張炯，何悅忠，林偉興，劉衛(wèi)東，王連坤

（1.五邑大學(xué) 土木建筑學(xué)院，廣東 江門(mén) 529020；2.河海大學(xué) 機(jī)械學(xué)院，江蘇 南京 210098）

含多圓的孔板廣泛應(yīng)用于建筑、機(jī)械和航空航天中，由于圓孔產(chǎn)生的應(yīng)力集中會(huì)大大降低板件的承載能力，從而導(dǎo)致板件在圓孔周?chē)a(chǎn)生破壞，因此研究含多圓孔問(wèn)題的彈性場(chǎng)分布和其應(yīng)力集中具有重要的理論和工程實(shí)際意義.

針對(duì)這一經(jīng)典問(wèn)題，學(xué)者們進(jìn)行了大量的研究并提出了相當(dāng)成熟的計(jì)算模型.例如早期的Ling等人[1]運(yùn)用雙極坐標(biāo)的方法對(duì)含兩個(gè)圓孔的無(wú)限大平面進(jìn)行了分析.后來(lái)Savin等人[2]采用復(fù)變函數(shù)和保角變換的方法對(duì)孔洞附近的彈性場(chǎng)分布和應(yīng)力集中問(wèn)題進(jìn)行了研究.高存法等人[3]利用Cauchy積分推導(dǎo)了單個(gè)橢圓孔受集中荷載下的通解.李成等人[4]結(jié)合彈性理論和復(fù)變函數(shù)的方法求解了孔邊應(yīng)力場(chǎng)和孔口附近的應(yīng)力分量.Ting等人[5]利用交替法對(duì)無(wú)限平面內(nèi)含多個(gè)圓孔的彈性場(chǎng)分布和應(yīng)力集中進(jìn)行了研究.

復(fù)變函數(shù)和保角變換在處理該問(wèn)題時(shí)過(guò)程均較為復(fù)雜.因此，本文提出了一種基于等效夾雜理論的方法來(lái)研究平面內(nèi)多個(gè)圓形夾雜受均勻外載時(shí)的彈性場(chǎng)分布，本文方法結(jié)合Eshelby內(nèi)部張量和外部張量，可以簡(jiǎn)便并準(zhǔn)確地求解均布荷載作用下，平面內(nèi)含任意數(shù)量和任意分布的圓孔的彈性場(chǎng)分布.

1 含多圓孔的等效夾雜法

假設(shè)在彈性常數(shù)為Cijkl的某一無(wú)限大板中含n個(gè)圓孔，在無(wú)窮遠(yuǎn)處受均勻荷載和如圖1所示.

其中，Sijkl為Eshelby內(nèi)部張量，Gijkl為Eshelby外部張量[6-9].

圖1 無(wú)限大板含有多圓孔受均勻外載

圖2 等效夾雜法變換

結(jié)合圖1和圖2所示的兩個(gè)等效問(wèn)題，在夾雜I內(nèi)建立平衡方程可得：

對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，將應(yīng)變簡(jiǎn)化為4個(gè)未知數(shù)：ε11,ε22,ε33,ε12.為了便于計(jì)算和編程實(shí)現(xiàn)，將式（2）轉(zhuǎn)化為矩陣形式：

這樣，式（3）變?yōu)橐粋€(gè)含有4個(gè)未知數(shù)的線性方程組.依次對(duì)所有n個(gè)夾雜內(nèi)部都建立平衡后，共可得4n個(gè)線性方程組，采用高斯消元法即可求得每個(gè)夾雜的等效應(yīng)變進(jìn)而求得整個(gè)彈性體的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)分布.

2 數(shù)值算例

將上述理論利用FORTRAN編程實(shí)現(xiàn)，并對(duì)相應(yīng)的典型算例進(jìn)行分析，同時(shí)將計(jì)算結(jié)果與有限元軟件ABAQUS計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比.所有計(jì)算都在2.0 GHz和i5 CPU的電腦上進(jìn)行.

2.1 無(wú)限大板含有兩個(gè)圓孔受單向拉伸載荷

如圖3所示：一個(gè)無(wú)限大板含有兩個(gè)圓孔，圓孔的半徑分別為r1和r2，兩個(gè)圓孔之間的距離為L(zhǎng)，兩夾雜圓心連線與x軸所成夾角為θ，無(wú)限大板受到豎直方向均勻分布荷載

圖3 無(wú)限大板含有兩個(gè)圓孔受單向拉伸載荷

從圖4～6可以看出，本文所采用的等效夾雜法與有限元方法所計(jì)算的結(jié)果吻合十分良好，證明了本文方法的正確性.此外，本文方法在求解該問(wèn)題時(shí)，各點(diǎn)之間是獨(dú)立求解，并無(wú)直接聯(lián)系；而采用有限元求解時(shí)，必須對(duì)全局進(jìn)行網(wǎng)格化分，然后同時(shí)求解，計(jì)算效率不如本文方法.

圖4 Von Mises應(yīng)力分布（θ=0）

圖5 Von Mises應(yīng)力分布（θ=45°）

圖6 Von Mises應(yīng)力分布（θ=90°）

下面我們固定r1=r2，研究A點(diǎn)的應(yīng)力集中系數(shù)kt隨著L和θ的變化而變化的情況.由于本文方法各點(diǎn)求解相互獨(dú)立，因此可直接計(jì)算A點(diǎn)的應(yīng)力，計(jì)算時(shí)間可以忽略，而采用有限元方法計(jì)算時(shí)，仍然需要對(duì)全局進(jìn)行網(wǎng)格劃分并計(jì)算出區(qū)域內(nèi)所有的點(diǎn)的應(yīng)力，計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)本文方法.

圖7所示的為L(zhǎng)=3r1時(shí)，A點(diǎn)的應(yīng)力集中系數(shù)kt隨著θ的變化而變化的情況，圖8所示的為L(zhǎng)=3r1時(shí)，A點(diǎn)的應(yīng)力集中系數(shù)kt隨著L的變化而變化的情況.

圖7 A點(diǎn)的應(yīng)力集中系數(shù)隨θ變化

圖8 A點(diǎn)的應(yīng)力集中系數(shù)隨L/r1變化

從圖7～8可以看出，對(duì)于A點(diǎn)的應(yīng)力集中系數(shù)，兩種方法計(jì)算結(jié)果吻合十分良好.A點(diǎn)的應(yīng)力集中系數(shù)隨著θ的增大先增大，然后減小，最后在θ=90°時(shí)，又有增大.從圖8還可以看出，當(dāng)兩個(gè)圓孔距離很近的時(shí)候，圓孔相互影響，應(yīng)力集中系數(shù)接近3.7，隨著兩個(gè)圓孔的距離逐漸增大，圓孔間的影響逐漸減小，最后應(yīng)力集中系數(shù)十分接近3.0，相當(dāng)于無(wú)限大板含單個(gè)圓孔的應(yīng)力集中系數(shù).

圖9 無(wú)限大平面含有3×3個(gè)圓孔受雙向拉伸載荷

2.2 無(wú)限大平面含有3×3個(gè)圓孔受雙向拉伸載荷

如圖9所示：一個(gè)無(wú)限大板含3×3個(gè)等距分布的圓孔，圓孔間距離為L(zhǎng)，無(wú)窮遠(yuǎn)處水平方向受到作用，豎直方向受到作用.

分別采用本文方法和有限元方法計(jì)算了夾雜附近的Von Mises應(yīng)力分布和豎直方向應(yīng)力σ22，如圖10～11所示.

圖10 3×3夾雜的Von Mises應(yīng)力分布

圖11 3×3夾雜的σ22應(yīng)力分布

從圖10、11看出，處理多夾雜問(wèn)題時(shí)，本文方法仍然與有限元結(jié)果吻合良好.

3 結(jié)論

本文通過(guò)Eshelby等效夾雜法研究了無(wú)限大平面內(nèi)多個(gè)圓孔受均勻分布荷載時(shí)的彈性場(chǎng)分布情況.采用了二維圓形夾雜的Eshelby內(nèi)部張量和Eshelby外部張量對(duì)圓孔外的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)進(jìn)行推導(dǎo)，并采用FORTRAN語(yǔ)言編制了相關(guān)計(jì)算程序.數(shù)值算例表明，本文方法結(jié)果準(zhǔn)確，與有限元方法相比，可以僅對(duì)局部關(guān)鍵部位進(jìn)行分析，計(jì)算效率大大提高.