周衛(wèi)東

[摘 要]高觀點(diǎn)的視角，即站在學(xué)科結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的寬度，立在知識(shí)性與思想性相統(tǒng)一的高度，處在知識(shí)抽象性、概括性、包容性等的厚度，使知識(shí)呈現(xiàn)高低度、縱深度與寬窄度有機(jī)地構(gòu)成的三維結(jié)構(gòu)。通過大概念統(tǒng)領(lǐng)、思想性包攝、結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)，促使小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)一派新的景象與新的生機(jī)。

[關(guān)鍵詞]高觀點(diǎn);大概念統(tǒng)領(lǐng);思想性包攝;結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）08-0001-02

德國著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家克萊因倡導(dǎo)“高觀點(diǎn)”，即從高等數(shù)學(xué)的角度來審視初等數(shù)學(xué)。高觀點(diǎn)給初等數(shù)學(xué)的教學(xué)帶來了生機(jī)與活力。藉此意蘊(yùn)，我認(rèn)為，所謂“高”者，即不一般、優(yōu)于常態(tài)也，高觀點(diǎn)視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，可以從內(nèi)容的縱深維度遷移到內(nèi)容的寬窄維度，推及到思想的高低維度等。

傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有著太多的疵議，比如，“只見樹木，不見森林”，教學(xué)中就題論題、就事論事，只看到單一的知識(shí)點(diǎn)而不及其他;比如，“只見皮囊，不見靈魂”，只重視知識(shí)、技能等知識(shí)“硬件”，對(duì)隱含在知識(shí)內(nèi)部的“軟件”無知覺，使數(shù)學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)“癱”著的狀態(tài)而“立”不起來;比如，“只重當(dāng)下，不念過往”，表現(xiàn)在教學(xué)中就是“斬頭去尾燒中段”，只對(duì)眼前的教學(xué)負(fù)責(zé)，對(duì)知識(shí)“從哪里來”“往何處去”不關(guān)注也不思考。

美麗的風(fēng)景在遠(yuǎn)方，在深處，在高點(diǎn)。數(shù)學(xué)教學(xué)呼喚一種新的視角、新的境界，迫切需要一種新的教學(xué)理念來引領(lǐng)。而高觀點(diǎn)的視角，可以站在學(xué)科結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的寬度，立在知識(shí)性與思想性相統(tǒng)一的高度，處在知識(shí)抽象性、概括性、包容性等的寬度，使知識(shí)呈現(xiàn)高低度、縱深度與寬窄度有機(jī)地構(gòu)成的三維結(jié)構(gòu)（如圖1），使小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)一派新的景象與新的生機(jī)。

一、大概念統(tǒng)領(lǐng)

高觀點(diǎn)視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首先體現(xiàn)為大概念統(tǒng)領(lǐng)。

大概念是美國教育心理學(xué)家奧蘇伯爾所說的上位知識(shí)，它位于學(xué)科知識(shí)金字塔的頂端，其抽象性、概括性、包容性最高，解釋力最強(qiáng)。借用生物學(xué)術(shù)語來說，大概念就是學(xué)科知識(shí)體系的內(nèi)核，它內(nèi)含遺傳密碼，最具再生力、生發(fā)力和預(yù)示力，是最具活性和繁殖性最強(qiáng)的一種知識(shí)類型，是其他知識(shí)得以生發(fā)與依附的主根。從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看，大概念是一個(gè)綱，綱舉目張;是一個(gè)組織者，整合所學(xué)的知識(shí);是一根紅線，把知識(shí)串起來。如果說學(xué)科知識(shí)體系是“鷹架”式結(jié)構(gòu)，那么，大概念就是撐起這一“鷹架”的支點(diǎn)，抓住了大概念，學(xué)科的其他知識(shí)和相應(yīng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)就可以被提起來?？梢哉f，大概念是整個(gè)學(xué)科學(xué)習(xí)活動(dòng)的連心鎖，是賦予學(xué)習(xí)活動(dòng)整體性的關(guān)鍵。

比如，“用字母表示數(shù)”就是一個(gè)大概念。它是代數(shù)學(xué)習(xí)的起始階段和重要環(huán)節(jié)，理解用字母表示數(shù)的意義是運(yùn)用代數(shù)式、方程、正反比例等進(jìn)行交流的前提條件，是形成符號(hào)意識(shí)和代數(shù)思維的關(guān)鍵，可以用圖2表示。

通過該內(nèi)容的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷由字母表示數(shù)、由日常語言表示數(shù)量關(guān)系到用符號(hào)語言表示數(shù)量關(guān)系的抽象過程，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一次跨越，也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)乃至其他數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。

再比如，分?jǐn)?shù)知識(shí)中的單位“1”也是一個(gè)大概念。對(duì)于“分?jǐn)?shù)的意義”這一課，很多教師對(duì)單位“1”的理解往往局限于教材，從文本出發(fā)，依次呈現(xiàn)“一個(gè)物體”“一個(gè)計(jì)量單位”“多個(gè)物體”三種素材中具體分?jǐn)?shù)的含義，然后進(jìn)行統(tǒng)整：“無論是一個(gè)物體、多個(gè)物體，還是一個(gè)計(jì)量單位，都有一個(gè)共同的名稱，就叫單位‘1，通常用自然數(shù)‘1來表示。”這種“只見樹木，不見森林”式的教學(xué)，學(xué)生對(duì)單位“1”的理解不具有多少“生長(zhǎng)性”。我們不妨換一個(gè)視角：出示6個(gè)同樣大小的正方形，并引發(fā)學(xué)生思考：“這些正方形該用什么數(shù)來表示呢？”學(xué)生展開想象，在充分的討論和爭(zhēng)辯中，形成“6個(gè)正方形可以用任何數(shù)來表示，關(guān)鍵看我們把多少個(gè)正方形看成‘1，‘1變了，這些正方形表示的數(shù)也就變了” 的共識(shí)，從而理解了單位“1”的本質(zhì)：“整數(shù)就是單位‘1的疊加，有幾個(gè)單位‘1，就可以用整數(shù)幾來表示;如果不滿1個(gè)單位‘1，或者比幾個(gè)單位‘1還多一小部分時(shí)，就用分?jǐn)?shù)來表示。”這樣，單位“1”就跳出了一般性定義，成為一個(gè)被比的標(biāo)準(zhǔn)，像一把“尺子”，在“度量意義”的視角下被賦予更深層的含義，充分體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的重要內(nèi)涵，即它的無量綱性。

二、思想性包攝

高觀點(diǎn)視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該能看到知識(shí)深層的思想方法。

學(xué)科思想是學(xué)科知識(shí)中的“隱性內(nèi)容”，是學(xué)科專家提出的對(duì)學(xué)科發(fā)展和學(xué)科學(xué)習(xí)最具影響力的那些觀念和見解，是知識(shí)“背后”的知識(shí)，是學(xué)科的精髓與靈魂。它是學(xué)科思維的“軟件”，基于學(xué)科知識(shí)，又高于學(xué)科知識(shí)，與學(xué)科知識(shí)具有不可分割的辯證關(guān)系。因此，如何引導(dǎo)學(xué)生一起去找尋和發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、新的思維方法是數(shù)學(xué)教學(xué)所面臨的最大挑戰(zhàn)，因?yàn)槿绻麅?nèi)容選不準(zhǔn)，不僅會(huì)浪費(fèi)師生寶貴的學(xué)習(xí)時(shí)間，而且會(huì)錯(cuò)失和貽誤學(xué)生智慧生長(zhǎng)的“黃金期”。

首先，從整體上構(gòu)建教材中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的立體框架。比如蘇教版教材“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這一課，如果“就事論事”進(jìn)行淺表性分析，似乎很難看出其中的思想內(nèi)核，但若能走進(jìn)教材的深處，就可以數(shù)學(xué)思想為紐帶串起整節(jié)課：在復(fù)習(xí)了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的計(jì)算后，讓學(xué)生直接嘗試“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的算式并講明道理，然后引發(fā)學(xué)生思考：“老師翻看了后面的教材，在四年級(jí)學(xué)完了三位數(shù)乘兩位數(shù)之后，不再有四位數(shù)乘兩位數(shù)或三位數(shù)乘三位數(shù)了，這是為什么？”通過這樣的問題讓學(xué)生明白，所有多位數(shù)的乘法都遵循一種運(yùn)算思想，那就是“先分后合”，無論運(yùn)算步數(shù)如何變化，其中的思想原理是不變的。

其次，讓數(shù)學(xué)思想有機(jī)融合在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程中。比如，人教版教材一年級(jí)上冊(cè)第110頁的習(xí)題：

雖然這些題目只是要求學(xué)生在空格中填進(jìn)一個(gè)合適的數(shù)，但教師應(yīng)該明白，若把□換成x，則上面的題目就變成了不等式，這時(shí)x就是一個(gè)變?cè)?hào)，就會(huì)有一定的取值范圍，這一個(gè)“位置占有者”的作用就會(huì)凸顯。例如，引導(dǎo)學(xué)生思考問題：“□內(nèi)最大能填幾？最小呢？最多能填幾個(gè)數(shù)？”同樣，在此基礎(chǔ)上還應(yīng)進(jìn)一步深化：“□+○[<]7，可以填些什么數(shù)？”這樣的處理，能更好地滲透“符號(hào)變?cè)边@一數(shù)學(xué)思想。

三、結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)

高觀點(diǎn)視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)還應(yīng)該能看到知識(shí)內(nèi)在的結(jié)構(gòu)。

學(xué)科之所以為學(xué)科，而不是簡(jiǎn)單概念與知識(shí)要點(diǎn)的堆砌，其中非常重要的原因就在于學(xué)科知識(shí)之間存在著不可割裂的內(nèi)在聯(lián)系。

所謂結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)單地說，就是事物之間的聯(lián)系，它表現(xiàn)為組織形式和構(gòu)成秩序。從靜態(tài)看，學(xué)科知識(shí)應(yīng)該形成經(jīng)緯交織、融會(huì)貫通的立體網(wǎng)絡(luò)。從動(dòng)態(tài)看，學(xué)科知識(shí)應(yīng)該形成一個(gè)自我再生力非常強(qiáng)大的開放系統(tǒng)，以充分挖掘?qū)W科知識(shí)結(jié)構(gòu)區(qū)別于科學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的特有的功能。為此，教師必須合理設(shè)計(jì)教學(xué)，使教學(xué)前后內(nèi)容互相補(bǔ)充、自然推演，編織一個(gè)具有生命力的、處于運(yùn)動(dòng)中的思維網(wǎng)絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)各個(gè)概念的實(shí)質(zhì)，掌握蘊(yùn)含在各個(gè)概念相互關(guān)系中的思維模式。

比如，乘法的三個(gè)運(yùn)算律（乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律）之間是有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的，其本質(zhì)是一致的，都是乘法意義的外在呈現(xiàn)。因此，教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，有教師通過一張點(diǎn)子圖（如圖3）巧妙地將這三個(gè)運(yùn)算律進(jìn)行了統(tǒng)整：讓學(xué)生在點(diǎn)子圖上把“4×6=6×4”“4×3×2=4×（3×2）”“（5+1）×4=5×4+1×4”三道算式的運(yùn)算過程表示出來，然后通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)“無論是乘法交換律、乘法結(jié)合律還是乘法分配律，都求的是‘幾個(gè)幾是多少，都是根據(jù)乘法的意義衍生出來的”。

再比如，“空間與圖形”領(lǐng)域中“圖形與位置”的相關(guān)內(nèi)容主要包括：（1）二年級(jí)用“第幾排第幾個(gè)”等方式描述物體的位置;（2）五年級(jí)用“數(shù)對(duì)”表示方格圖上點(diǎn)的位置;（3）六年級(jí)用“方向和距離”表示平面圖上點(diǎn)的位置。這三個(gè)內(nèi)容雖然處于不同的教學(xué)層次，但內(nèi)在的數(shù)學(xué)本質(zhì)是一致的，即都與“方向”“距離”這兩個(gè)要素密切相關(guān)。因而，教學(xué)“用數(shù)對(duì)確定位置”時(shí)，教師不僅應(yīng)該看到它的“今生”，還該看到它的“前世”與“后世”，即“它從哪里來”“將往哪里去”。為此，我創(chuàng)設(shè)了“小鴨在哪里”的教學(xué)情境，通過一維的“小鴨是怎么走的”的回憶，勾勒出全課的基調(diào)，即一個(gè)點(diǎn)的位置，既與方向有關(guān)，又跟“數(shù)”有關(guān)。在數(shù)對(duì)教學(xué)完畢時(shí)，再對(duì)知識(shí)的形成過程進(jìn)行反溯，讓學(xué)生感受到，數(shù)對(duì)也是方向與距離的衍生物，只不過在數(shù)量上由一個(gè)變成了兩個(gè)（如圖4）。在課尾，通過“要是小鴨潛到了水里，該怎么確定它的位置呢？”的追問，聯(lián)結(jié)到三維空間里點(diǎn)的位置的確定，引導(dǎo)學(xué)生大膽想象，在學(xué)生朦朦朧朧的感覺中教學(xué)“戛然而止”。

此時(shí)，在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，若隱若現(xiàn)留下的，是知識(shí)的全貌，是結(jié)構(gòu)的雛形，更是朝向未來知識(shí)世界的美好。

（責(zé)編 金 鈴）