趙強(qiáng)， 湯祁忠， 韓珺禮， 楊明， 陳志華,*

(1. 南京理工大學(xué)瞬態(tài)物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210094； 2. 中國兵器工業(yè)集團(tuán)有限公司導(dǎo)航與控制技術(shù)研究所, 北京 100089；3. 北京機(jī)電研究所, 北京 100083)

作為陸軍主要遠(yuǎn)程壓制武器，遠(yuǎn)程精確制導(dǎo)火箭炮是炮兵對(duì)敵遠(yuǎn)程精確打擊的主要力量。在現(xiàn)代及未來戰(zhàn)爭中，提高火箭炮自身的生存能力至關(guān)重要，其中縮短發(fā)射準(zhǔn)備時(shí)間以提高其快速反應(yīng)能力是最重要的方向之一。因此，在保證一定精度的前提下，研究發(fā)射諸元快速計(jì)算問題顯得尤為重要。

在制導(dǎo)火箭炮發(fā)射前必須對(duì)其發(fā)射諸元進(jìn)行快速裝定，即在給出炮位和目標(biāo)點(diǎn)經(jīng)度、緯度、高程的條件下快速計(jì)算火箭炮的射角和射向[1]。制導(dǎo)火箭彈具有一定的機(jī)動(dòng)能力，能有效克服各種隨機(jī)誤差，如初始發(fā)射誤差、彈體參數(shù)誤差、氣動(dòng)參數(shù)誤差和氣象誤差，因此制導(dǎo)火箭炮的發(fā)射諸元裝定可簡化，不需要輸入實(shí)際氣象文件，除保留藥溫修正外，取消相關(guān)的修正諸元計(jì)算。因此，為進(jìn)一步提高發(fā)射諸元的計(jì)算精度并有效縮短計(jì)算時(shí)間，亟需對(duì)標(biāo)準(zhǔn)氣象條件下發(fā)射諸元的快速計(jì)算方法進(jìn)行研究。

計(jì)算火箭炮發(fā)射諸元的方法有2種：射表法和迭代法。其中，射表法是一種以射表為基礎(chǔ)采用插值或數(shù)據(jù)擬合的方法求解射程對(duì)應(yīng)的基本諸元和修正諸元的處理方法[2]。該方法是目前工程中常用的發(fā)射諸元計(jì)算方法，存在一定的誤差，可在一定范圍內(nèi)滿足精度要求。

迭代法是在迭代初值的基礎(chǔ)上通過多次求解彈道方程組得到發(fā)射諸元的一種計(jì)算方法，該方法可對(duì)任意發(fā)射條件下的發(fā)射諸元進(jìn)行精確計(jì)算。與射表法相比，迭代法的計(jì)算速度較慢，其計(jì)算速度主要取決于彈道模型、迭代初始值和迭代方法。六自由度彈道模型[3]是最為精確的，但在實(shí)際計(jì)算時(shí)必須采用較小的步長，且需要多次迭代計(jì)算，所需的計(jì)算時(shí)間較長，而采用其他的彈道模型又會(huì)造成射角的計(jì)算精度較低，因此，最大限度地減少迭代次數(shù)是提高迭代法計(jì)算速度的關(guān)鍵。在給定彈道模型的條件下，迭代次數(shù)主要取決于迭代初值和迭代方法。對(duì)于迭代初值的選取，一般通過射表法得到，主要采用插值或多項(xiàng)式擬合的方法[2,4]。對(duì)于迭代方法，周珞晶等提出了一種改進(jìn)的迭代計(jì)算方法，該方法可以大幅減少射角計(jì)算所需的迭代修正次數(shù)[5]；趙東華等提出了一種基于二分法求根的射角計(jì)算方法[6],Chusilp等提出了4種迭代方法，并以M107式榴彈的射角計(jì)算為例對(duì)比了4種方法的計(jì)算速度[7]；此外，Charubhun和Chusilp針對(duì)多管火箭炮系統(tǒng)的3種射程與射角的關(guān)系提出了一種利用六自由度彈道方程組和二分法計(jì)算射角的方法[8]。

若不考慮彈體參數(shù)誤差和氣象誤差等隨機(jī)誤差影響，射角和無控彈道側(cè)偏的大小由炮位緯度、炮位高程、射向、射程、目標(biāo)點(diǎn)高程和藥溫等因素確定，且射角、無控彈道側(cè)偏與上述各影響因素間具有高度非線性的函數(shù)關(guān)系。綜合考慮影響發(fā)射諸元的各個(gè)因素，研究一種標(biāo)準(zhǔn)氣象條件下發(fā)射諸元的快速、高精度計(jì)算方法，其計(jì)算結(jié)果既可以直接作為制導(dǎo)火箭炮的裝定諸元，又可以作為發(fā)射簡控和無控火箭彈的火箭炮在實(shí)際氣象條件下迭代彈道方程組時(shí)的初值，具有重要意義。

本文提出了一種基于大樣本數(shù)據(jù)建立射角和無控彈道側(cè)偏代理模型的方法。代理模型是通過對(duì)仿真模型的輸入?yún)?shù)和輸出結(jié)果進(jìn)行擬合而得到的新的數(shù)學(xué)模型，該數(shù)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果可以代替昂貴、耗時(shí)的高精度模型的仿真分析結(jié)果[9]，被廣泛應(yīng)用于實(shí)際的工程優(yōu)化設(shè)計(jì)中[10]。

以某制導(dǎo)火箭炮為例，進(jìn)行了發(fā)射諸元計(jì)算方法的應(yīng)用研究。首先，運(yùn)用拉丁超立方抽樣(Latin Hypercube Sampling,LHS)[11]進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)設(shè)計(jì)，并分別運(yùn)用多項(xiàng)式響應(yīng)面(Polynomial Response Surface，PRS)、Kriging[12]、徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)[13]、最小二乘支持向量機(jī)(Least Squares Support Vector Machine，LSSVM)[14]、超限學(xué)習(xí)機(jī)(Extreme Learning Machine，ELM)[15]和組合代理模型(Ensemble of Surrogate Model，EOSM)，進(jìn)行了基于代理模型的發(fā)射諸元計(jì)算方法研究，建立了射角、無控彈道側(cè)偏與炮位緯度、炮位高程、射向、射程、目標(biāo)點(diǎn)高程及藥溫之間的函數(shù)關(guān)系；其次，以預(yù)測射角為例，統(tǒng)計(jì)了各種代理模型的預(yù)測時(shí)間；然后，為了減小末制導(dǎo)段的舵資源壓力，提出了一種射向修正方法，即通過已建立的無控彈道側(cè)偏與各個(gè)影響因素的函數(shù)關(guān)系預(yù)測無控彈道側(cè)偏，并根據(jù)無控彈道側(cè)偏的預(yù)測值和射程計(jì)算射向的修正角度，同時(shí)對(duì)射向修正法的修正效果進(jìn)行了驗(yàn)證；最后，分析了測試樣本數(shù)量和訓(xùn)練樣本數(shù)量對(duì)預(yù)測精度的影響。

1 代理模型的相關(guān)理論

1.1 多項(xiàng)式響應(yīng)面

多項(xiàng)式響應(yīng)面是一種采用統(tǒng)計(jì)學(xué)回歸分析進(jìn)行函數(shù)擬合的代理模型，具有計(jì)算量小、構(gòu)造簡單、魯棒性良好等特點(diǎn)，在工程產(chǎn)品優(yōu)化設(shè)計(jì)中應(yīng)用較為廣泛。為推導(dǎo)和書寫方便，假定響應(yīng)是一維的，則多項(xiàng)式響應(yīng)面的表達(dá)式為

(1)

1.2 Kriging

Kriging是一種基于統(tǒng)計(jì)理論，充分考慮變量空間相關(guān)特征的插值技術(shù)[12]，包含回歸模型部分和隨機(jī)模型部分：

(2)

式中：f(x)為回歸模型部分，提供全局近似，且通常為多項(xiàng)式函數(shù)；z(x)為隨機(jī)模型部分，提供局部偏差近似，其均值為零，方差為σ2，協(xié)方差為

cov(z(x(i)),z(x(j)))=σ2R(θ,x(i),x(j))

(3)

式中：R(θ,x(i),x(j))為帶有參數(shù)向量θ的相關(guān)函數(shù)，表示訓(xùn)練樣本點(diǎn)x(i)和x(j)之間的空間相關(guān)性。常見的相關(guān)函數(shù)包括立方函數(shù)(Cubic)、指數(shù)函數(shù)(Exp)、高斯函數(shù)(Gauss)、線性函數(shù)(Lin)、球形函數(shù)(Spherical)和樣條函數(shù)(Spline)等。此外，文獻(xiàn)[16]給出了2 種Matern相關(guān)函數(shù)Matern32和Matern52，表達(dá)式分別為

(4)

(5)

1.3 徑向基函數(shù)

徑向基函數(shù)模型是以徑向基函數(shù)為核函數(shù)，并通過線性疊加構(gòu)造出來的模型[13]。正定徑向基函數(shù)模型的基本形式如下：

(6)

在式(6)中添加一個(gè)多項(xiàng)式，即可得到條件正定徑向基函數(shù)模型的表達(dá)式為

(7)

式中：q為徑向基函數(shù)條件正定的階數(shù)；λd為多項(xiàng)式回歸系數(shù)；d為多項(xiàng)式階數(shù)。常見的條件正定基函數(shù)包括單項(xiàng)式函數(shù)(Monomial，MN)、多二次函數(shù)(Multi-Quadric，MQ)和薄板樣條函數(shù)(Thin-Plate Splines，TPS)等。

1.4 最小二乘支持向量機(jī)

支持向量機(jī)是一種建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的VC維理論和結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則基礎(chǔ)上的新的機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)[17]，已成功應(yīng)用于處理非線性回歸和分類等實(shí)際問題。最小二乘支持向量機(jī)是SVM的一種擴(kuò)展[14]，它將不等式約束替代為等式約束，簡化了計(jì)算，具有出色的預(yù)測分析能力。其一般表達(dá)式為

(8)

式中：MS為支持向量的個(gè)數(shù)；γk為權(quán)向量γ的第k個(gè)權(quán)值；K(x,x(k))為核函數(shù)，常見的核函數(shù)包括線性函數(shù)(Lin)、多項(xiàng)式函數(shù)(Polynomial)和高斯函數(shù)(Gauss)等；b為常數(shù)項(xiàng)。

1.5 超限學(xué)習(xí)機(jī)

超限學(xué)習(xí)機(jī)是由黃廣斌等提出的一種新型快速學(xué)習(xí)算法[15]。對(duì)于一個(gè)具有ME個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，表達(dá)式為

(9)

式中：μk為隱含層到輸出層的權(quán)值；g(·)為激活函數(shù)，常用的激活函數(shù)包括徑向基傳遞函數(shù)(Radbas)、Sigmoid函數(shù)(Sigmoid)、正弦函數(shù)(Sine)、雙曲正切函數(shù)(Tanh)和三角形基函數(shù)(Tribas)等；ηk=[ηk1,ηk2,…,ηkn]為輸入層到隱含層的權(quán)值向量；ck為隱含層偏置。

1.6 組合代理模型

組合代理模型，也稱加權(quán)平均代理模型(weighted average surrogate model)，是近似建模領(lǐng)域新的研究熱點(diǎn)，其一般形式為

(10)

計(jì)算權(quán)系數(shù)是構(gòu)建EOSM的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，目前典型的權(quán)系數(shù)計(jì)算方法有最優(yōu)權(quán)系數(shù)法、反比例平均化法和啟發(fā)式計(jì)算法等[18]。本文采用最優(yōu)權(quán)系數(shù)法，該方法將權(quán)系數(shù)的計(jì)算過程看作一個(gè)優(yōu)化問題，使用的優(yōu)化方法是多變異位自適應(yīng)遺傳算法(Multi-Mutation Adaptive Genetic Algorithm，MMAGA)[19]，優(yōu)化變量是單一代理模型的權(quán)系數(shù)ωk，目標(biāo)函數(shù)是最小EOSM的預(yù)測誤差，該優(yōu)化問題表述如下：

(11)

式中：EE和Err{·}分別為EOSM的預(yù)測誤差和誤差測度，并采用均方根誤差作為EOSM的誤差測度；y(x)為x處的真實(shí)響應(yīng)值。

1.7 代理模型預(yù)測精度的評(píng)價(jià)方法

采用最大絕對(duì)誤差(Maximum Absolute Error，MAE)、最大相對(duì)誤差(Maximum Relative Error，MRE)和均方根誤差(Root Mean Squared Error，RMSE)指標(biāo)來衡量代理模型的預(yù)測精度，表達(dá)式分別為

MAE=Max(|Δy1(x)|,

|Δy2(x)|,…,|ΔyNT(x)|)

(12)

MRE=

(13)

(14)

2 發(fā)射諸元計(jì)算方法

2.1 發(fā)射諸元的計(jì)算流程

圖1 基于代理模型的制導(dǎo)火箭炮發(fā)射諸元計(jì)算流程Fig.1 Process for calculating firing data of guided rocket launcher based on surrogate model

基于代理模型的制導(dǎo)火箭炮發(fā)射諸元計(jì)算流程如圖1所示，主要包括射角和無控彈道側(cè)偏的代理模型構(gòu)建、基于代理模型的發(fā)射諸元計(jì)算，其中射角和無控彈道側(cè)偏的代理模型構(gòu)建過程如下：

1) 建立彈道模型。彈道模型直接決定了發(fā)射諸元的計(jì)算精度。本文采用文獻(xiàn)[20]中的六自由度彈道模型，該彈道模型綜合考慮了地球自轉(zhuǎn)及扁率的影響，并結(jié)合多次飛行試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了符合計(jì)算，運(yùn)用該彈道模型得到的仿真結(jié)果與飛行試驗(yàn)結(jié)果高度吻合。

2) 運(yùn)用代理模型建立射角、無控彈道側(cè)偏與炮位緯度B0、炮位高程H0、射向AT、射程XG、目標(biāo)點(diǎn)高程HT、藥溫TS之間的函數(shù)關(guān)系。具體過程包括數(shù)值試驗(yàn)設(shè)計(jì)得到試驗(yàn)數(shù)據(jù)、基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)等進(jìn)行代理模型的選擇和擬合以及檢驗(yàn)代理模型的預(yù)測精度等。

在給出炮位和目標(biāo)點(diǎn)位置信息的情況下，制導(dǎo)火箭炮發(fā)射諸元的計(jì)算步驟如下：

1) 根據(jù)炮位和目標(biāo)點(diǎn)的經(jīng)度、緯度、高程，計(jì)算射程和射向。

2) 根據(jù)炮位緯度、炮位高程、射程、射向、目標(biāo)點(diǎn)高程和藥溫，運(yùn)用已經(jīng)建立的無控彈道側(cè)偏與各個(gè)影響因素之間的函數(shù)關(guān)系，計(jì)算無控彈道側(cè)偏。

3) 根據(jù)射程和無控彈道側(cè)偏，使用射向修正法計(jì)算射向修正量，從而得到修正的射向和射程。

4) 根據(jù)炮位緯度和高程、修正的射向和射程、目標(biāo)點(diǎn)高程、藥溫，運(yùn)用已經(jīng)建立的射角與各個(gè)影響因素之間的函數(shù)關(guān)系，計(jì)算射角。

2.2 各試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的射角和無控彈道側(cè)偏的計(jì)算步驟

各試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的射角和無控彈道側(cè)偏通過反復(fù)迭代六自由度彈道程序得到，計(jì)算步驟如下：

步驟1運(yùn)用二元三點(diǎn)插值法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)氣象條件下給定的射程XG和炮位高程H0對(duì)應(yīng)的射角θ1，并將θ1作為迭代計(jì)算的初值。

步驟2使用六自由度彈道程序計(jì)算θ1對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)氣象條件下的射程X1；并計(jì)算X1與XG的差值ΔX1=XG-X1。

步驟3根據(jù)ΔX1確定射角的迭代步長Δθ1，則第2次迭代的射角θ2=θ1+Δθ1，并使用六自由度彈道程序計(jì)算θ2對(duì)應(yīng)的射程X2。

步驟4按照以下迭代修正公式確定更高精度的射角：

(15)

式中：θk、θk-1和θk-2分別為迭代k、k-1和k-2次得到的射角；Xk-1和Xk-2分別為射角θk-1和θk-2對(duì)應(yīng)的射程?；谑?15)進(jìn)行射角的迭代計(jì)算，在每次迭代計(jì)算中使用六自由度彈道程序計(jì)算射角θk對(duì)應(yīng)的射程Xk，直到|XG-Xk|滿足給定的精度，并將試驗(yàn)點(diǎn)中的XG替換為Xk，同時(shí)輸出射角θk對(duì)應(yīng)的無控彈道側(cè)偏。

在利用式(15)進(jìn)行射角的迭代計(jì)算過程中，若射程XG大于給定的B0、H0、AT、HT、TS條件下的最大射程，則只需在式(15)的基礎(chǔ)上，結(jié)合迭代關(guān)系式θk=θk-1+Δθk-1，將射角迭代到最大射程角，并輸出最大射程角對(duì)應(yīng)的射程和無控彈道側(cè)偏，同時(shí)將試驗(yàn)點(diǎn)中的XG替換為最大射程。

2.3 射向修正法

考慮到地球自轉(zhuǎn)的影響，指向目標(biāo)的遠(yuǎn)程火箭彈的無控彈道會(huì)存在一定的側(cè)偏，且側(cè)偏會(huì)隨著射程和飛行時(shí)間的增加而增大。同時(shí)，由于遠(yuǎn)程火箭彈的氣動(dòng)舵較小，因而能提供的控制力有限。若按照傳統(tǒng)的控制思路，在末制導(dǎo)段進(jìn)行修正有可能導(dǎo)致該段長時(shí)間舵資源飽和，進(jìn)而影響彈體穩(wěn)定和落點(diǎn)精度。為了解決這一難題，提出了一種通過修正射向來減小側(cè)偏的方法。

(16)

(17)

由圖2中的幾何關(guān)系可知：

(18)

∠T2OT=α-∠T1OT2

(19)

(20)

通過射向修正法得到的無控彈道落點(diǎn)(T2)與真實(shí)目標(biāo)點(diǎn)(T)之間的距離在地面坐標(biāo)系下x軸和z軸方向的投影Δx和Δz分別滿足如下關(guān)系：

(21)

(22)

當(dāng)制導(dǎo)火箭彈進(jìn)入末制導(dǎo)段后，以某種導(dǎo)引方法將火箭彈導(dǎo)向目標(biāo)。圖3給出了制導(dǎo)火箭彈在地面坐標(biāo)系中的z軸分量隨時(shí)間的變化關(guān)系。由圖可知，經(jīng)過射向修正可使得地面坐標(biāo)系中的z軸分量在末制導(dǎo)段得到大幅度減小，從而可有效減小末制導(dǎo)段的舵資源壓力。

圖2 射向修正法的原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of target azimuth correction method

圖3 制導(dǎo)火箭彈在地面坐標(biāo)系中的z軸分量隨時(shí)間的變化關(guān)系Fig.3 Variation of z-axis component of guided rocket in ground coordinate system with time

3 仿真分析

基于國際標(biāo)準(zhǔn)大氣(ISO 2533:1975[21])，分別運(yùn)用PRS、Kriging、RBF、LSSVM、ELM和EOSM對(duì)射角和無控彈道側(cè)偏進(jìn)行了預(yù)測，并對(duì)各種代理模型的預(yù)測精度進(jìn)行了比較分析。在此基礎(chǔ)上，對(duì)射角和無控彈道側(cè)偏進(jìn)行了預(yù)測快速性分析，并對(duì)射向修正法的修正效果進(jìn)行了分析。

本文采用LHS對(duì)各影響因素進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)設(shè)計(jì)。各影響因素的取值范圍如表1所示，表中1 mil=0.06°，訓(xùn)練樣本數(shù)量為12 000，測試樣本數(shù)量為5 000。

表1 各影響因素的變化范圍Table 1 Variation range of various influencing factors

3.1 代理模型的預(yù)測精度分析

表2給出了不同階數(shù)PRS的預(yù)測精度。對(duì)于射角和無控彈道側(cè)偏的預(yù)測，在一定范圍內(nèi)，隨著階數(shù)的增加，PRS的預(yù)測精度會(huì)有所提高。對(duì)于常用的1～4階PRS，其預(yù)測精度均較低，其中4階PRS對(duì)應(yīng)的射角、無控彈道側(cè)偏的MAE和RMSE分別為6.167 mil和1.245 mil、509.76 m和94.03 m，主要由于低階PRS僅適用于擬合一定復(fù)雜程度的函數(shù)關(guān)系，并可在局部范圍內(nèi)得到較精確的擬合效果，但當(dāng)函數(shù)關(guān)系高度復(fù)雜時(shí)，低階PRS的近似效果則較差。與低階PRS相比，高階PRS對(duì)射角和無控彈道側(cè)偏的擬合效果均較好，其中9階PRS的預(yù)測精度最高，對(duì)應(yīng)的射角、無控彈道側(cè)偏的MAE和RMSE分別為0.667 mil和0.084 mil、13.76 m和1.41 m，產(chǎn)生的射程MAE、MRE和RMSE分別為208.69m、0.13%和44.40 m。因此，9階PRS可更好地用于建立射角、無控彈道側(cè)偏與B0、H0、AT、XG、HT、TS之間的高度非線性函數(shù)關(guān)系。

表3給出了回歸模型為6階多項(xiàng)式的條件下，8種相關(guān)函數(shù)對(duì)Kriging預(yù)測精度的影響。對(duì)于射角和無控彈道側(cè)偏的預(yù)測，Kriging具有較高的精度，且在各樣本點(diǎn)處的預(yù)測值與真實(shí)值相同。相關(guān)函數(shù)對(duì)Kriging的預(yù)測精度會(huì)有很大影響，相關(guān)函數(shù)為Gauss函數(shù)和Spline函數(shù)時(shí)，Kriging具有很高的預(yù)測精度，而相關(guān)函數(shù)為Lin函數(shù)和Exp函數(shù)時(shí)，Kriging的預(yù)測精度則較低，其中相關(guān)函數(shù)為Gauss函數(shù)的Kriging對(duì)應(yīng)的射角、無控彈道側(cè)偏的MAE和RMSE分別為0.483 mil和0.064 mil、6.64 m和0.65 m，產(chǎn)生的射程MAE、MRE和RMSE分別為182.31 m、0.09%和33.45 m。因此，運(yùn)用Kriging建立射角、無控彈道側(cè)偏與B0、H0、AT、XG、HT、TS之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，優(yōu)先選擇的相關(guān)函數(shù)為Gauss函數(shù)。

5種基函數(shù)對(duì)RBF預(yù)測精度的影響如表4所示。對(duì)于射角和無控彈道側(cè)偏的預(yù)測，基函數(shù)的類型對(duì)RBF的預(yù)測精度影響較大，當(dāng)基函數(shù)為MN函數(shù)和TPS函數(shù)以及IMQ函數(shù)和MQ函數(shù)時(shí)，RBF的預(yù)測精度均較為接近，其中MN函數(shù)的階數(shù)為最佳階數(shù)11。當(dāng)基函數(shù)采用11階MN函數(shù)和Gauss函數(shù)時(shí)，RBF分別具有最好和最差的預(yù)測效果，其中基函數(shù)為11階MN函數(shù)的RBF對(duì)應(yīng)的射角、無控彈道側(cè)偏的MAE和RMSE分別為1.033 mil和0.133 mil、23.22 m和2.59 m，產(chǎn)生的射程MAE、MRE和RMSE分別為414.72 m、0.25%和69.86 m。因此，運(yùn)用RBF建立射角、無控彈道側(cè)偏與B0、H0、AT、XG、HT、TS之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，最優(yōu)基函數(shù)為11階MN函數(shù)。

3種核函數(shù)對(duì)LSSVM預(yù)測精度的影響如表5所示。核函數(shù)的選取對(duì)LSSVM的預(yù)測效果有較大影響。當(dāng)核函數(shù)采用Gauss函數(shù)和8階Polyno-

表2 階數(shù)對(duì)PRS預(yù)測精度的影響

表3 相關(guān)函數(shù)對(duì)Kriging預(yù)測精度的影響Table 3 Effect of correlation function on prediction accuracy of Kriging

表4 基函數(shù)對(duì)RBF預(yù)測精度的影響

mial函數(shù)時(shí)，LSSVM的射角和無控彈道側(cè)偏預(yù)測結(jié)果精度均較好，且核函數(shù)為Gauss函數(shù)的LSSVM具有更高的預(yù)測精度，其對(duì)應(yīng)的射角、無控彈道側(cè)偏的MAE和RMSE分別為0.983 mil和0.114 mil、13.85 m和1.77 m，產(chǎn)生的射程MAE、MRE和RMSE分別為335.83 m、0.16%和57.17 m；而當(dāng)核函數(shù)采用Lin函數(shù)時(shí)，LSSVM的射角和無控彈道側(cè)偏預(yù)測效果精度很差。因此，運(yùn)用LSSVM建立射角、無控彈道側(cè)偏與B0、H0、AT、XG、HT、TS之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，可以選擇的核函數(shù)為Gauss函數(shù)和高階Polynomial函數(shù)，但優(yōu)先選擇Gauss函數(shù)。

表6給出了5種激活函數(shù)對(duì)ELM預(yù)測精度的影響。激活函數(shù)的選取對(duì)ELM的預(yù)測效果有較大影響。對(duì)于射角和無控彈道側(cè)偏的預(yù)測，當(dāng)激活函數(shù)分別采用Sine函數(shù)和Tribas函數(shù)時(shí)，ELM具有最好和最差的預(yù)測效果，其中激活函數(shù)為Sine函數(shù)的ELM對(duì)應(yīng)的射角、無控彈道側(cè)偏的MAE和 RMSE分別為1.117 mil和0.130 mil、24.18 m和2.65 m，產(chǎn)生的射程MAE、MRE和RMSE分別為337.00 m、0.22%和66.95 m。因此，運(yùn)用ELM建立射角、無控彈道側(cè)偏與B0、H0、AT、XG、HT、TS之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，最優(yōu)激活函數(shù)為Sine函數(shù)。

選擇高階PRS(PRSho，階數(shù)為9)、相關(guān)函數(shù)為Gauss函數(shù)的Kriging(KRIGg)、基函數(shù)為MN函數(shù)的RBF(RBFm，階數(shù)為11)、核函數(shù)為Gauss函數(shù)的LSSVM(LSSVMg)和激活函數(shù)為Sine函數(shù)的ELM(ELMs)構(gòu)建組合代理模型，設(shè)置MMAGA算法的參數(shù)為：種群大小NP=80，最大進(jìn)化代數(shù)NG=300，雜交常數(shù)Pc1=0.62，雜交常數(shù)Pc2=0.88，變異常數(shù)Pm1=0.02，變異常數(shù)Pm2=0.05。對(duì)于射角的EOSM，PRSho、KRIGg、RBFm、LSSVMg和ELMs的權(quán)系數(shù)依次為0.146 140、0.775 976、0.016 503、0.044 457和0.016 924；對(duì)于無控彈道側(cè)偏的EOSM，PRSho、KRIGg、RBFm、LSSVMg和ELMs的權(quán)系數(shù)依次為0.117 428、0.825 656、0.011 516、0.034 321和0.011 079。

表7給出了各種代理模型的預(yù)測精度。6種代理模型對(duì)射角的預(yù)測精度從高到低依次為EOSM、KRIGg、PRSho、LSSVMg、ELMs、RBFm，對(duì)無控彈道側(cè)偏的預(yù)測精度從高到低依次為EOSM、KRIGg、PRSho、LSSVMg、RBFm、ELMs，其中EOSM和KRIGg以及ELMs和RBFm對(duì)射角和無控彈道側(cè)偏的預(yù)測精度均較為接近，且EOSM和KRIGg的預(yù)測精度明顯高于ELMs和RBFm的預(yù)測精度。與單一代理模型相比，EOSM對(duì)射角和無控彈道側(cè)偏的預(yù)測精度并沒有顯著提高，其主要原因是：KRIGg的預(yù)測精度明顯高于其他的單一代理模型，其對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù)也最大，EOSM的預(yù)測精度在很大程度上取決于KRIGg的預(yù)測精度。因此，在運(yùn)用代理模型建立射角、無控彈道側(cè)偏與B0、H0、AT、XG、HT、TS之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，優(yōu)先選擇的單一代理模型為KRIGg。

表5 核函數(shù)對(duì)LSSVM預(yù)測精度的影響Table 5 Effect of kernel function on prediction accuracy of LSSVM

表6 激活函數(shù)對(duì)ELM預(yù)測精度的影響Table 6 Effect of activation function on prediction accuracy of ELM

表7 單一代理模型和組合代理模型的預(yù)測精度Table 7 Prediction accuracy of individual surrogate models and ensemble of surrogate models

圖4和圖5給出了6種代理模型對(duì)應(yīng)的射角和射程的絕對(duì)誤差分布情況。由圖4可知，在5 000個(gè)測試樣本中，6種代理模型對(duì)應(yīng)的射角絕對(duì)誤差小于0.15 mil的測試樣本占比均達(dá)84.24%以上，小于0.30 mil的測試樣本占比均達(dá)96.42%以上，其中EOSM、KRIGg、PRSho對(duì)應(yīng)的射角絕對(duì)誤差小于0.15 mil和0.30 mil的測試樣本占比均分別達(dá)94.30%以上和98.98%以上。由于射角的預(yù)測誤差產(chǎn)生的射程誤差的分布情況 如圖5所示，6種代理模型對(duì)應(yīng)的射程絕對(duì)誤差小于50 m的測試樣本占比均達(dá)58.22%以上，小于100 m的測試樣本占比均達(dá)87.68%以上，其中EOSM、KRIGg、PRSho對(duì)應(yīng)的射程絕對(duì)誤差小于50 m和100 m的測試樣本占比均分別達(dá)75.62%以上和97.04%以上。分析結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了基于代理模型的射角預(yù)測方法具有很高的精度。

圖4 射角的絕對(duì)誤差分布情況Fig.4 Distribution of absolute error of firing angle

圖6給出了6種代理模型對(duì)應(yīng)的無控彈道側(cè)偏絕對(duì)誤差小于10 m的測試樣本占比。在5 000個(gè)測試樣本中，6種代理模型對(duì)應(yīng)的無控彈道側(cè)偏絕對(duì)誤差小于10 m的測試樣本占比均達(dá)98.96%以上，其中EOSM、KRIGg和PRSho對(duì)應(yīng) 的測試樣本占比均達(dá)99.94%以上。分析結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了基于代理模型的無控彈道側(cè)偏預(yù)測方法具有很高的精度。

圖5 射程的絕對(duì)誤差分布情況Fig.5 Distribution of absolute error of range

圖6 無控彈道側(cè)偏的絕對(duì)誤差小于10 m的測試樣本占比Fig.6 Percentage of testing samples with absolute error of uncontrolled lateral range less than 10 m

3.2 預(yù)測快速性分析

基于已建立的各種代理模型，使用Microsoft Visual C++ 6.0編寫了射角和無控彈道側(cè)偏的預(yù)測程序，程序運(yùn)行的軟硬件環(huán)境為：CPU為Intel(R)Core(TM) i5-6300HQ 2.30 GHz，內(nèi)存空間為4.00 GB，操作系統(tǒng)為Windows7 64位。以5 000個(gè)測試樣本為例，統(tǒng)計(jì)6種代理模型運(yùn)行一次射角和無控彈道側(cè)偏預(yù)測程序所需要的平均時(shí)間。對(duì)于同一種代理模型，射角預(yù)測程序的運(yùn)行時(shí)間與無控彈道側(cè)偏預(yù)測程序的運(yùn)行時(shí)間非常接近，因此本文僅給出了6種代理模型的射角預(yù)測程序的運(yùn)行時(shí)間，如圖7所示。5種單一代理模型預(yù)測射角需要的時(shí)間均小于1 ms，其中預(yù)報(bào)速度最快和最慢的分別是PRSho和KRIGg，預(yù)測時(shí)間分別為0.036 8 ms和0.948 5 ms。運(yùn)用組合代理模型預(yù)測射角需要的時(shí)間為3.340 9 ms。在極短的時(shí)間內(nèi)，運(yùn)用各種代理模型即可獲得精度較高的射角和無控彈道側(cè)偏。

圖7 各種代理模型運(yùn)行一次射角預(yù)測程序所需要的時(shí)間Fig.7 Execution time of various surrogate models for running one-time firing angle prediction program

3.3 射向修正法的修正效果分析

表8 射向修正法的修正效果Table 8 Correction effect of target azimuthcorrection method m

3.4 樣本數(shù)量對(duì)預(yù)測精度的影響分析

圖8和圖9給出了代理模型為KRIGg和訓(xùn)練樣本數(shù)量為12 000的情況下測試樣本數(shù)量對(duì)射角和無控彈道側(cè)偏的預(yù)測精度影響。隨著測試樣本數(shù)量的增加，射角和無控彈道側(cè)偏的RMSE均增加，當(dāng)測試樣本數(shù)量超過5 000時(shí)，二者增加的速度明顯減緩，測試樣本數(shù)量對(duì)其他代理模型的預(yù)測精度影響類似。因此，5 000個(gè)測試樣本即能夠很好地反映出各種代理模型的預(yù)測精度。

圖8 KRIGg對(duì)射角的預(yù)測精度隨測試樣本數(shù)量的變化Fig.8 Variation of KRIGg prediction accuracy of firing angle with testing sample size

圖9 KRIGg對(duì)無控彈道側(cè)偏的預(yù)測精度隨測試樣本數(shù)量的變化Fig.9 Variation of KRIGg prediction accuracy of uncontrolled lateral range with testing sample size

圖10～圖12給出了測試樣本數(shù)量為5 000的情況下訓(xùn)練樣本數(shù)量對(duì)射角和無控彈道側(cè)偏的預(yù)測精度影響，其中訓(xùn)練樣本6 000、9 000、15 000和18 000對(duì)應(yīng)的PRSho最佳階數(shù)依次為8、9、10和10，對(duì)應(yīng)的RBFm最佳階數(shù)依次為9、11、13和13。對(duì)于同一種代理模型，隨著訓(xùn)練樣本數(shù)量的增加，射角和無控彈道側(cè)偏的RMSE均顯著減小， 表明代理模型對(duì)射角和無控彈道側(cè)偏的預(yù)測精度隨著訓(xùn)練樣本數(shù)量的增加而得到顯著提高；當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)量超過12 000時(shí)，二者的減小速度明顯減緩，射程的RMSE隨訓(xùn)練樣本數(shù)量的變化規(guī)律與射角的RMSE隨訓(xùn)練樣本數(shù)量的變化規(guī)律相同。因此，12 000個(gè)訓(xùn)練樣本即能夠很好地反映出各種代理模型的預(yù)測精度。此外，與RBFm和ELMs相比，PRSho、KRIGg、LSSVMg和EOSM對(duì)射角和無控彈道側(cè)偏的預(yù)測精度均更高。

圖10 射角的預(yù)測精度隨訓(xùn)練樣本數(shù)量的變化Fig.10 Variation of prediction accuracy of firing angle with training sample size

圖11 由射角的預(yù)測誤差引起的射程誤差隨訓(xùn)練樣本數(shù)量的變化Fig.11 Variation of range error due to prediction error of firing angle with training sample size

圖12 無控彈道側(cè)偏的預(yù)測精度隨訓(xùn)練樣本數(shù)量的變化Fig.12 Variation of prediction accuracy of uncontrolled lateral range with training sample size

4 結(jié) 論

基于大樣本數(shù)據(jù)，運(yùn)用多種代理模型建立了射角、無控彈道側(cè)偏與各個(gè)影響因素之間的函數(shù)關(guān)系，有效解決了制導(dǎo)火箭炮發(fā)射諸元的快速計(jì)算問題，主要結(jié)論如下：

1) PRSho、KRIGg、RBFm、LSSVMg、ELMs和EOSM可更好地用于建立射角、無控彈道側(cè)偏與各個(gè)影響因素之間的函數(shù)關(guān)系。與RBFm和ELMs相比，PRSho、KRIGg、LSSVMg和EOSM對(duì)射角和無控彈道側(cè)偏的預(yù)測精度均更高，4種代理模型的預(yù)測精度從高到低依次為EOSM、KRIGg、PRSho、LSSVMg。

2) 基于代理模型的射角和無控彈道側(cè)偏預(yù)測方法具有精度高、速度快等優(yōu)點(diǎn)，該方法可為制導(dǎo)火箭炮發(fā)射諸元的計(jì)算提供一種新的解決方案。

3) 射向修正法可以有效減小由于地球自轉(zhuǎn)引起的無控彈道側(cè)偏，從而可以有效減小制導(dǎo)火箭彈末制導(dǎo)段的舵資源壓力。

隨著人工智能和機(jī)器學(xué)習(xí)等技術(shù)的快速發(fā)展，制導(dǎo)火箭炮發(fā)射諸元計(jì)算方法的研究和應(yīng)用也會(huì)獲得長足發(fā)展。