楊樹政 林愷

1) (西華師范大學(xué)物理與空間科學(xué)學(xué)院,南充 637002)

2) (中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)地球物理與空間信息學(xué)院,地球內(nèi)部多尺度成像湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430074)

3) (Escola de Engenharia de Lorena,Universidade de Sao Paulo,12602-810,Lorena,Sao Paulo,Brazil)

(2018 年11 月19 日收到; 2019 年1 月7 日收到修改稿)

把洛侖茲破缺的標(biāo)量場(chǎng)方程推廣到彎曲時(shí)空中,并通過Aether-like 項(xiàng)對(duì)標(biāo)量場(chǎng)方程進(jìn)行修正,該項(xiàng)所產(chǎn)生的效應(yīng)也會(huì)影響到黑洞時(shí)空視界附近處的物理效應(yīng). 接著,進(jìn)一步在半經(jīng)典近似下得到了修正的Hamilton-Jacobi 方程,然后用這一修正的Hamilton-Jacobi 方程研究了史瓦西黑洞的隧穿輻射特征,并討論了洛侖茲破缺對(duì)黑洞霍金輻射和黑洞熵的影響. 結(jié)果表明,形式的Aether-like 項(xiàng)的效應(yīng)可能使黑洞溫度增加,而黑洞熵降低. 該工作可以幫助我們更深刻地理解彎曲時(shí)空中的洛侖茲破缺效應(yīng)的物理性質(zhì).

1 引 言

經(jīng)典的黑洞是全黑的,因?yàn)闆]有任何經(jīng)典粒子可以從經(jīng)典黑洞內(nèi)穿越出來(lái)達(dá)到無(wú)窮遠(yuǎn)的觀測(cè)者處. 但是,當(dāng)霍金考慮了黑洞視界附近的量子效應(yīng)后,他發(fā)現(xiàn)黑洞可以發(fā)出量子輻射,這種輻射被稱為霍金輻射[1,2]. 霍金輻射的存在使得黑洞熱力學(xué)定律有了牢固的物理基礎(chǔ),因此把引力理論、量子理論和熱力學(xué)及統(tǒng)計(jì)理論有效地聯(lián)系起來(lái)[3?5]. 一個(gè)解釋霍金輻射的簡(jiǎn)明理論是隧穿理論: 把黑洞視界視為一個(gè)勢(shì)壘,經(jīng)典粒子無(wú)法直接通過此勢(shì)壘,但是由于量子隧穿效應(yīng)的存在,黑洞視界內(nèi)部的虛粒子有一定概率穿越黑洞視界這個(gè)勢(shì)壘,并進(jìn)一步實(shí)化為實(shí)粒子,這就是量子霍金輻射. 利用量子隧穿的觀點(diǎn),文獻(xiàn)[6—14]提出隧穿輻射方法來(lái)計(jì)算黑洞溫度和熵,隨后文獻(xiàn)[15,16]提出半經(jīng)典的方法從彎曲時(shí)空的標(biāo)量場(chǎng)方程推導(dǎo)出彎曲時(shí)空的Hamilton-Jacobi 方程,并用這個(gè)方程計(jì)算霍金輻射,這個(gè)方法大大簡(jiǎn)化了黑洞輻射的研究. 2008 年,Kerner 和Mann[17,18]開始思考用半經(jīng)典的方法研究Dirac 場(chǎng)粒子的隧穿輻射,在這個(gè)方法中,他們把Dirac 粒子分為自旋向上和自旋向下兩種情況,并進(jìn)一步推導(dǎo)得到Dirac 粒子的隧穿輻射方程[19?24].本課題組[25?27]則提出新的方法來(lái)研究費(fèi)米子隧穿輻射問題,在我們的方法中,Dirac 方程先通過半經(jīng)典近似化為一個(gè)簡(jiǎn)明的矩陣方程,這個(gè)方程可以通過gamma 矩陣寫成一個(gè)很簡(jiǎn)單的形式,接著根據(jù)gamma 矩陣的反對(duì)易特性,發(fā)現(xiàn)半經(jīng)典的矩陣方程成立的條件正是標(biāo)準(zhǔn)的Hamilton-Jacobi 方程,接著按照標(biāo)準(zhǔn)的半經(jīng)典Hamilton-Jacobi 方法可以推導(dǎo)出黑洞的費(fèi)米子隧穿輻射特征. 該結(jié)果暗示了Hamilton-Jacobi 方法的內(nèi)在一致性,其本質(zhì)是體現(xiàn)了理論的洛侖茲對(duì)稱性.

然而,在高能領(lǐng)域的研究中,量子引力的研究暗示洛侖茲不變性可能需要在普朗克尺度上被修正. 近來(lái),一種洛侖茲破缺的標(biāo)量場(chǎng)理論被提出,其作用量可以寫為[28]

其中m是標(biāo)量場(chǎng)的質(zhì)量;λ是洛侖茲破缺項(xiàng)的比例常數(shù),通常是一個(gè)小量;uα在平直時(shí)空中是一個(gè)類以太場(chǎng)的常矢量,本文將始終使用(–,+,+,+)的號(hào)差. 因此在平直時(shí)空中修正的標(biāo)量場(chǎng)方程變?yōu)?/p>

近來(lái)的工作對(duì)這種修正的標(biāo)量場(chǎng)方程進(jìn)行了深入探討[28?32],發(fā)現(xiàn)在高能領(lǐng)域修正的標(biāo)量場(chǎng)方程有許多獨(dú)特的性質(zhì).

本文把洛侖茲破缺的標(biāo)量場(chǎng)方程的工作進(jìn)一步推廣到彎曲時(shí)空,并進(jìn)一步研究黑洞的霍金輻射. 在第2 節(jié)中,將首先給出彎曲時(shí)空中的洛侖茲破缺標(biāo)量場(chǎng)方程,并進(jìn)一步通過半經(jīng)典近似把該方程化為變形Hamilton-Jacobi 方程; 接著在第3 節(jié)中,將具體計(jì)算在史瓦西時(shí)空背景下的修正的霍金輻射特征,得到修正的標(biāo)量場(chǎng)隧穿輻射和修正的霍金溫度; 第4 節(jié)給出討論和結(jié)論.

2 洛侖茲破缺的標(biāo)量場(chǎng)方程以及修正的Hamilton-Jacobi 方程

在正則坐標(biāo)系的平直時(shí)空中類以太矢量是一個(gè)常量,因此自然滿足關(guān)系

但是在彎曲時(shí)空中,為了滿足(2)式的關(guān)系,不能簡(jiǎn)單把uα設(shè)為常量. 因此在彎曲時(shí)空中,考慮作用量

可以得到彎曲時(shí)空中的洛侖茲破缺標(biāo)量場(chǎng)方程為

或者

為了得到彎曲時(shí)空中的修正Hamilton-Jacobi方程,可以重寫標(biāo)量場(chǎng)波函數(shù)為

根據(jù)(3)式可以求得

所以把(7)式代入任意自旋的玻色子方程,把 ? 視為小量,并且只保留方程的零階項(xiàng),可以得到

這正是修正的標(biāo)量場(chǎng)粒子的Hamilton-Jacobi 方程. 第3 節(jié)將應(yīng)用這個(gè)半經(jīng)典的修正Hamilton-Jacobi 方程研究黑洞的霍金輻射特征.

3 史瓦西黑洞的隧穿輻射及其修正

史瓦西黑洞的逆變度規(guī)可以寫為

其中

其中M是黑洞的質(zhì)量,黑洞視界rh=2M. 這里分別討論四種情況下的黑洞輻射. 由于作用量S可以寫為

于是(8)式可以寫為

為了求解上述方程,先考慮不同的uα情況:

1)uα=(ut,0,0,0) 情況這里c0是一個(gè)常數(shù). 因此,通過(12)式可以把徑向的Hamilton-Jacobi 方程寫為

這里的C是分離變量常數(shù),因此有

這里正負(fù)號(hào)分別代表出射模和入射模,在計(jì)算中,已經(jīng)用到λ是小量的條件. 所以黑洞的隧穿輻射率是

其中,霍金溫度是

這里的Th是未修正的史瓦西黑洞事件視界處的霍金溫度,而修正后的霍金溫度TH則與/2 相關(guān).

2)uα=(0,ur,0,0)情況

這里的C也是分離變量常數(shù),因此有

黑洞的隧穿輻射率依然是(15)式的形式,但是其中霍金溫度是

在這里修正后的霍金溫度TH也與相關(guān).

4 結(jié) 論

另一方面,黑洞熱力學(xué)中另一個(gè)重要的物理量是黑洞的熵,修正的霍金溫度也會(huì)帶來(lái)黑洞熵的修正. 根據(jù)黑洞熱力學(xué)有

其中V和U分別是黑洞的旋轉(zhuǎn)勢(shì)和電磁勢(shì). 因此,在事件視界rh處未修正之前的黑洞熵滿足

而在uα=的情況中,黑洞熵為

所以如果λ是一個(gè)正數(shù),uα=和uα=的情況將導(dǎo)致黑洞的熵減小.

本文研究的是最簡(jiǎn)單的修正標(biāo)量場(chǎng)情況,近來(lái)越來(lái)越多的高能物理研究?jī)A向于認(rèn)為洛侖茲對(duì)稱性在高能尺度下會(huì)產(chǎn)生破缺,人們已經(jīng)陸續(xù)提出各種洛侖茲破缺的量子場(chǎng)方程. 這些研究可能為將來(lái)量子引力的研究提供有力的支持. 在彎曲時(shí)空中,黑洞表面簡(jiǎn)單而極端的性質(zhì)可能成為將來(lái)驗(yàn)證洛侖茲破缺理論的有力工具. 我們將繼續(xù)研究關(guān)于彎曲時(shí)空中洛侖茲破缺的量子場(chǎng)論.