陳永健 馮仁杰 程鵬月 劉 錦 趙 琦

(河北建筑工程學(xué)院，河北 張家口 075000)

管道內(nèi)的流體，由于流體流經(jīng)變徑結(jié)構(gòu)時(shí)會(huì)產(chǎn)生局部阻力損失，這是因?yàn)榱鲃?dòng)邊界條件改變，而流體沒有及時(shí)的改變，會(huì)產(chǎn)生一定的旋渦，由于旋渦的產(chǎn)生會(huì)造成局部阻力損失[1]，本文在最小作用量原理基礎(chǔ)上，提出了一種減小局部阻力損失的方法即通過找到流體流經(jīng)減阻結(jié)構(gòu)時(shí)的流線方程，改變流體的外部邊界形狀，使得邊界形狀與流體流線最大限度重合，減小流體流經(jīng)變徑的局部阻力損失，如何根據(jù)最小作用量原理找到流體流經(jīng)變徑結(jié)構(gòu)的流線方程，是本文的重點(diǎn)。

1 最小作用量原理的一般表述

自然界中各種類型的宏觀現(xiàn)象(例如：力學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)等現(xiàn)象)[2]在一切實(shí)際現(xiàn)象的發(fā)生過程中，始終滿足:

最小作用量原理有兩個(gè)層次的應(yīng)用，第一個(gè)層次就是描述物理過程基本規(guī)律的原理，即一般用變分的形式將偏微分方程形式的規(guī)律統(tǒng)一起來；第二個(gè)層次則是根據(jù)基本規(guī)律用來實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際物理過程優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制。

2 減阻方法的提出

最小作用量原理現(xiàn)在已經(jīng)成為物理學(xué)研究方法中的最基本的方法，也是科學(xué)家研究宇宙問題時(shí)最簡單明了的基本準(zhǔn)則，更是描述客觀事物規(guī)律的一種方法[3]。即認(rèn)為所有的動(dòng)力學(xué)體系均可以用作用量方式來描述，通過作用量取極值來確定。認(rèn)為作用量最小的那個(gè)，是物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)。而在費(fèi)曼路徑積分方法中，認(rèn)為粒子每一條路徑的權(quán)重其實(shí)是這條路徑的作用量所決定的，但這是量子體系的描述，不能說體系中挑選了某一條最近的路徑，而是所有的路徑都對(duì)動(dòng)力學(xué)作了貢獻(xiàn)。我們不用考慮是否是作用量最小，只知道在作用量取得極值時(shí)，就代表了物體實(shí)際的運(yùn)動(dòng)過程[4]。

最小作用量原理反映了事物的變化在運(yùn)動(dòng)路徑上所遵循的規(guī)律。由于最小作用量原理的簡單和普遍適用特性，我們?cè)趹?yīng)用最小作用量原理的思想研究流體質(zhì)點(diǎn)通過變徑問題時(shí)，通過使用最小作用量方法來觀察流體質(zhì)點(diǎn)所走的路徑，并找到流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的真實(shí)路徑而不是其他的路徑。我們不僅要考慮流體質(zhì)點(diǎn)從A到B可能走的所有路徑，而且還要考慮它走這一段路程的所有可能的形式。我們可以把在一定時(shí)間內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)走過這一路徑的每一種特定形式定義為一個(gè)“經(jīng)歷”。通過定義相關(guān)作用量變化的函數(shù)，然后算出一給定流體質(zhì)點(diǎn)在任一經(jīng)歷下的作用量，我們就完全掌握住了這個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況。當(dāng)我們找到變徑時(shí)的作用量函數(shù)時(shí)，根據(jù)最小作用量原理可以知道，它不同于一般泛函數(shù)(簡單的說，泛函的定義域是函數(shù)集，值域是數(shù)集，即泛函是從函數(shù)空間到數(shù)域的一個(gè)映射)取最值原理，我們按照費(fèi)曼的解讀可以知道，最小作用量原理不要求泛函數(shù)取得最大值或者最小值，甚至不需要取得極大值或極小值，僅僅取得駐值就有可能代表了真實(shí)的物理過程。也就是說當(dāng)此函數(shù)取極值時(shí)，我們就可以確定流體流過變徑區(qū)域的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡，然后通過改變固體邊界保證流體流動(dòng)軌跡與固體邊界完全重合時(shí)，或者盡最大可能重合時(shí)，使得流體流過變徑區(qū)域既沒有碰擊，又無因脫離而產(chǎn)生的附加能量損失，從而使得流體通過變徑區(qū)域的阻力最小。這即是通過最小作用量原理提出減阻方法的核心思想。

在研究流體變徑問題時(shí)，只需要找到作用量方程即拉格朗日函數(shù)，而無需參照特別的坐標(biāo)系，這是我們通常使用牛頓定律研究力學(xué)所不具有的。它表現(xiàn)形式更加簡單，幾乎一個(gè)簡潔的的公式就可以求解所有的力學(xué)量。盡管和牛頓運(yùn)動(dòng)定律表現(xiàn)形式不同，但是它們之間是等價(jià)的。

3 定義作用量函數(shù)

我們可以知道，理想不可壓縮流體恒定流元流能量方程為:

我們把前兩項(xiàng)相加，以Hp表示：

其中，Hp為元流斷面測壓管水面相對(duì)于基準(zhǔn)面的高度，稱為測壓管水頭，表明單位重量的流體具有的勢能稱為單位勢能。

三項(xiàng)相加，以H表示：

其中，H為總水頭，表明單位重量的流體具有的總能量，稱為單位總能量。

根據(jù)元流能量方程式，我們可以知道理想不可壓縮流體恒定元流中，各斷面總水頭相等，單位重量的總能量保持不變。元流能量方程式，確立了在一元流動(dòng)中的動(dòng)能和勢能，也確立了流速和壓強(qiáng)相互轉(zhuǎn)換的普遍規(guī)律。在流體變徑過程中我們只考慮動(dòng)能和壓能的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，為此我們可以根據(jù)元流能量方程式定義作用量的表達(dá)式方程。

定義拉格朗日函數(shù)：

定義時(shí)間的函數(shù)：

l(t)=t。

作用量為：

其中，δS為S的變分，我們可以知道只要使得：

δS=0。

我們即可求解出流體從A點(diǎn)到B點(diǎn)的真實(shí)路徑，即流體從A點(diǎn)到B點(diǎn)的真實(shí)路徑軌跡。

4 求解拉格朗日微分方程

已知條件:

xt1=xA。

xt2=xB。

即流體每條路徑都是從t1時(shí)刻從A點(diǎn)出發(fā)，在t2時(shí)刻到達(dá)B點(diǎn)，這些地點(diǎn)和時(shí)間都保持不變,如圖1所示。

為了進(jìn)一步解析方程我們可以設(shè)定幾個(gè)參數(shù)：

1)流體從A點(diǎn)流動(dòng)到B點(diǎn)的任意路徑是x′(t)，作用量是S′。

2)流體從A點(diǎn)到B點(diǎn)的真實(shí)路徑x(t)，作用量是S。

3)任意路徑與真實(shí)路徑的偏移量η(t)=x′(t)-x(t)表示任意路徑與真實(shí)路徑的微小差別。

在此基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行求解，只要使得在偏移量η的第一次近似上應(yīng)等于0:

η(t1)=0,η(t2)=0。

我們把參數(shù)帶入作用量公式可得：

那么通過真實(shí)路徑對(duì)此進(jìn)行表示作用量把:

x′(t)=η(t)+x(t)。

代入該作用量公式進(jìn)行替換那么我們可以得到這樣的一個(gè)表達(dá)式：

通過對(duì)其平方項(xiàng)進(jìn)行展開，我們可以得到：

對(duì)于最小偏移量η的二次項(xiàng)忽略不計(jì)，因此動(dòng)能的部分我們可以得到這樣的一個(gè)表達(dá)式：

對(duì)于二階和更高階η，忽略不計(jì)那么S為:

我們現(xiàn)在的問題是雖然我們不知道x(t)是什么，但是我們知道不管η是什么，但是我們知道δS=0，這一積分為總是為0，我們只要保證δS=0，即是得到最終曲線。

通過分部積分法可得：

由于η(t1)=0，η(t2)=0。積分結(jié)果為0。

據(jù)此我們得到了在流體通過變徑過程中的微分方程，只有對(duì)于滿足這微分方程的路線，也就是流體通過變徑時(shí)候的真實(shí)路徑。然后通過初始條件我們可以求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

5 結(jié)語

本文在流體中應(yīng)用最小作用量原理思想提出了變徑減阻的方法，介紹了最小作用量原理一般表述和應(yīng)用方法，最小作用量原理思想雖然和物理學(xué)中牛頓定律表現(xiàn)形式不同但是它們是等價(jià)的，最小作用原理比牛頓第二定律更加方便，最小作用量原理把尋找拉格朗日量作為出發(fā)點(diǎn)，推導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡滿足的微分方程，因此我們可以通過最小作用量原理推導(dǎo)出流體變徑時(shí)流體的真實(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡，由于流體動(dòng)力學(xué)研究的主要問題是流速和壓強(qiáng)在空間的分布，本次針對(duì)流體變徑中流線的分布，通過簡化物理模型，不同于以往用歐拉法來研究流體的流場而是應(yīng)用于用拉格朗日法來描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)找到流體變徑時(shí)的真實(shí)路徑。流體變徑時(shí)主要是壓能和動(dòng)能之間的相互轉(zhuǎn)化，為了應(yīng)用最小作用量原理思想到找到流體變徑時(shí)候的流體軌跡方程，把壓能和動(dòng)能轉(zhuǎn)化關(guān)系定義為作用量函數(shù)然后對(duì)其進(jìn)行求駐值，從而確定流動(dòng)的微分方程式，通過初始條件我們可以知道流體變徑時(shí)，流體真實(shí)的路徑，通過對(duì)流體進(jìn)行進(jìn)一步的分析，確定了減阻結(jié)構(gòu)的形狀，這樣我們?yōu)榱黧w通過變徑結(jié)構(gòu)時(shí)提供了理論基礎(chǔ)也為以后的變徑結(jié)構(gòu)提供了設(shè)計(jì)依據(jù)。