袁曉琳，莫立坡

（北京工商大學(xué) 理學(xué)院，北京 100048）

由于分?jǐn)?shù)階算子具有許多良好的性質(zhì)，如記憶性和遺傳性，近年來這一領(lǐng)域吸引了眾多學(xué)者的研究。如：Zhang等[1]為分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)提出了許多簡化的LMI穩(wěn)定性條件，Li等[2]研究了分?jǐn)?shù)階非線性動態(tài)系統(tǒng)的Mittag-Leffler穩(wěn)定性等。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概念由McCulloch等首次提出[3]。隨后Hopfield提出了一個新的名為Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]，這為解決優(yōu)化問題和數(shù)值計算問題做了很大的貢獻(xiàn)。目前，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被廣泛應(yīng)用于許多的領(lǐng)域，例如，模型預(yù)測[5]、自動化控制[6]以及優(yōu)化[7]。但大部分結(jié)果都假設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)模型是整數(shù)階的。然而，在很多實(shí)際應(yīng)用中，分?jǐn)?shù)階微分方程能夠更好的描述實(shí)際系統(tǒng)。目前，有許多關(guān)于分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步問題的研究結(jié)果，如自適應(yīng)同步[8]、全局同步[9-10]、有限時間同步[11-12]、 α 同步[13]等。此外，當(dāng)系統(tǒng)中存在未知參數(shù)時，文獻(xiàn)[14]研究了此類分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步問題。事實(shí)上，除系統(tǒng)參數(shù)外，系統(tǒng)的輸入也可能是未知的，并且系統(tǒng)不可避免地受外部干擾。然而，據(jù)我們所知，目前很少有關(guān)于這方面的研究結(jié)果。

受文獻(xiàn)[15-16]的啟發(fā)，本文用 H∞控制的方法來研究了一類分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的 H∞同步問題。提出了一個使閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)同步和自適應(yīng)H∞同步的自適應(yīng)控制協(xié)議。并且通過利用魯棒控制方法和Gronwall-Bellman不等式完成了閉環(huán)系統(tǒng)的收斂性分析及 H∞性能分析。與文獻(xiàn)[17]相比，它所考慮的是無外界干擾的整數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，而我們在這篇論文中考慮了分?jǐn)?shù)階的動態(tài)模型，同時考慮了未知外部干擾的影響。與文獻(xiàn)[14]相比較，它模型中的外部輸入是已知的，而在此篇論文中考慮了未知的外部輸入。眾所周知，H∞性 能主要是用于刻畫系統(tǒng)的輸入輸出間關(guān)系的一種性能指標(biāo)，文獻(xiàn)[14]并沒有研究系統(tǒng)的H∞性能，在本文中我們做了相應(yīng)的研究。

1 分?jǐn)?shù)階算子的基礎(chǔ)理論知識

本部分主要介紹分?jǐn)?shù)階算子的定義和相關(guān)引理，這對于我們以后的分析是非常重要的。

定義1[18]函數(shù) f的Riemann-Liouville型 α階分?jǐn)?shù)階積分定義為

式中： t ≥ t0;0 ＜ α ＜ 1;Γ(·)表示Gamma函數(shù)。

定義2[18]函數(shù) f ∈Cn([t0,+∞),R)的Caputo型α階分?jǐn)?shù)階微分定義為

式中： t ≥t0;n 是 一個正整數(shù)使得n-1＜α＜n.特別地，當(dāng) 0 ＜α＜1時，

引理1[19]設(shè)函數(shù) g (t)在 t ∈[t0,b]上是連續(xù)可微的，則對任意的常數(shù)及 t ∈[t0,b]有

其中 0 ＜α＜1。

引理2[20]令 n =[α]+1， 當(dāng) α ?N 時 ，或令n=α當(dāng) α ∈N 時 。如果 y (t)∈Cn[t0,b]，則

特 別 地 ， 當(dāng) 0 ＜α＜1 及 y (t)∈C1[t0,b] 時 ， 有)=y(t)-y(t0)。

引理3[14]假設(shè) x (t),y(t)∈C1[t0,b]， 如果對?t∈[t0,b]有 x (t)≤y(t)，則t0x(t)≤t0y(t)。

引理4[21](Gronwall-Bellman 不等式)若存在x(t)滿 足 x (t)≤a(τ)x(τ)dτ+b(t)， 其中 a (t)和 b (t)是兩個已知的實(shí)函數(shù)，則

如果 b (t)是可微的，從而

如果 b (t)是一個常數(shù)，從而

引理5[22-23]Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階非線性微分方程 Dαxi(t)=fi(x(t)),i=1,2,···,N，可以被表示成

2 研究問題的系統(tǒng)模型描述

考慮如下分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為驅(qū)動系統(tǒng)式中： 0 ＜ α ＜ 1;i=1,2,···,n,n表示神經(jīng)元的個數(shù)；xi(t)∈R 是 第i個 神經(jīng)元在t時 刻的狀態(tài)；ci是一個正的常數(shù)，表示第i個神經(jīng)元在無任何連接情況下恢復(fù)到靜息狀態(tài)的速率； aij表 示第 j個神 經(jīng) 元與第i個神經(jīng)元之間的連接權(quán)重，并且滿足 aij≤ μ,其中μ是一個正常數(shù)；Ii表示是外部輸入，它是不可以被獲得的； fj(·)是 第 j個神經(jīng)元的激勵函數(shù)，它滿足全局的李普希茲條件，即存在 Lj＞0使得

式中： u ,v ∈ R;j=1,2,···,n。

考慮如下響應(yīng)系統(tǒng)：

式中： yi(t)∈R是響應(yīng)狀態(tài)； aij(t)表示 aij(t)的參數(shù)估計值； ui(t)是 控制輸入， wi(t)是未知的外部干擾，它們屬于：

其中 β ＞0是一個正常數(shù)。

定義3[18]稱驅(qū)動系統(tǒng)(式(1))與響應(yīng)系統(tǒng)(式(3))是全局漸近同步的，如果存在控制器ui(t),i=1,2,···,n使得

3 一致性收斂分析

3.1 自適應(yīng)同步

考慮閉環(huán)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，即研究當(dāng)外部干擾不存在時系統(tǒng)式(1)和式(3)的同步問題。為此，設(shè)計如下自適應(yīng)控制律：

式中： ei(t)=yi(t)-xi(t),i=1,2,···,n定義為狀態(tài)誤差 ； Ii(t)∈R定 義 為 未 知 外 部 輸 入 的 估 計 值 ；di(t)∈ R 是 時變的控制強(qiáng)度； ki、ri和 lij是正常數(shù)，它們的取值待定。

利用自適應(yīng)控制律式(4)～(7)，動態(tài)誤差閉環(huán)系統(tǒng)可以寫成如下形式：

注1 我們通常所說的控制律(控制協(xié)議)是指一系列信息傳輸規(guī)則，當(dāng)驅(qū)動系統(tǒng)采取該控制律時，可以與響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步。與傳統(tǒng)的控制律形成對比，本文設(shè)計了新的自適應(yīng)控制律(4)～(7)，且控制律中 di(t)、 Ii(t)、 aij(t)的動態(tài)方程是分?jǐn)?shù)階的，因而更具有一般性。除此之外，利用該控制律還可以對未知參數(shù) aij(t)進(jìn)行估計。

定理1對任給的正常數(shù) ki,ri,lij,i,j=1,2···,n。如果外部干擾不存在，即 wi(t)=0,i=1,2,···,n,那么利用自適應(yīng)控制律(4)和參數(shù)估計器(5)～(7)，驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)可以實(shí)現(xiàn)全局漸進(jìn)同步。

證明定義如下類似李雅普諾夫函數(shù)：

注意到

其中 μ =sup(aij),εi＞ 0是一個正常數(shù)。

利用引理1，計算系統(tǒng)(9)的 V (t)的 α階Caputo型導(dǎo)數(shù)，有

從而

事實(shí)上，我們可以通過取足夠大的 di來 保證qi＞0,

由引理2和3可得

利用引理4，可以得到

綜上，利用控制律(4)～(7)，響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)同步。

注2在定理1中，我們只能保證驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)同步。為了對所有的未知參數(shù)進(jìn)行辨識，需要對激勵函數(shù) fj(·)添加額外的條件?；谡`差系統(tǒng)(8)，當(dāng)兩個系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步時，誤差系統(tǒng)可以被重寫為如下形式：

根據(jù)函數(shù)線性無關(guān)的條件，當(dāng) fj(xj(t))線性無關(guān)時可以對未知參數(shù)進(jìn)行辨識。

注3 與其他相關(guān)文獻(xiàn)中設(shè)計的控制協(xié)議相比，如文獻(xiàn)[14]，我們所考慮的是帶有未知參數(shù)和未知外部輸入的系統(tǒng)。因此，文獻(xiàn)[14]中所考慮的模型是本文的特例。

3.2 自適應(yīng) H ∞同步

利用 H∞性能指標(biāo)來研究外部干擾對系統(tǒng)同步的影響。

定理 2考慮驅(qū)動系統(tǒng)(式(1))和響應(yīng)系統(tǒng)(式(3))。利用控制律式(4)和估計器即式(5)～(7)，則對于給定 γ ＞0 ， 誤差系統(tǒng)(8)可以滿足 H∞性能，即在零初始條件下可以滿足 ‖Tzw(s)‖∞＜ γ。

證明由于在零初始條件下，Caputo型導(dǎo)數(shù)與Riemann-Liouville型導(dǎo)數(shù)等價，利用引理5，誤差系統(tǒng)(8)和估計(5)～(7)可以用以下分布表示：

式中： i ,j=1,2,···,n;d?i(t)=di(t)-di;zi,Aij,Bi,Di,均是無限維的分布式狀態(tài)變量； μ (w)在引理5中被定義。定義如下類似李雅普諾夫函數(shù)：

從而 V (t)的導(dǎo)函數(shù)為

可以通過取足夠大的 di值使得

注4目前，關(guān)于 H∞控 制問題的研究主要集中在整數(shù)階系統(tǒng)，比如文獻(xiàn)[15-16]。本文通過利用分?jǐn)?shù)階微分方程的分布式表達(dá)形式將這些結(jié)果推廣到了不確定分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，提出了一個可以使閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn) H∞同步的自適應(yīng)協(xié)議。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

通過給出的仿真實(shí)例來驗(yàn)證我們所提出的控制器在實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)同步和 H∞同步方面是有效的。此外，我們討論了相關(guān)的參數(shù)辨識問題。

例：對于驅(qū)動系統(tǒng)(式(1))，響應(yīng)系統(tǒng)(式(3))以及控制協(xié)議即式(4)～(7),令

以及

選取初始條件為

圖1為驅(qū)動系統(tǒng)(1)和未加控制器的響應(yīng)系統(tǒng)(3)的狀態(tài)軌跡圖，顯然兩個系統(tǒng)并沒有實(shí)現(xiàn)同步。

圖1 驅(qū)動系統(tǒng)(1)與未加控制器的響應(yīng)系統(tǒng)(3)狀態(tài)圖Fig.1 States of drive system (1) and response system (3)without controller

圖2 為驅(qū)動系統(tǒng)(1)和加了控制律(4)～(7)的響應(yīng)系統(tǒng)(3)的狀態(tài)軌跡圖，該圖顯示利用控制律(4)～(7)這兩個系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了同步。

圖2 驅(qū)動系統(tǒng)(1)與加控制律響應(yīng)系統(tǒng)(3)狀態(tài)圖Fig.2 States of drive system (1) and response system (3)with controller

圖3 為控制強(qiáng)度，當(dāng)時間趨于無窮時它們都收斂到一個確定的常數(shù)。從圖4～6可以看出響應(yīng)系統(tǒng)中(3)中所有的未知參數(shù)可以很好地辨識出來，辨識值為

與權(quán)重矩陣 A 中的初始值相一致。這表明所提出的控制器是有效的并且可以精確地辨識所有的未知參數(shù)。

若將初始值改變?yōu)?/p>

圖3 d 1、d2、d3 隨 時間t的變化圖Fig.3 d 1,d2,d3varies with time

圖4 、、的辨識Fig.4 Identification of3

圖5 、、的辨識Fig.5 Identification of3

圖6 、、的辨識Fig.6 Identification of3

并且添加條件：

式中i = 1，2，3。通過圖7可以讀出γ=0.466 3。

圖7 γ隨時間變化可選取值圖Fig.7 The value of γ varies with time

圖8 顯示當(dāng) t →∞時，有

Fig.8 The energy trajectories of and

即滿足 H∞同步。

5 結(jié)束語

本文針對一類不確定分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，本文研究了其自適應(yīng) H∞同步與參數(shù)辨識問題。注意到，不確定項(xiàng)總是存在于實(shí)際的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，而文中所得研究結(jié)果可以很好的解決這一問題，即可以精確地對不確定參數(shù)項(xiàng)進(jìn)行辨識同時具有很強(qiáng)的魯棒性。因而，本文的研究結(jié)果具有很強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用價值，可以廣泛的應(yīng)用于實(shí)際神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

然而，本文所考慮的是理想化的網(wǎng)絡(luò)模型，在實(shí)際應(yīng)用中，時滯總是存在于神經(jīng)元之間的通訊過程中，并對系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生嚴(yán)重的影響，進(jìn)而影響對未知參數(shù)的辨識精度。注意到，目前還沒有關(guān)于此方面比較好的研究結(jié)果，因此，有必要設(shè)計相關(guān)的控制協(xié)議來抵消時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性造成的影響。在未來的研究中，我們將進(jìn)一步針對帶有時滯的不確定分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計相關(guān)的控制協(xié)議，從而對系統(tǒng)中的未知參數(shù)進(jìn)行精確地辨識，同時使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步。