翁海平 王瑛

[摘 要]平行線的定義以及畫法一直是教學(xué)的難點(diǎn)。從多個(gè)方面分析出現(xiàn)此類現(xiàn)象的原因，通過思考現(xiàn)行教材對平行線的定義是否合理，該如何定義，以及如何溝通定義與平行線畫法之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立正確的平行概念，讓學(xué)生從概念出發(fā)去理解平行線的畫法，讓畫平行線不再是機(jī)械的模仿。

[關(guān)鍵詞]平行;畫平行線;合理定義;教材重組;溝通聯(lián)系

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）08-0016-02

“垂直與平行”是小學(xué)幾何學(xué)習(xí)，尤其是四邊形知識(shí)中的一個(gè)重要內(nèi)容。為此，無論哪個(gè)版本的教材，對這個(gè)內(nèi)容都非常重視，編寫也各具特色。下面列舉了幾個(gè)版本教材對這一內(nèi)容不同的處理方式。（見下表）

[ 教學(xué)內(nèi)容安排 平行線的定義 人教版實(shí)驗(yàn)

教材 平行與垂直;畫垂線;畫平行線。 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行。 蘇教版實(shí)驗(yàn)

教材 平行;畫平行線;垂直;畫垂線。 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行。 現(xiàn)代小學(xué)新數(shù)學(xué)讀本 相交與垂線;畫垂線;平行和平行線。 在同一平面內(nèi)，不相交的兩直線叫作平行線。 上海二期課改教材 垂直;畫垂線;平行;畫平行線。 垂直于同一條直線l的兩條直線a和b，它們之間的距離是相等的，也就是它們之間的寬是一樣的，它們是互相平行的。 西南師大版教 材 垂直;畫垂線;平行;畫平行線。 在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫作平行線，組成平行線的兩條直線互相平行。 新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材 在平移的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)平行;相交與垂直。 只是從生活模型中抽象出平行的兩條直線，沒有定義，只說鉛筆平移后是互相平行的。 ]

結(jié)合教材的演變，將幾套教材進(jìn)行對比分析，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)特點(diǎn)：

1.對同一教學(xué)內(nèi)容安排的教學(xué)順序各不相同。西南師大版教材、現(xiàn)代小學(xué)新數(shù)學(xué)讀本、上海二期課改教材都是先教學(xué)垂線和畫垂線，再教學(xué)平行線和畫平行線。而新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材是在平移的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)平行。其他幾個(gè)版本的教材都是先教學(xué)平行和垂直的概念，再教學(xué)畫垂線和平行線。

2.對平行的定義也有不同之處。如西南師大版教材、人教版教材、蘇教版教材、現(xiàn)代小學(xué)新數(shù)學(xué)讀本均采用“同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行”來定義。現(xiàn)代小學(xué)新數(shù)學(xué)讀本在西南師大版教材的基礎(chǔ)上，明確提出“兩條平行線之間的距離處處相等”。上海二期課改新教材是從兩條直線間的距離相等來定義的，繞開“平面”的概念：“像這樣垂直于同一條直線的兩條直線，它們之間的距離是相等的，也就是它們之間的寬是一樣的，它們是互相平行的。”而新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有給平行下定義，只是讓學(xué)生在感受生活和具體操作（平移鉛筆）中初步感受平行。

同樣教學(xué)“垂直與平行”，但在內(nèi)容設(shè)置以及概念的定義上，卻存在這樣大的差異，對于學(xué)生來說，學(xué)習(xí)難點(diǎn)又有哪些呢？人教版實(shí)驗(yàn)教材的教參是這樣描述的：這一單元涉及許多作圖的內(nèi)容，如畫垂線和平行線、畫長方形和正方形、畫平行四邊形和梯形的高等，對于四年級的學(xué)生來說，這些都有一定的難度。對此，筆者對已學(xué)過相關(guān)知識(shí)的222位五年級學(xué)生進(jìn)行了后測，后測數(shù)據(jù)如下：

從數(shù)據(jù)來看，學(xué)生對于這一單元技能操作掌握情況非常不錯(cuò)。為此，筆者對學(xué)生進(jìn)行了訪談，重點(diǎn)放在他們畫平行線和畫垂線的過程。訪談結(jié)果顯示，學(xué)生畫垂線的方法正確，而且92.5%的學(xué)生能清楚說明為什么利用三角板畫垂線——因?yàn)槿前逯杏鞋F(xiàn)成的直角，由此可知學(xué)生對垂線的學(xué)習(xí)比較到位。

隨后又對畫平行線正確的218人進(jìn)行了訪談。

從畫好的平行線的結(jié)果來看，正確率達(dá)到了98.20%，而從學(xué)生的操作方法來看，按照教材上提供的方法畫的學(xué)生有60.55%，用其他方法畫的學(xué)生約40%。對60.55%的學(xué)生做進(jìn)一步的訪談，發(fā)現(xiàn)他們基本不知道這樣畫出來的為什么是平行線，不知道這樣操作的本質(zhì)是什么。

一、思考

1.學(xué)生能真正理解“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行”嗎

小學(xué)屬于幾何概念的引入階段。國際上公認(rèn)：對幾何概念的引入處理，應(yīng)該讓兒童通過操作活動(dòng)或其他的一些行為來進(jìn)行，而這些操作活動(dòng)和行為必須是能夠幫助學(xué)生抽象出這一概念的。

大家都知道，歐氏幾何的平行公理是不能在實(shí)踐中檢驗(yàn)的。定義是由公理體系導(dǎo)出的，自然，平行線的定義“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”也無法通過操作活動(dòng)和行為來使學(xué)生理解。因?yàn)閷W(xué)生無法每次都準(zhǔn)確地延長一條直線至隨心所欲的長度，因此雖然知曉延長的含義，但“任意延長，永不相交”卻無法在具體的活動(dòng)中實(shí)踐，也就是無法通過操作抽象出“平行”的概念。由此，在小學(xué)階段對平行線所下的“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫作平行線”這一定義是不妥當(dāng)?shù)摹?/p>

“平面”是中學(xué)才出現(xiàn)的概念，即使是初中的教材，也沒有下“平面”的定義，只能使用“教室的墻面，課桌的桌面，平靜的水面”“平面是平的，無邊無際”等來描述，以使學(xué)生初步感知平面。顯然，小學(xué)教材中更不宜出示“平面”的正式定義。

2.應(yīng)該如何合理定義

經(jīng)過數(shù)十年對“如何進(jìn)行‘平行概念的教學(xué)”的研究，多數(shù)人認(rèn)為在四五年級進(jìn)行“平行”概念的教學(xué)時(shí)，需要一個(gè)切實(shí)可行的、能夠從具體活動(dòng)中抽象出“兩條直線互相平行”的活動(dòng)。歐洲和亞洲的大部分國家的專家都認(rèn)為：在平面幾何學(xué)中，此定義確實(shí)是可操作的定義。德國、日本、韓國以及中國臺(tái)灣對平行線的定義大致有兩種處理方法：第一種是用“像這樣（在同一紙面上）垂直于同一直線的兩條直線是平行的”，第二種是用“兩條直線總是有相同的距離，則這兩條直線是平行的”。筆者更傾向于第二種，因?yàn)閮蓷l直線距離處處相等是平行的本質(zhì)特征，要判斷兩條直線是否平行，就先要?jiǎng)邮譁y量它們之間的距離，然后進(jìn)一步在操作的基礎(chǔ)上抽象出概念。

3.溝通平行線的定義和平行線的畫法之間的聯(lián)系

正確畫平行線的一般步驟是：（1）固定三角尺，沿一條直角邊先畫一條直線;（2）用直尺緊靠三角尺的另一條直角邊，固定直尺，然后平移三角尺;（3）再沿第一步中的直角邊畫出另一直線。為了讓學(xué)生更好地掌握平行線的畫法，教師在教學(xué)過程中通常把畫平行線的步驟簡縮為三步：（1）靠;（2）移;（3）畫。這三個(gè)步驟看起來容易，學(xué)生掌握起來卻很難，總需要教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)才學(xué)會(huì)畫平行線。筆者對畫法正確的學(xué)生進(jìn)行了訪談：“你怎么知道這樣畫出的直線就是已知直線的平行線？”學(xué)生均回答：“老師說的?！庇纱丝梢?，現(xiàn)行教材中建立起來的平行概念和平行線的畫法不利于學(xué)生理解操作的本質(zhì)，他們只是依樣畫瓢，機(jī)械操作。真可謂知其然而不知其所以然。

因此，從平行線的本質(zhì)下定義“兩條直線間的距離相等，這兩條直線是互相平行的”，然后利用這個(gè)定義去溝通畫平行線的方法，讓學(xué)生理解操作的本質(zhì)，知道畫已知直線的平行線其實(shí)就是畫一條和已知直線距離處處相等的直線，這樣教學(xué)將有助于學(xué)生更好地理解平行的概念以及畫法。

二、實(shí)踐

有了對“垂直與平行”后測數(shù)據(jù)的分析以及對各教材的深入理解和把握，筆者進(jìn)行了教學(xué)嘗試。

1.教學(xué)目標(biāo)的合理定位

既然學(xué)生無法想象延長兩條直線，以及無法理解平面的概念，筆者就將平行線的概念定義為“兩條直線間的距離相等，這兩條直線是互相平行的”，讓學(xué)生在直觀的操作中理解平行，再建立起畫平行線和平行概念之間的聯(lián)系，讓學(xué)生從真正意義上理解平行。

2.教材重組

平行線的定義要講到距離，也就說垂直和畫垂線是學(xué)習(xí)平行線的基礎(chǔ)。因此，筆者對教材的內(nèi)容進(jìn)行了重組，將垂直的概念和畫垂線放在平行教學(xué)之前。先教學(xué)垂直的概念，以及用直尺畫垂線，再教學(xué)平行線的概念和畫法。這樣教學(xué)可以避免第一課時(shí)純概念課教學(xué)時(shí)間緊張以及學(xué)生難以接受等問題。

3.教學(xué)過程

（1）引出平行線

教師出示第①組直線，提問：“這組直線中藏著一個(gè)秘密。你能找出來嗎？”

雖然學(xué)生較難說出這組直線里藏著的秘密，但已經(jīng)開始思考。教師接著出示第②組直線，引導(dǎo)學(xué)生比較：“兩組直線有什么不同？”有了第②組直線做依托，學(xué)生會(huì)猜第①組直線之間的距離處處相等，然后畫多條垂線，量得這兩條直線間的距離總是相等。此時(shí)教師再用多媒體動(dòng)態(tài)演示這兩組直線延長后的情況，得出定義：“像這樣，兩條直線間的距離相等，這兩條直線是平行的。”

（2）建立畫圖與概念之間的聯(lián)系

引出平行線的概念以后，教師應(yīng)該放手讓學(xué)生嘗試畫一組平行線。學(xué)生在嘗試過程中能找到多種畫平行線的方法。如利用直尺的兩條邊、本子上的平行格子、從平行線的定義出發(fā)等。接著，教師讓學(xué)生畫出距離5厘米的一組平行線，學(xué)生自然能發(fā)現(xiàn)利用直尺的兩條邊和本子上的平行格子畫平行線方法上的缺陷。教師進(jìn)一步詢問：“從平行線的定義出發(fā)畫的兩條直線真的一定互相平行嗎？”使學(xué)生明白這種簡便方法的操作原理是什么。

教學(xué)結(jié)束后，對我校四年級的四個(gè)班的學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)：55.9%的學(xué)生通過畫直線的兩條相等的垂線來畫平分線;22.7%的學(xué)生借助了尺子的兩條平行邊畫平行線;5.9%的學(xué)生在課前已經(jīng)知道畫平行線的步驟，他們是按照書上方法畫出平行線;15.5%借助了數(shù)學(xué)草稿本上的平行格子畫出平行線。

從數(shù)據(jù)來看，55.9%會(huì)嘗試著通過畫直線的兩條相等的垂線來畫平行線，足以說明學(xué)生對平行概念已有一定的理解和把握?？梢?，改變定義，從平行線的本質(zhì)入手，對學(xué)生將來的學(xué)習(xí)是有利的。

（責(zé)編 金 鈴）