馬文生，李方忠，陳平偉，李長波，李忠剛

(1.重慶水泵廠有限責(zé)任公司總經(jīng)辦， 重慶 400033; 2.重慶機集團博士后科研工作站，重慶 400033;3.北京化工大學(xué) 機電工程學(xué)院， 北京 100029; 4.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院, 哈爾濱 150001)

據(jù)有關(guān)資料統(tǒng)計表明，約60%的旋轉(zhuǎn)機械振動故障由軸系不對中引起或與之相關(guān)[1-6]。隨著科學(xué)技術(shù)的進步和工業(yè)不斷發(fā)展，旋轉(zhuǎn)機械朝著大功率、高轉(zhuǎn)速、高精度、高溫和重載的方向發(fā)展，由于這些特殊工作環(huán)境，對聯(lián)軸器的功能與作用提出了更新、更高的要求，除了連接兩個軸段，傳遞扭矩和動力外，有時還要求其具有補償兩軸段的相對偏移，起到減振、緩沖的作用，不僅要求提高傳動精度及效率，而且要求降低噪聲，達到節(jié)能的目的，還要優(yōu)化轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工作性能。當(dāng)連聯(lián)軸器發(fā)生不對中故障時，轉(zhuǎn)子容易發(fā)生如下故障：振動過大、軸變形、油膜振蕩和軸承損壞等，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)危害較大。隨著旋轉(zhuǎn)機械的設(shè)計規(guī)范和設(shè)計要求的提高，轉(zhuǎn)子和靜子之間的間隙也逐漸變小，聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生不對中故障時，聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受到的影響也較大[7-13]。

1 不對中力學(xué)模型建立

齒式聯(lián)軸器可以由左套齒和右套齒組成，左半套齒聯(lián)軸器和右半套齒聯(lián)軸器設(shè)計軸心線和連個套齒的軸心線重合時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對中較好，這是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸向不對中力較小，進而不考慮轉(zhuǎn)子的軸向振動，并且齒式聯(lián)軸器可以對軸向位移進行補償，可以假設(shè)這種情況聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是對中的。當(dāng)左半套齒聯(lián)軸器和右半套齒聯(lián)軸器設(shè)計軸心線和連個套齒的軸心線不重合時，此時聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有一定的徑向不對中量，如圖1所示，本文模型只有研究平行不對中引起的非線性動力學(xué)問題。

圖1 聯(lián)軸器平行不對中

建立具有聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程，需要確定聯(lián)軸器的模型，簡化后聯(lián)軸器模型如圖1所示。聯(lián)軸器轉(zhuǎn)子系統(tǒng)采用有限元梁單元建模，首先把聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)系統(tǒng)分為若干個節(jié)點，每個節(jié)點之間采用軸段連接到一起，將軸段和結(jié)點分別建立相對應(yīng)的方程，匯總所有軸段和節(jié)點的方程，最終得到整個轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程。通過選取支承處到聯(lián)軸器的軸段，并對該部分的齒式聯(lián)軸器進行等效處理，將左半套齒聯(lián)軸器和右半套齒聯(lián)軸器等效為左、右兩個節(jié)點，假設(shè)等效后的左右半套齒聯(lián)軸器的兩個節(jié)點為O1和O2，將左、右半聯(lián)軸器的質(zhì)量集中到假設(shè)的左右半聯(lián)軸器的兩個節(jié)點上。由于支承處到聯(lián)軸器的軸段距離較短，可以認為是剛性軸段，此時左、右兩個半聯(lián)軸器作柱形渦動。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)兩端支承假設(shè)采用彈性支承，其剛度分別取k1和k2。假設(shè)聯(lián)軸器引起的不對中量為δ，在聯(lián)軸-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高速運轉(zhuǎn)時，齒式聯(lián)軸器具有一定限位功能，假設(shè)左、右兩個半聯(lián)軸器在高速運轉(zhuǎn)過程中，一直保持著不對中量δ。

1.1 聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的能量方程

1.1.1 聯(lián)軸器轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的系統(tǒng)動能

左、右兩個齒式半聯(lián)軸器的型心坐標是O1(x1,y1)和O2(x2,y2)如圖2所示，左邊齒式半聯(lián)軸器存在著一定偏心量e，而右側(cè)齒式半聯(lián)軸器偏心量為0。假設(shè)聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動角速度為Ω，初相位為0，左半聯(lián)軸器的質(zhì)心為C1，右半聯(lián)軸器的型心與質(zhì)心重合，質(zhì)心坐標向量分別為：

(1)

圖2 半齒聯(lián)軸器截面坐標

(2)

故系統(tǒng)的動能為：

(3)

在上式中，左邊聯(lián)軸器在節(jié)點處的等效質(zhì)量為m1，右半聯(lián)軸器在節(jié)點處的等效質(zhì)量為m2，左半聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)動慣量為J1，右半聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)動慣量為J2，對時間t求導(dǎo)為“·”。

兩個半聯(lián)軸器在運轉(zhuǎn)過程中，一直保持著固定的不對中量δ，故兩個半聯(lián)軸器之間滿足約束方程：

(x1-x2)2+(y1-y2)2=δ2

(4)

將型心O2投影到型心O1的平面上，將型心O2的坐標用型心O1的坐標表示，由式(4)得到

(5)

以坐標平面上的型心O1中心，建立相應(yīng)的動坐標系η、ξ，建立的動坐標系以轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)角速度Ω圍繞著對應(yīng)的固定坐標系x、y轉(zhuǎn)動，其運轉(zhuǎn)方式如圖3所示，得到φ=Ωt+θ，故用x1、y1和θ表示的O2的坐標位置：

(6)

將式(5)代入到式(6)得到系統(tǒng)的動能表達式：

(7)

圖3 聯(lián)軸器型心運轉(zhuǎn)方式

1.1.2 聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的勢能

齒式聯(lián)軸器和軸段為剛性連接，進而不考慮不考慮其重力勢能以及彈性勢能，假設(shè)聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)兩端的支承為彈性支承，其間的軸段運動形式為柱形渦動，獲得聯(lián)軸器的型位移和支承的徑向位移具有相同的方向和大小,U表示聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)德勢能，聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的勢能只有支承位置的彈性勢能，其勢能為：

(y1-δsin(Ωt+θ)2]

(8)

1.1.3 系統(tǒng)的耗散能

系統(tǒng)的能量耗散可以用Rayleigh耗散函數(shù)ψp表示：

(9)

在式中，左齒式半聯(lián)軸器的黏性阻尼系數(shù)為c1，右齒式半聯(lián)軸器的黏性阻尼系數(shù)為c2。

將式(5)代入式(9)得到O1的坐標和θ表示Rayleigh耗散函數(shù)ψp：

(10)

1.2 不對中動力學(xué)方程

運用拉格朗日方程，考慮系統(tǒng)存在不平衡力，由此得到系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程組：

(11)

(12)

由z=A-1F可以得到方程：

(13)

聯(lián)軸器的結(jié)構(gòu)通常為對稱式，假設(shè)質(zhì)量m1=m2=m，左半齒半聯(lián)軸器剛度等于右半齒聯(lián)軸器的剛度，令k1=k2=k，假設(shè)左半齒聯(lián)軸器存在一定阻尼，而右半齒聯(lián)軸器不存在黏性阻尼，c2=0，c1=c，令x1=x、y1=y。獲得式(13)，得：

(14)

對聯(lián)軸器的動力學(xué)方程進行無量綱化處理，令X=x/δ、Y=y/δ、τ=Ωt，式(14)化為：

(15)

式中，X′、X″、Y′、Y″、θ′、θ″分別表示對τ的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

2 不對中和不平衡對系統(tǒng)響應(yīng)的影響

圖時X響應(yīng)圖

圖5 X的幅值譜圖

3 結(jié)論

帶有聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在低轉(zhuǎn)速運轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量激起的不平衡力和不對中激起的不對中力共同作用于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，其運動形式為擬周期運動，轉(zhuǎn)子不平衡量引起的激勵力隨轉(zhuǎn)速增大而增大，而不對中激起的不對中力影響逐漸變小，聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變?yōu)橐曰緸橹鞯膯沃芷谶\動形式。聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)也與不平衡量和不對中比值有關(guān)，當(dāng)不對中和不平衡的比值較大時，聯(lián)軸器不對中對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響明顯，當(dāng)不平衡量和不對中量的比較大時，不平衡對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響明顯。