(shí)時(shí)性極好的控制器，若要得到精確的模型則需要一定時(shí)間。在PID的使用過程中，參數(shù)的整定是其中的核心步驟，當(dāng)一個(gè)PID控制器完成安裝后，參數(shù)的合適與否直接關(guān)系到系統(tǒng)的性能好壞。

PID參數(shù)整定的常見方法有經(jīng)驗(yàn)法、響應(yīng)曲線法、衰減曲線法、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等[12]。本文采用響應(yīng)曲線法進(jìn)行PID參數(shù)整定，具體步驟如下：1、在MATLAB中斷開閉環(huán)控制的反饋通道，并反復(fù)輸入單位階躍信號(hào)，進(jìn)而得到響應(yīng)曲線。2、曲線中可以得到時(shí)間常數(shù)、延時(shí)時(shí)間系數(shù)、輸入輸出的階躍值和最大值最小值。3、利用相關(guān)公式得到PID的相關(guān)參數(shù)。本文擬定的參數(shù)是KP=0.8824;TI=160;TD=40，在此參數(shù)下，用MATLAB進(jìn)行了衛(wèi)星姿態(tài)角及角速度的仿真，如圖4、圖5所示。

本文模擬的控制時(shí)間為500s左右。衛(wèi)星受到干擾后，衛(wèi)星真實(shí)姿態(tài)角（俯仰角）最大誤差為2°左右，期望值為0°;真實(shí)姿態(tài)角速度（俯仰角）的最大誤差為0.84°/s左右，期望值為0°/s。由上圖可以看出，在控制器的控制下，衛(wèi)星的真實(shí)姿態(tài)角與真實(shí)姿態(tài)角速度都取得了明顯的收斂效果，在450s后，衛(wèi)星的姿態(tài)角與姿態(tài)角速度成功達(dá)到穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)精度分別是（1.3×10-3）°和（2.3×10-5）°/s，由此可見，本文設(shè)計(jì)的PID控制器對(duì)本文設(shè)計(jì)的衛(wèi)星模型有良好的控制效果。

七、結(jié)語

本文的研究?jī)?nèi)容是削弱撓性附件對(duì)衛(wèi)星本體姿態(tài)的影響。首先，本文簡(jiǎn)單介紹了：1、帶有撓性附件的衛(wèi)星模型2、閉環(huán)姿態(tài)控制流程3、常見的衛(wèi)星姿態(tài)敏感器與執(zhí)行機(jī)構(gòu)。隨后，本文針對(duì)撓性太陽能帆板進(jìn)行了有限元分析，并構(gòu)建了一個(gè)考慮到太陽能帆板撓性影響的動(dòng)力學(xué)模型。最后，本文設(shè)計(jì)了一套PID控制器，并在擬定參數(shù)下用MATLAB進(jìn)行了衛(wèi)星姿態(tài)角及角速度的仿真，并取得了良好的姿態(tài)控制效果。由于本文考慮了撓性結(jié)構(gòu)對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)的影響，故本文設(shè)計(jì)的姿態(tài)控制算法具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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