戚 壯，劉鵬飛，王久健，陳恩利

(石家莊鐵道大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

軌道車輛簧下設(shè)備受到輪軌動態(tài)作用力的直接沖擊，服役環(huán)境惡劣，工作載荷頻率較高。當(dāng)輪軌激振載荷頻率與簧下設(shè)備自振頻率發(fā)生重疊時，簧下設(shè)備的彈性模態(tài)可能被激發(fā)，進而導(dǎo)致更為劇烈的彈性振動。該共振現(xiàn)象不但影響簧下設(shè)備自身的結(jié)構(gòu)強度，而且直接影響輪軌作用力，甚至對行車安全構(gòu)成威脅。

在常規(guī)軌道車輛動力學(xué)計算中，各構(gòu)件一般簡化為剛體，即忽略構(gòu)件自身的彈性振動，但對于激振頻率與結(jié)構(gòu)頻率發(fā)生重疊或需要計算結(jié)構(gòu)動應(yīng)力時，則必須考慮構(gòu)件自身的彈性特征[1]。文獻[2—4]將車體作為彈性體進行動力學(xué)建模，不但提高了車體內(nèi)部振動加速度的計算精度，而且能夠得到車體的動應(yīng)力分布，為車體結(jié)構(gòu)設(shè)計提供借鑒。轉(zhuǎn)向架構(gòu)架作為關(guān)鍵承載構(gòu)件，其剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型在文獻[5—7]中進行了討論，為預(yù)測構(gòu)架的疲勞壽命提供了有效方法。此外，彈性輪對的建模方法與其對整車動力學(xué)的影響也在文獻[8—10]中進行了分析。文獻[11]提出了研究路基柔性與車輛振動耦合的新方法，解決了剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)模態(tài)收斂判斷的問題。

本文以某地鐵探傷車搭載的探傷設(shè)備即簧下設(shè)備為研究對象，采用模態(tài)疊加法建立整車的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，在考慮簧下設(shè)備的彈性特征基礎(chǔ)上分析其在車輪不圓順與軌道不平順兩種激振形式下的動力學(xué)響應(yīng)及對整車動力學(xué)性能的影響，以期為車輛簧下設(shè)備的設(shè)計及懸掛方式的選擇提供借鑒。

1 柔性簧下設(shè)備的建模及計算方法

1.1 柔性簧下設(shè)備物理坐標(biāo)的表示方法

將某型地鐵探傷車搭載探傷設(shè)備的搭載架視為柔性簧下設(shè)備時，其坐標(biāo)表示如圖1所示。圖中：OXYZ為絕對坐標(biāo)系；O′X′Y′Z′為固結(jié)在柔性體上的相對坐標(biāo)系；R為相對坐標(biāo)系的剛性位移；rP和uP分別為柔性簧下設(shè)備上任意一點P在OXYZ與O′X′Y′Z′中的位置向量。

rP與uP的關(guān)系可表示為

圖1 柔性簧下設(shè)備的坐標(biāo)表示

rP=R+AuP=R+A(uo+uf)

(1)

其中，

A=

式中：uf為彈性形變向量；uo為柔性簧下設(shè)備未發(fā)生形變時點P的位置向量；A為相對坐標(biāo)系發(fā)生轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生的坐標(biāo)變換矩陣；θ0—θ3為歐拉四元數(shù)，由相對坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)位姿確定。

當(dāng)點P位置向量rP對時間求導(dǎo)時，考慮到uo在相對坐標(biāo)系下為常向量，其對時間求導(dǎo)為0，可得到點P的速度向量為

(2)

式中：ω為相對坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動角速度向量。

繼續(xù)對式(2)進行求導(dǎo)，可得到點P的加速度向量為

(3)

式中：α為相對參考坐標(biāo)系的角加速度向量。

式(3)中等式右側(cè)自左向右各項的物理意義分別為：相對坐標(biāo)系的平動加速度項、法向加速度項、切向加速度項、科氏加速度項以及彈性變形加速度項。

由式(1)—式(3)可知，求解柔性簧下設(shè)備運動狀態(tài)的關(guān)鍵在于求解彈性形變向量uf，該向量是與空間和時間耦合相關(guān)的物理坐標(biāo)彈性形變向量uf(x,y,z,t)。由于1個連續(xù)柔性簧下設(shè)備上的點實際有無窮多個，即使將柔性體通過有限元離散也會得到數(shù)量巨大的節(jié)點坐標(biāo)，加之uf的時空耦合性，為求解柔性體的動力學(xué)響應(yīng)造成了困難，需要通過模態(tài)疊加法予以解決。

1.2 模態(tài)疊加法

根據(jù)Rayleigh-Ritz近似方法，柔性簧下設(shè)備的形變量可由模態(tài)展開，對時空變量進行解耦，即彈性形變向量uf可表示為[12]

(4)

其中，

Φ=(φ1φ2…φn)

qf=(q1q2…qn)T

式中：n為選取的柔性簧下設(shè)備模態(tài)階數(shù)；Φ為模態(tài)矩陣；qf為柔性簧下設(shè)備柔性自由度的廣義坐標(biāo)矩陣。

根據(jù)式(4)，可以將柔性簧下設(shè)備在物理坐標(biāo)下的自由度轉(zhuǎn)化為模態(tài)坐標(biāo)下的自由度。若不考慮柔性簧下設(shè)備的內(nèi)部阻尼效應(yīng)，此時其自由振動微分方程為

(5)

式中：Mf和Kf分別為柔性簧下設(shè)備的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。

為了將該微分方程解耦求解，可將Mf和Kf轉(zhuǎn)化為對角矩陣Mff和Kff，即要求Φ同時滿足以下2式。

ΦTMfΦ=Mff

(6)

ΦTKfΦ=Kff

(7)

聯(lián)立式(6)和式(7)求得

KfΦ=MfΦΛ

(8)

其中，

式中：k和m分別為對角矩陣Mff和Kff對角線上的元素。

將式(8)展開，得到

(9)

即

(10)

若φi有非零解，則其系數(shù)行列式為零，即

(11)

將Φ代入(5)式可化簡為解耦的n個獨立微分方程為

(12)

1.3 剛?cè)狁詈险駝游⒎址匠?/h3>

若將柔性簧下設(shè)備參考系的剛性位移R與位姿坐標(biāo)θ考慮到轉(zhuǎn)向架剛?cè)狁詈夏Ｐ椭?，則柔性簧下設(shè)備的廣義自由度q可表示為

(13)

式中：qr為柔性簧下設(shè)備剛性自由度的廣義坐標(biāo)矩陣。

由式(15)可見，qr與qf的維數(shù)之和即為q的維數(shù)。

若對柔性簧下設(shè)備施加nc個約束，則其約束方程為代數(shù)方程，可表示為

C(q,t)=(C1(q,t)C1(q,t) …Cnc(q,t))T

=0

(14)

式中：C為1組獨立的約束代數(shù)方程。

綜上所述，柔性簧下設(shè)備在剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)中的運動方程可表示為

(15)

其中，

Cq=(Cij)

式中：Cq為雅可比矩陣；λ為nc維拉格朗日乘子向量，在某些情況下，λ中的元素為約束的反作用力；Qe為廣義外部作用力向量；Qv為動能對時間和廣義坐標(biāo)求導(dǎo)產(chǎn)生的2次速度向量；下角標(biāo)r代表剛性，下角標(biāo)f代表柔性。

2 剛?cè)狁詈夏Ｐ?/h2>

2.1 界面節(jié)點設(shè)置

首先對地鐵探傷車簧下設(shè)備的幾何模型進行有限元劃分，再通過Craig-Bompton模態(tài)綜合法得到簧下設(shè)備的模態(tài)矩陣，該模態(tài)矩陣由柔性體的靜模態(tài)和特征模態(tài)2個部分綜合而成。

計算簧下設(shè)備靜模態(tài)時，需要選取若干個點為界面節(jié)點。界面節(jié)點一般設(shè)置在柔性體受鉸接約束的位置或者外部力的作用位置；界面節(jié)點設(shè)置的最小數(shù)量應(yīng)保證當(dāng)釋放某界面節(jié)點的單個自由度時，柔性體不能產(chǎn)生剛性運動。將地鐵探傷車簧下設(shè)備的界面節(jié)點設(shè)置在轉(zhuǎn)臂與搭載架的4個鉸接點上，如圖2所示。

圖2 界面節(jié)點位置

在界面節(jié)點設(shè)置約束為轉(zhuǎn)臂對柔性體的3個方向的平動約束。由此計算出靜模態(tài)的數(shù)量為3×4=12(個)；柔性簧下設(shè)備的剛性模態(tài)為6個方向的剛性運動自由度；此外再選取該柔性簧下設(shè)備的前50階特征模態(tài)進行模態(tài)綜合，則柔性簧下設(shè)備自由振動模態(tài)總數(shù)N自由振動模態(tài)=N靜模態(tài)+N特征模態(tài)-N剛體模態(tài)=12+50-6=56(個)。

2.2 模態(tài)計算

通過對上述結(jié)構(gòu)進行模態(tài)綜合，得到其前56階自由振動模態(tài)，即得到式(4)中的模態(tài)矩陣Φ，列數(shù)為N自由振動模態(tài)，行數(shù)為3N節(jié)點。其前5階模態(tài)的自振頻率與對應(yīng)的振型如圖3所示。由1.2節(jié)的分析可知，求模態(tài)坐標(biāo)的振動響應(yīng)，其物理本質(zhì)在于求解各階模態(tài)的振型在振動中的占比。

圖3 前5階模態(tài)的自振頻率與對應(yīng)的振型

2.3 動力學(xué)建模

常規(guī)車輛轉(zhuǎn)向架動力學(xué)模型主要包括輪對、軸箱、構(gòu)架3類剛體，以及由鋼彈簧和減振器構(gòu)成的一系懸掛裝置。因以下研究中需要考慮簧下設(shè)備的柔性變形，則需要將探傷設(shè)備搭載架作為柔性體子結(jié)構(gòu)導(dǎo)入到轉(zhuǎn)向架多剛體動力學(xué)模型中。柔性體與多剛體模型的耦合建模方法如圖4所示，其中多剛體模型在UM多體動力學(xué)平臺上搭建；柔性體需要的模態(tài)矩陣、質(zhì)量矩陣、剛度矩陣等在ABAQUS軟件中通過有限元模型計算得到。

圖4 多剛體模型與柔性體模型的耦合方法

在轉(zhuǎn)向架剛?cè)狁詈夏Ｐ椭?，輪對相對于軌道具?個自由度，在兩側(cè)軌道約束下，沉浮與側(cè)滾是非獨立自由度；軸箱相對于輪對具有點頭自由度；構(gòu)架通過一系懸掛坐落在4個軸箱上；柔性搭載架導(dǎo)入后，其4個界面節(jié)點分別被4個軸箱通過鉸鏈約束，探傷設(shè)備直接鉸接在搭載架上，故搭載架與探傷設(shè)備均屬于簧下質(zhì)量。由于另一轉(zhuǎn)向架為動力轉(zhuǎn)向架，無探傷設(shè)備，故將其作為多剛體系統(tǒng)進行建模。將2個轉(zhuǎn)向架作為子系統(tǒng)，并通過二系懸掛與車體進行連接，得到的整車車輛剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型如圖5所示。

圖5 車輛剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型

3 振動響應(yīng)分析

3.1 簧下質(zhì)量線性振動響應(yīng)

為了研究簧下結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)與輪軌激振頻率的關(guān)系，首先對簧下質(zhì)量的線性振動響應(yīng)進行分析。在搭載架4個界面節(jié)點均被約束的狀態(tài)下，考慮搭載架的柔性特征，計算簧下探傷系統(tǒng)(搭載架+探傷儀器)的線性振動模態(tài)與固有頻率。由于車輛運行時振動的主要能量集中在40 Hz以內(nèi)[13]，故研究其前4階模態(tài)(第5階模態(tài)固有頻率為57.7 Hz，>40 Hz，不研究)的自振頻率與對應(yīng)的振型如圖6所示。

圖6 簧下質(zhì)量前4階模態(tài)的自振頻率與對應(yīng)的振型

由計算結(jié)果可知：第1階模態(tài)和第3階模態(tài)分別為簧下質(zhì)量的垂向振動和橫向振動，對應(yīng)的自振頻率分別為12.8和26.5 Hz；當(dāng)探傷車在軌道上運行時，輪軌動作用力易激起簧下質(zhì)量的以上2種模態(tài)，直接影響探傷設(shè)備的振動響應(yīng)與車輛動力學(xué)指標(biāo)。

3.2 車輪不圓順下的彈性振動響應(yīng)

車輪不圓順為軌道車輛運行中常見的周期激擾源，其激擾頻率與車輛運行速度直接相關(guān)。根據(jù)現(xiàn)場實際運用經(jīng)驗[14]，研究中設(shè)置的車輪不圓順如圖7所示。圖中：L為扁疤長度，取50 mm；L1為車輪材料塑性變形產(chǎn)生的過渡圓弧，取10 mm。

圖7 車輪不圓順示意圖

設(shè)置軌道為理想平滑軌道，搭載架視為柔性體，計算車輪不圓順激擾下簧下設(shè)備垂向振動的位移和振動加速度與車速的關(guān)系，結(jié)果如圖8所示。由圖8可知，簧下設(shè)備在車速為120 km·h-1左右振動最劇烈，其垂向振動位移達到1.2 mm，振動加速度達到6.6 m·s-2。

對上述結(jié)果進行分析，車輪半徑為420 mm，則車速為120 km·h-1時，車輪不圓順產(chǎn)生激擾頻率為12.6 Hz。對比3.1節(jié)簧下質(zhì)量線性響應(yīng)的計算結(jié)果，120 km·h-1車速下車輪不圓順的激擾頻率剛好與簧下質(zhì)量的1階振動頻率12.8 Hz基本吻合，即探傷設(shè)備的1階固有模態(tài)被車輪不圓順激發(fā)。

圖8 車輪不圓順激擾下簧下設(shè)備振動的位移和加速度與車速的關(guān)系

將搭載架由柔性體替換為剛性體重新進行上述計算，發(fā)現(xiàn)振動位移為0.4 mm左右，且不隨車速的改變發(fā)生變化；簧下質(zhì)量的振動加速度急劇升高至180 m·s-2左右，說明搭載架的柔性特征對探傷設(shè)備起到了較好的緩沖作用。計算簧下設(shè)備振動響應(yīng)時，應(yīng)該考慮搭載架的柔性特性，使分析結(jié)果更接近真實情況。

3.3 軌道隨機不平順下的彈性振動響應(yīng)

軌道不平順通過輪軌相互作用直接傳遞至轉(zhuǎn)向架，激發(fā)車輛系統(tǒng)的隨機振動。設(shè)置軌道不平順為美國V級譜，車輛以120 km·h-1的速度在軌道上運行，搭載架分別視為柔性體和剛性體進行建模，計算簧下質(zhì)量垂向和橫向的振動加速度時域響應(yīng)如圖9所示。由圖9可知，除剛性搭載架的垂向振動加速度在個別點發(fā)生剛性沖擊外，柔性搭載架的振動加速度響應(yīng)整體高于剛性搭載架。

將該時域響應(yīng)進行傅里葉(FFT)變換為簧下質(zhì)量垂向和橫向的振動加速度頻域響應(yīng)，得到柔性與剛性搭載架的頻域?qū)Ρ冉Y(jié)果如圖10所示。由圖10可知，柔性搭載架的垂向和橫向振動加速度的振動能量分別集中在12和28 Hz左右；而剛性搭載架的則分別集中在10～100和1～50 Hz這2個區(qū)域內(nèi)均有分布，未發(fā)現(xiàn)能量集中峰值。聯(lián)系3.1節(jié)簧下質(zhì)量線性振動響應(yīng)的計算結(jié)果，柔性搭載架的振動能量峰值分別對應(yīng)其1階垂向振動與3階橫向振動的固有頻率，體現(xiàn)了簧下設(shè)備在車輛運行中的結(jié)構(gòu)彈性振動特征。

圖9 軌道不平順下簧下設(shè)備的振動加速度時域響應(yīng)

圖10 振動加速度的頻域響應(yīng)

為了研究車速與簧下設(shè)備彈性振動的關(guān)系，分別以40～100 km·h-1車速進行計算，以相同的方法對簧下設(shè)備的橫向、垂向振動加速度進行頻域分析，結(jié)果如圖11所示。

圖11 不同車速下振動加速度的頻域響應(yīng)

由圖11可知，當(dāng)車速為40 km·h-1時，垂向振動加速度未發(fā)現(xiàn)能量集中，故簧下設(shè)備垂向彈性振動未被激發(fā)；同理，橫向振動加速度在車速為100 km·h-1時才出現(xiàn)能量集中，說明簧下設(shè)備橫向彈性振動在車輛高速運行時才被激發(fā)。上述計算結(jié)果還表明，只要簧下設(shè)備的彈性振動被激發(fā)，其不同車速下的垂向和橫向振動加速度的能量均集中在12和28 Hz左右，說明簧下設(shè)備的彈性振動頻率只與自身結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率相關(guān)，與車速無關(guān)。

對于該型地鐵探傷車，在正常80 km·h-1車速運行狀態(tài)下，簧下設(shè)備的橫向彈性振動不會被激發(fā)，但其垂向彈性振動會較為劇烈。為了降低該車簧下設(shè)備的垂向彈性振動，可適當(dāng)增加搭載架橫梁的結(jié)構(gòu)剛度，使結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率高于輪軌激擾頻率，進而降低彈性振動對探傷設(shè)備的影響。

4 簧下設(shè)備對車輛動力學(xué)性能的影響

為了研究簧下設(shè)備對整車動力學(xué)性能的影響，在簧下設(shè)備原始模型1的基礎(chǔ)上，建立其對比模型：其中對比模型2去除柔性搭載架等簧下設(shè)備；對比模型3在轉(zhuǎn)臂支撐點處加裝彈性橡膠關(guān)節(jié)，其徑向和軸向剛度分別為14和5 MN·m-1，安裝方式如圖12所示。

圖12 轉(zhuǎn)向架模型中增加彈性橡膠關(guān)節(jié)的安裝方式

相應(yīng)的，針對原參數(shù)車輛、無簧下設(shè)備車輛和增加彈性橡膠關(guān)節(jié)車輛3種車輛動力學(xué)模型，分別從穩(wěn)定性、平穩(wěn)性、曲線通過性3個方面進行對比研究。

4.1 穩(wěn)定性

在理想平滑軌道上設(shè)置一段不平順，車輛以不同車速通過，觀察輪對橫移量是否收斂，以計算車輛的臨界速度。3種車輛動力學(xué)模型的輪對橫移量時域歷程分別如圖13所示，它們的臨界速度分別為180，211和192 km·h-1。由圖13可知，簧下設(shè)備帶來的輪對運動約束會導(dǎo)致車輛穩(wěn)定性較無簧設(shè)備時下降14.7%左右；對簧下設(shè)備增加彈性橡膠關(guān)節(jié)有助于提高車輛穩(wěn)定性，可使臨界速度提高約7%。

4.2 平穩(wěn)性

將3種車輛動力學(xué)模型分別以50～110 km·h-1的車速運行在美國V級譜線路上，對車體的振動加速度進行數(shù)據(jù)處理得到Sperling平穩(wěn)性指標(biāo)如圖14所示。由圖14可知，簧下設(shè)備對車輛平穩(wěn)性指標(biāo)的影響不大，說明簧下設(shè)備的振動對車體振動平穩(wěn)性的影響較小。

圖13 穩(wěn)定性計算結(jié)果

圖14 平穩(wěn)性計算結(jié)果

4.3 曲線通過性

設(shè)置車輛通過R300 m半徑曲線，曲線超高設(shè)置為120 mm，緩和曲線長度120 m，分別以輪軌橫向力、脫軌系數(shù)、輪重減載率、磨耗指數(shù)4類指標(biāo)評判車輛的曲線通過性，仿真得到3種車輛動力學(xué)模型這4項指標(biāo)隨車速的變化關(guān)系如圖15所示。

由圖15可知，原參數(shù)車輛模型中，剛性連接的簧下設(shè)備導(dǎo)致車輛曲線通過性能的各類指標(biāo)提高了約20%；增加彈性橡膠關(guān)節(jié)后，各類曲線通過性指標(biāo)能夠降低約10%。該動力學(xué)特性產(chǎn)生的原因主要在于，簧下質(zhì)量的增加使輪軌之間的動態(tài)作用更加劇烈，且搭載架對輪對的約束作用也影響了車輛通過曲線的能力，從而導(dǎo)致車輛的曲線通過性變差；對簧下設(shè)備增加彈性橡膠關(guān)節(jié)后，緩解了輪軌的剛性沖擊，降低了輪對的搖頭剛度，從而能夠在一定程度上改善車輛的曲線通過性能。

圖15 曲線通過性計算結(jié)果

5 結(jié) 論

(1)模態(tài)疊加法使柔性體的物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標(biāo)，進而實現(xiàn)柔性變形時間相關(guān)性與空間相關(guān)性的解耦，大大縮減剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型的自由度。

(2)車輛簧下設(shè)備垂向和橫向振動的線性振動響應(yīng)頻率分別為12.8和26.5 Hz；當(dāng)車速為120 km·h-1時，車輪不圓順產(chǎn)生的激擾頻率剛好與簧下設(shè)備垂向自振頻率吻合，導(dǎo)致簧下設(shè)備振動加劇。

(3)相比于剛性模型，柔性模型簧下設(shè)備的振動能量主要集中于柔性體的自振頻率，說明軌道不平順能夠激發(fā)簧下設(shè)備的彈性振動。

(4)車速高于某特定值時才能激發(fā)簧下設(shè)備的彈性振動，且彈性振動能量集中頻率不隨車速的變化而變化。

(5)簧下設(shè)備雖對車輛運行平穩(wěn)性影響不大，但會降低車輛的穩(wěn)定性與曲線通過性，通過對簧下設(shè)備增加彈性橡膠關(guān)節(jié)懸掛，能夠使車輛的各類曲線通過性指標(biāo)降低約10%。