范琰

摘要：創(chuàng)新是一個(gè)民族的靈魂，是一個(gè)國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力，培養(yǎng)小學(xué)生創(chuàng)新思想是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)。《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出：人才培養(yǎng)是當(dāng)前教育的緊迫任務(wù)，也是時(shí)代賦予教師的歷史使命，尤其是數(shù)學(xué)課程，更要注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造能力。數(shù)形結(jié)合作為發(fā)散學(xué)生思維的有效方法，應(yīng)引起廣大數(shù)學(xué)教師的高度重視。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)? ?數(shù)形結(jié)合? 創(chuàng)新思維

進(jìn)入20世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)思維日益受到各國(guó)教育學(xué)家的重視，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的學(xué)術(shù)著作也層出不窮，如美國(guó)數(shù)學(xué)家M.克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》，日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏的《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》。總體來(lái)看，這些著作都詳細(xì)地論述了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想方法，但是它們的出發(fā)點(diǎn)是基于整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系，很少?gòu)募?xì)微處著手，導(dǎo)致對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的研究略顯不足。

早在數(shù)學(xué)發(fā)展的萌芽期，數(shù)和形的結(jié)合已經(jīng)體現(xiàn)在了人們對(duì)長(zhǎng)度、面積等方面的測(cè)量中。宋元時(shí)期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式來(lái)描述一些幾何特征，進(jìn)而把圖形中的幾何關(guān)系表達(dá)成代數(shù)式之間的代數(shù)關(guān)系。17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾通過(guò)直角坐標(biāo)系建立了數(shù)與形之間的聯(lián)系。數(shù)軸的建立使人們對(duì)數(shù)與形的統(tǒng)一有了跨越式的認(rèn)識(shí)，從而把實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上的點(diǎn)集一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，數(shù)可以視為點(diǎn)，點(diǎn)也可以視為數(shù)，點(diǎn)在直線上的位置可以數(shù)量化，而數(shù)的運(yùn)算也可以幾何化。

華羅庚于1964年撰寫了《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題》這一科普小冊(cè)子，書中有一首小詞：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非;切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！”由于華羅庚在數(shù)學(xué)界的巨大影響力，“數(shù)形結(jié)合”立即得到了我國(guó)數(shù)學(xué)界的一致認(rèn)同，在那時(shí)幾乎所有的數(shù)學(xué)教育刊物都出現(xiàn)了這個(gè)詞。尤其是在小學(xué)解決問(wèn)題教學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”能直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，顯得尤為有效。心理學(xué)家通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明，大多數(shù)小學(xué)生的思維處于形象認(rèn)知階段，相對(duì)于抽象事物，他們對(duì)直觀事物更感興趣。如果教師將生動(dòng)、形象的圖形融入解決問(wèn)題教學(xué)中，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)趣味化、具體化，能夠吸引學(xué)生的注意力，調(diào)動(dòng)學(xué)生思考的積極性，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維。下面，筆者給自身教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合。

一、巧用數(shù)形結(jié)合理解題意，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)

數(shù)學(xué)作為一門研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，“數(shù)”和“形”是相互映襯的。數(shù)形結(jié)合其實(shí)就是將“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái)，將復(fù)雜抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單具體的問(wèn)題。大量科學(xué)實(shí)驗(yàn)證明，相對(duì)于抽象事物，人們的大腦對(duì)“形”有更為敏銳的直覺(jué)，這種感覺(jué)與生俱來(lái)。尤其是剛?cè)雽W(xué)的一、二年級(jí)學(xué)生，這種直覺(jué)更加敏銳，他們對(duì)文字的理解相對(duì)困難，但善用畫圖的方法表達(dá)自己的感受。因此，在解決問(wèn)題教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形直觀地理解信息和問(wèn)題，建立“數(shù)”和“形”的聯(lián)系，從而發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

如在教學(xué)“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾的數(shù)的實(shí)際問(wèn)題”時(shí)，筆者利用數(shù)形結(jié)合，將文字信息與幾何圖形有機(jī)結(jié)合起來(lái)，學(xué)生通過(guò)圖形建立了條件和問(wèn)題之間的聯(lián)系，為下一步的解答奠定了基礎(chǔ)。如有這樣一道例題：“已知山羊上午種了26朵花，下午比上午多種了16朵，問(wèn)山羊一天種了多少朵花？”這個(gè)問(wèn)題對(duì)于二年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度，大多數(shù)學(xué)生理解起來(lái)比較困難。此時(shí)，筆者啟發(fā)學(xué)生用畫圖來(lái)理解題意，分析問(wèn)題，從而幫助學(xué)生在“數(shù)”與“形”之間架起一座橋梁。學(xué)生們通過(guò)獨(dú)立思考、探索交流，用不同的圖形表述了他們的思考過(guò)程（如圖1所示），產(chǎn)生了思維的碰撞與共鳴，從而使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得發(fā)展。

這里的“形”很好地輔助了“數(shù)”的形成過(guò)程，激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，不僅培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思考和解決問(wèn)題的意識(shí)，也激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，為他們后續(xù)更深入地學(xué)習(xí)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化奠定了基礎(chǔ)。

二、妙用數(shù)形結(jié)合探索策略，培養(yǎng)創(chuàng)新思維

數(shù)學(xué)是思維翱翔的翅膀，發(fā)散思維是學(xué)生思維創(chuàng)造力的具體表現(xiàn)，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)的重要目標(biāo)。鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維，不能只靠“填鴨式”的傳統(tǒng)教學(xué)方法，教師應(yīng)該結(jié)合多種教學(xué)方法，在潛移默化中提升學(xué)生的創(chuàng)新思維，而數(shù)形結(jié)合是鍛煉學(xué)生發(fā)散思維的一種有效方法。

實(shí)踐表明，數(shù)形結(jié)合只有和數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行深度結(jié)合，才能最大限度地激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維。筆者認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合應(yīng)貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的始終，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖、線段圖等方法，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化，鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度探究數(shù)量關(guān)系，從而在參與學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成創(chuàng)新思維。

以“雞兔同籠”問(wèn)題為例，筆者首先向?qū)W生展示問(wèn)題：“已知籠子里有若干只雞和兔子。從上面看，共有8個(gè)頭;從下面看，共有26只腳。請(qǐng)問(wèn)兔子和雞各有幾只？”在解答過(guò)程中，筆者啟發(fā)和鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用圖形來(lái)轉(zhuǎn)化上述問(wèn)題。這樣一來(lái)，學(xué)生的思維向深層發(fā)散，并積極參與到解答活動(dòng)中，學(xué)生們娓娓道出了不同的解題策略。

策略一：有8個(gè)頭就有8只動(dòng)物，假設(shè)全是雞，每只雞有兩只腳，這樣就有16只腳，將多余的10只腳給部分雞添上，變成了兔子，得到有5只兔子和3只雞（如圖2所示）。

策略二：先畫8只兔，每只兔有4只腳，這樣就有32只腳，將多余的6只腳去掉，同樣得到有5只兔子和3只雞（如圖3所示）。

數(shù)形結(jié)合思想主要是抓住了數(shù)與形之間的聯(lián)系，借助直觀形象的模型理解抽象的數(shù)量關(guān)系，有效培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

又如在教學(xué)“打折與策略”時(shí)，筆者出示以下問(wèn)題：“圣誕節(jié)期間，張老師準(zhǔn)備買一臺(tái)800元的微波爐，李老師準(zhǔn)備買一臺(tái)300元的豆?jié){機(jī)。商場(chǎng)此時(shí)正好進(jìn)行折扣促銷活動(dòng)：對(duì)于一次性消費(fèi)500元以上的，500元以上的部分有9折優(yōu)惠。于是，張老師和李老師合在一起購(gòu)買了各自需要的東西，請(qǐng)問(wèn)兩位老師一共節(jié)約了多少元錢？”學(xué)生們?cè)诜e極思考之后，踴躍發(fā)言，并且講解了自己的解答方法。

策略一：先求出分開購(gòu)買所需要的錢，500+（800-500）×90%+300=1070（元）;再求出合著買所需要的錢：500+（800+300-500）×90%=1040（元）;最后省的錢數(shù)是1070-1040=30（元）。

策略二：合著買與分開買的區(qū)別在于：少花了300元的（1-90%），即300×（1-90%）=30（元）。部分學(xué)生不能理解策略二的求法，所以筆者適時(shí)地讓學(xué)生用畫圖的方法分別表示兩位教師分開買和合著買（如圖4所示）。

通過(guò)圖形的轉(zhuǎn)化，學(xué)生建立了直觀的數(shù)量關(guān)系認(rèn)識(shí)，省錢的部分其實(shí)就在于超過(guò)500元部分的10%。通過(guò)以上教學(xué)，學(xué)生利用線段圖進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中巧妙地解決了問(wèn)題，啟迪了思維。這種數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的過(guò)程既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維。

三、善用數(shù)形結(jié)合拓寬思路，提升創(chuàng)新能力

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問(wèn)題本身更重要?！睌?shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非只是簡(jiǎn)單的知識(shí)累加過(guò)程，其本質(zhì)在于不斷發(fā)掘和探究新知識(shí)。數(shù)形結(jié)合就是這樣一種方法，它可以幫助學(xué)生從全新的角度解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神。尤其是在解決較為復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí)，恰當(dāng)?shù)亟柚靶巍保兄趯W(xué)生抓住數(shù)與量的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)形結(jié)合思想付諸實(shí)踐，以數(shù)的簡(jiǎn)潔研究形，以形的直觀表達(dá)數(shù)，促使學(xué)生的形象思維與抽象思維協(xié)同發(fā)展。

如在解答“歸一問(wèn)題”的過(guò)程中，筆者特意設(shè)計(jì)了這樣一道題目：“已知買3支鋼筆需要18元，那么買9支鋼筆需要多少元錢？”在解答過(guò)程中，筆者要求學(xué)生用“□”代表一支鋼筆，通過(guò)圖形展示整個(gè)題目的意思，以了解學(xué)生對(duì)題目的理解程度。大部分學(xué)生所畫圖形如圖5所示：

學(xué)生先計(jì)算出每支鋼筆的價(jià)格：18÷3=6（元），再計(jì)算出9支鋼筆的總價(jià)格：6×9=54（元）。還有一些學(xué)生聯(lián)想到“倍”的相關(guān)知識(shí)，于是就有了圖6所示的表示方法：

學(xué)生先算出9支鋼筆是3支鋼筆的3倍，所以9支鋼筆的價(jià)錢是3支鋼筆價(jià)錢的3倍，即18×3=54（元）。學(xué)生在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，借助圖形的直觀性，理解了類似的“歸一問(wèn)題”，并有了兩條基本的思考路徑。通過(guò)這樣的解題方法不僅實(shí)現(xiàn)了知識(shí)與方法之間的縱橫聯(lián)系，還給學(xué)生提供了一個(gè)廣闊的思維空間，增強(qiáng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維。

又如在教學(xué)“長(zhǎng)方形面積的應(yīng)用”時(shí)，有這樣一道練習(xí)題：“一塊長(zhǎng)400米、寬100米的長(zhǎng)方形田地，如果長(zhǎng)不變，寬增加50米，它的面積增加多少公頃？”如果按照常規(guī)方法，學(xué)生需要先算出原來(lái)的面積是400×100=40000（平方米）=4公頃，再算出現(xiàn)在的面積是400×（100+50）=60000（平方米）=6公頃，所以增加的面積是6-4=2（公頃）。此時(shí)，筆者再引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合“形”畫出圖形進(jìn)行深層次思考（如圖7所示）：

學(xué)生觀察圖形，驚喜地發(fā)現(xiàn)增加的面積其實(shí)就是陰影部分長(zhǎng)方形的面積，即400×50=20000（平方米）=2公頃。數(shù)形結(jié)合能夠提高學(xué)生解決問(wèn)題的效率，讓學(xué)生多角度思考問(wèn)題，真正成為知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者和探究者。

總而言之，數(shù)形結(jié)合作為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新思維的重要方式，在整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中有著突出地位。教師應(yīng)深入鉆研教材，在教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合，從而全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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（作者單位：浙江省玉環(huán)市楚門中心小學(xué)）