胡蔡劼

【摘要】 本文通過(guò)在圖形認(rèn)識(shí)方法結(jié)構(gòu)視角下介紹正多邊形與正多角星的聯(lián)系，討論了正多邊形與正多角星的計(jì)算機(jī)繪制方法，并以編程貓（可視化編程）平臺(tái)為例，設(shè)計(jì)了繪制程序，將正多邊形、正多角星及空心正多角星的繪制方法統(tǒng)一起來(lái)，從中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.

【關(guān)鍵詞】 圖形認(rèn)識(shí)方法結(jié)構(gòu);計(jì)算機(jī)編程;正多邊形;正多角星

“圖形認(rèn)識(shí)方法結(jié)構(gòu)”指的是在認(rèn)識(shí)圖形的教學(xué)和學(xué)習(xí)過(guò)程中，采取的結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)方法和策略.以小學(xué)階段為例，圖形認(rèn)識(shí)一般包括物體形狀、要素、類(lèi)型、特征、關(guān)系和測(cè)量與計(jì)算這些內(nèi)容[1].恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建和運(yùn)用“圖形認(rèn)識(shí)方法結(jié)構(gòu)”有助于加深對(duì)圖形的理解，有助于建構(gòu)圖形相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu).

運(yùn)用信息技術(shù)將圖形繪制出來(lái)，也是認(rèn)識(shí)圖形的一個(gè)良好的方法.引導(dǎo)學(xué)生從不同角度進(jìn)行特征認(rèn)識(shí)，有助于完善學(xué)生的圖形認(rèn)識(shí)方法結(jié)構(gòu)，一般可以遵循“圖形產(chǎn)生——特征發(fā)現(xiàn)——關(guān)系梳理”的過(guò)程進(jìn)行學(xué)習(xí)[2].

一、問(wèn)題發(fā)現(xiàn)與概念界定

（一）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

在教學(xué)計(jì)算機(jī)編程時(shí)，發(fā)現(xiàn)《LOGO語(yǔ)言競(jìng)賽教程》（下簡(jiǎn)稱(chēng)《教程》）中在介紹正多邊形的繪制方法時(shí)采用的是統(tǒng)一的公式，而在教學(xué)正多角星時(shí)則只提供奇數(shù)角正多角星的公式，且偶數(shù)角正多角星只介紹了角數(shù)為8，10的，再介紹空心正多角星時(shí)卻又采取了統(tǒng)一的公式[3].在教學(xué)這一部分的知識(shí)時(shí)，學(xué)生容易產(chǎn)生困惑，也就同時(shí)產(chǎn)生了研究的欲望.

（二）概念界定

1.正多邊形

正多邊形是指二維平面內(nèi)各邊相等，各角也相等的多邊形，也叫正多角形.關(guān)于正多邊形還有以下幾個(gè)定義與概念：外接圓、內(nèi)切圓、內(nèi)角、外角、中心角、中心、半徑、邊心距.

2.正多角星

正多角星沒(méi)有在百度百科查到，相似的概念有“芒星”——由幾個(gè)完全的等腰三角形（有時(shí)是正三角形）和一個(gè)正多邊形組成的平面圖形.

3.空心正多角星

百度上也沒(méi)有空心正多角星的說(shuō)法，相似的概念有“正星形多角形”——亦稱(chēng)等邊半正凹多角形或等邊半正凹多邊形，是一種特殊的凹多角形（最常見(jiàn)的正五角星也就是正星形十角形）.

二、圖形關(guān)系與相關(guān)知識(shí)

（一）圖形關(guān)系

學(xué)生產(chǎn)生困惑，是因?yàn)槠湓趯W(xué)習(xí)時(shí)采用的圖形認(rèn)識(shí)方法結(jié)構(gòu)有一定的“割裂”現(xiàn)象，如將奇數(shù)角正多角星和偶數(shù)角正多角星作為兩種不同的圖形來(lái)學(xué)習(xí)，或是將正多邊形與正多角星作為完全不同的圖形，而忽略了其中的相同與聯(lián)系.試著查詢(xún)了維基百科，發(fā)現(xiàn)在“多邊形”（polygon）詞條下有一幅圖，說(shuō)明了正多邊形、正多角星之間的聯(lián)系.

如上圖，其使用? n d? 的表示方式來(lái)描述正多邊形與正多角星.當(dāng)n=3時(shí)，正三邊形（即更通俗說(shuō)的“等邊三角形”）可以用? 3 1? 來(lái)表示;當(dāng)n=5時(shí)，正五角星（pentagram）表示為? 5 2? 而正五邊形（pentagon）則表示為? 5 1? ;當(dāng)n=7時(shí)，兩種正七角星和一種正七邊形分別用? 7 3? 、? 7 2? 、? 7 1? 來(lái)表示……

比較圖中的紅線(xiàn)（紅線(xiàn)中的圖形d值相同）可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)d=1時(shí)，都是正多邊形，當(dāng)d=2時(shí)，每條邊連接的兩個(gè)頂點(diǎn)之間都包含另外1個(gè)頂點(diǎn)……也就是每2個(gè)頂點(diǎn)連接一次.而觀察比較圖中藍(lán)線(xiàn)（藍(lán)線(xiàn)中的圖形）都是由某個(gè)基本的多角星構(gòu)成的，如五角星（pentagrams）的藍(lán)線(xiàn)，包括n=5時(shí)的五角星、n=10時(shí)的兩個(gè)五角星和n=15時(shí)的三個(gè)五角星……

因此，k ?n d? 描述系統(tǒng)的表示方式是：將正n邊形（或正n角形）的外接圓用n個(gè)點(diǎn)平均分成n份，將每d個(gè)點(diǎn)（每隔d-1個(gè)點(diǎn)）連接起來(lái)形成的圖形，當(dāng)n與d有除了1以外的公因數(shù)時(shí)，將公因數(shù)約去并提取出來(lái)作為k.如? 10 2? =2? 5 1? ，意思是正10邊形（每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)連接起來(lái)）相當(dāng)于兩個(gè)正5邊形;又如，? 12 4? =4? 3 1? ，意思是正12邊形（每4個(gè)點(diǎn)連接起來(lái)）相當(dāng)于4個(gè)正三邊形（正三角形）組合而成，? 12 3? =3? 4 1? 中，正12邊形（每3個(gè)點(diǎn)連接起來(lái)）相當(dāng)于3個(gè)正四邊形（正方形）組合而成.

（二）相關(guān)知識(shí)

根據(jù)以上k? n d? 描述系統(tǒng)的定義，可以將正多邊形與正多角星聯(lián)系、統(tǒng)一起來(lái)，并且由于正多邊形與正多角星同時(shí)是軸對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)圖形，有以下規(guī)律來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題（將對(duì)稱(chēng)圖形考慮為同一種圖形）：

1.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，d=1，2，3，…， 1 2 （n-1），如n=9時(shí)，d可以為1，2，3，4;

2.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，d=1，2，3，…， 1 2 n-1，如n=8時(shí)，d可以為1，2，3——其實(shí)當(dāng)d= 1 2 n時(shí)也有相應(yīng)的圖形，只不過(guò)變成d條線(xiàn)段組成的圖形，不是我們討論的多邊形或多角星了.

了解了這個(gè)定義后，就明白《教程》中及網(wǎng)上對(duì)偶數(shù)角多角星的LOGO語(yǔ)言繪制方法避而不談的真正原因了——當(dāng)n和d存在1以外的公因數(shù)時(shí)，會(huì)變成由k個(gè) n k 邊形組成的圖形，使用重復(fù)執(zhí)行命令完成繪制就比較麻煩了.

為了便于敘述和理解，筆者再引入一個(gè)值來(lái)描述、統(tǒng)一n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)d的最大值，稱(chēng)為a.即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有n=2a+1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有n=2（a+1）.《教程》中對(duì)奇數(shù)角正多角星的統(tǒng)一公式，都是按照d=a的情況來(lái)設(shè)計(jì)的（當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)n與a必然互質(zhì)），這樣也就省去了變成多邊形組合的麻煩了.同樣的，其中對(duì)8，10角形的程序，是按照d=3來(lái)設(shè)計(jì)的（8，10都與3互質(zhì)，《教程》后面介紹的幾種方法也是針對(duì)n，d互質(zhì)的情況），而對(duì)空心正多角星的統(tǒng)一公式，也都是按照d=2的情況來(lái)設(shè)計(jì)的，都是特殊的情況.若需要按照不同的n，d來(lái)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一繪圖則要進(jìn)行整體的設(shè)計(jì).

三、繪制方法與程序?qū)崿F(xiàn)

（一）繪制方法

根據(jù)k? n d? 描述系統(tǒng)的定義，可以采用記錄外接圓n等分點(diǎn)絕對(duì)位置的方法，然后按照不同的d值直接進(jìn)行連接.但是由于程序與命令特點(diǎn)，使用記錄絕對(duì)位置的方法比較煩瑣（特別是當(dāng)n很大的時(shí)候，需要利用列表來(lái)記錄很多位置，很不方便），因此，尋求直接繪制的方法.

先不考慮n與d有除1外其他公因數(shù)的情況.觀察? n 1? （即正多邊形）的情況，每次前進(jìn)至下一頂點(diǎn)后，需要向右旋轉(zhuǎn) 360° n （以下都以順時(shí)針繪制為例），因?yàn)檎噙呅瓮饨呛褪?60°;而? n 2? 的情況中，需要旋轉(zhuǎn)兩周，即每次需要向右旋轉(zhuǎn)360°× 2 n ……以? n d? 描述系統(tǒng)來(lái)看，每次需要向右旋轉(zhuǎn)360°× d n .再看前進(jìn)長(zhǎng)度，? n 1? 中每邊對(duì)應(yīng)的中心角都是 360° n ，而? n 2? 中每邊對(duì)應(yīng)的中心角包含原來(lái)? n 1? 中的2倍……因此，每邊對(duì)應(yīng)的中心角也是360°× d n ，前進(jìn)的長(zhǎng)度為2r·sin 180°× d n? （過(guò)程略，如下圖）.

以正7角星? 7 3? 為例，每邊所對(duì)應(yīng)的中心角是原來(lái)的? 7 1? 中心角的3倍，每邊長(zhǎng)度是sin（360°×3÷7÷2）×r的兩倍.

圖中，∠1為邊AB所對(duì)應(yīng)中心角的一半，有sin∠1= 1 2 AB÷r

再考慮n與d有除1外其他公因數(shù)的情況.觀察k=3的藍(lán)線(xiàn)，有? 6 2? =2? 3 1? 、有? 9 3? =3? 3 1? 、有? 12 4? =4? 3 1? ……由k個(gè)正三角形組成，即每次繪制完一個(gè)正三角形后，要移到下一個(gè)相鄰頂點(diǎn)，如此重復(fù)k次.對(duì)最大公因數(shù)為合數(shù)的情況，還有多種觀察的角度，如? 36 12? =12? 3 1? =6? 6 2? ，既可以看成是12個(gè)正三角形組成，也可以看成是由6個(gè)6角星組成（每次畫(huà)完前行至下一頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圓心角為 360°? 3 12? = 360°? 6 6? =10°，都相當(dāng)于 360° n ）.

同樣地，將正多邊形和正多角星統(tǒng)一起來(lái)后，再試圖把空心正多角星加入進(jìn)來(lái).空心多角星既可以看作小邊長(zhǎng)（如下圖中的線(xiàn)段AC）重復(fù)2N次得到的，更可以看成是原來(lái)正多角星的一部分——只不過(guò)每邊中間的一段不畫(huà)而已！

空心正多角星邊長(zhǎng)：

AB為邊（弦），OD為邊（弦）心距，∠AOB大小為360°÷邊數(shù)N×間隔數(shù)D（此圖是360°÷7×3），而∠1=360°÷邊數(shù)N÷2（此圖為360°÷7÷2），可以得出∠2，再在△OCD中用三角函數(shù)算出CD長(zhǎng)，從而得到AC長(zhǎng).

（二）程序?qū)崿F(xiàn)

確定了繪制方法，用程序?qū)崿F(xiàn)就比較簡(jiǎn)單了，這里不贅述，直接列出以外接圓圓心為起始點(diǎn)的繪制方法的邏輯流程圖——程序使用同樣的函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)正多邊形、正多角星和空心正多角星的繪制，區(qū)別在于間隔的數(shù)量和每邊的長(zhǎng)度.

（二）總結(jié)

筆者在學(xué)習(xí)《教程》的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問(wèn)題，并運(yùn)用“圖形認(rèn)知方法結(jié)構(gòu)”重新將三類(lèi)“公式不同的”圖形進(jìn)行分析與統(tǒng)整，最終確定了三類(lèi)圖形的統(tǒng)一繪制方法.由于對(duì)LOGO語(yǔ)言的不夠熟悉，使用更直觀的編程貓平臺(tái)制作了程序.

通過(guò)這次研究，發(fā)現(xiàn)對(duì)“圖形認(rèn)知方法結(jié)構(gòu)”的正確理解和使用可以幫助我們打開(kāi)視野，重新分析已知圖形，尋找它們之間的異同點(diǎn)，從而從更高的角度認(rèn)識(shí)到圖形之間的聯(lián)系.通過(guò)從看似不相同的圖形繪制到統(tǒng)一的繪制方法，也應(yīng)用了化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的互相聯(lián)系.

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳亞萍.“新基礎(chǔ)教育”數(shù)學(xué)教學(xué)改革指導(dǎo)綱要[M].桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2009.

[2]周志華.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)整體綜合設(shè)計(jì)的實(shí)踐探索[M].南京：江蘇人民出版社，2012.

[3]林正山，黃兆津.LOGO語(yǔ)言競(jìng)賽教程[M].福州：福建科學(xué)技術(shù)出版社，2009.