胡占兵

數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，可以使用類比思想的地方有很多。比如概念教學(xué)過程中，一些性質(zhì)定理的理解上，某些重要方法的探求方面，以及對(duì)某些問題深層次的探求時(shí)，合理地使用類比思想都可以起到意想不到的的效果。那么就高中數(shù)學(xué)知識(shí)而言，怎樣類比？怎樣恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行類比呢？下面就以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修中運(yùn)用到類比思想方法的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的總結(jié)。

一、類比思想在集合中的運(yùn)用

1.在學(xué)習(xí)集合間的基本關(guān)系時(shí)。類比實(shí)數(shù)有三種關(guān)系，分別為：相等，大于，小于。引導(dǎo)學(xué)生類比實(shí)數(shù)之間的關(guān)系來思考集合之間的關(guān)系。通過列舉實(shí)例，讓學(xué)生觀察并討論得出集合的關(guān)系，從而得到子集的概念。

2.在學(xué)習(xí)集合的基本運(yùn)算時(shí)。類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算，讓學(xué)生嘗試集合是否也能“相加”呢？結(jié)合具體的實(shí)例，鼓勵(lì)學(xué)生自己分析，從而得到并集的概念。同樣類比實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算，可得到集合中的另一個(gè)概念——補(bǔ)集。

二、類比思想在函數(shù)中的運(yùn)用

1.在學(xué)習(xí)函數(shù)的定義時(shí)。學(xué)生回顧初中所學(xué)過的函數(shù)定義，通過一些具體實(shí)例，得到新的函數(shù)定義。通過類比學(xué)習(xí)函數(shù)的新定義，更能讓學(xué)生明白高中重新定義函數(shù)的必要性。

2.在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)時(shí)。先回顧上指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)過程，啟發(fā)學(xué)生將研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)所用到的思路、方法類比到對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)中，從而得到對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。

三、類比思想在空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系的運(yùn)用

1.在學(xué)習(xí)空間中直線與直線之間的位置關(guān)系時(shí)。引導(dǎo)學(xué)生回顧平面中直線與直線的位置關(guān)系（相交或平行），啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行類比思考空間中直線與直線之間是否也有上述兩種位置關(guān)系呢？如果有，是否只有這兩種位置關(guān)系？結(jié)合具體的實(shí)例來驗(yàn)證自己的猜想和結(jié)論。最后得出正確結(jié)論，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系除了相交與平行外，還有一種位置關(guān)系——異面。讓學(xué)生明白類比雖然是一種好的數(shù)學(xué)思想方法，但類比后的結(jié)論有時(shí)候并不是完全正確，必須得對(duì)類比后的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。

2.在學(xué)習(xí)二面角時(shí)。先回顧平面幾何中角的概念（從平面內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形），啟發(fā)學(xué)生思考、分析，得到平面中角的構(gòu)成要素：射線——點(diǎn)——射線。類比到空間幾何中，引導(dǎo)學(xué)生按照對(duì)應(yīng)關(guān)系間的類比，平面中的直線對(duì)應(yīng)到空間中的平面，平面中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)到空間中的直線，以此得出二面角的概念，其構(gòu)成要素是：半平面——棱——半平面。

四、類比思想在直線與方程中的運(yùn)用

在學(xué)習(xí)直線的斜率時(shí)，教材中用生活中的樓梯進(jìn)行類比，樓梯的傾斜程度可以用坡度來刻畫，容易知道在樓梯臺(tái)階寬度（級(jí)寬）不變時(shí)，則每一級(jí)臺(tái)階的高度（級(jí)高）越大，坡度越大，樓梯就越陡。在平面直角坐標(biāo)系中，我們也可以類似地用這種方法來刻畫直線的傾斜程度。為斜率概念的給出打好了基礎(chǔ)，且既形象又生動(dòng)，也加深了學(xué)生對(duì)斜率這一概念的理解。

五、類比思想在概率中的運(yùn)用

1.在學(xué)習(xí)事件時(shí)。若把試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果的全體看作集合，且為全集。則每個(gè)事件都是全集的子集，建立起事件與集合的對(duì)應(yīng)。讓學(xué)生用集合與集合的關(guān)系、運(yùn)算、性質(zhì)來類比事件的關(guān)系、運(yùn)算、性質(zhì)。

2.在學(xué)習(xí)隨機(jī)變量時(shí)。類比函數(shù)是數(shù)集的映射，引導(dǎo)學(xué)生得出隨機(jī)變量是試驗(yàn)結(jié)果的映射。通過類比，由函數(shù)有定義域、值域得出隨機(jī)變量也有定義域、值域，即試驗(yàn)結(jié)果的范圍、隨機(jī)變量的取值范圍。函數(shù)有三種表示法（列表法、圖像法、解析式法），隨機(jī)變量的表示法是概率發(fā)布列;離散型函數(shù)可以用圖象（點(diǎn)）表示，同樣的，離散型隨機(jī)變量的圖象也可以用點(diǎn)來表示。

六、類比思想在平面向量中運(yùn)用

在學(xué)習(xí)平面向量的基本定理時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回顧物理中所學(xué)的力的分解的平行四邊形法則中，我們看到一個(gè)力可以分解為兩個(gè)不共線方向的力的和。讓學(xué)生思考：平面內(nèi)任一向量是否可以用兩個(gè)不共線的向量來表示呢？從而得到平面向量的基本定理，這樣讓學(xué)生更容易理解，掌握。

七、類比思想在解三角形中的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)余弦定理時(shí)，老師需要在講授中運(yùn)用類比的思想。在講授該課程之前，學(xué)生便已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理，而余弦定理則是學(xué)生初中曾經(jīng)學(xué)過的勾股定理內(nèi)容的延伸，因此，老師在概念講述中需要將其與勾股定理結(jié)合起來，降低新課講授的難度.便于學(xué)生對(duì)課程的理解。

八、類比思想在數(shù)列中的運(yùn)用

在學(xué)習(xí)等比數(shù)列時(shí)，先回顧上節(jié)中的等差數(shù)列及其性質(zhì)。并與等差數(shù)列進(jìn)行類比。不但在概念上進(jìn)行類比，在后面性質(zhì)的研究上也要注意類比教學(xué)，這樣學(xué)生在記憶和理解兩種數(shù)列的概念和性質(zhì)時(shí)會(huì)更加明了。

九、類比思想在不等式中的運(yùn)用

在學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)時(shí)，學(xué)生先回顧初中學(xué)過的等式的性質(zhì)，讓學(xué)生進(jìn)行類比思考，猜想不等式的性質(zhì)，然后就猜想出的結(jié)論加以檢驗(yàn)，從而得出正確的結(jié)論。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用類比思想，可以加深數(shù)學(xué)教學(xué)之間的聯(lián)系。在講解新知識(shí)時(shí)，運(yùn)用類比教學(xué)挖掘其和已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)之間的聯(lián)系，可以幫助學(xué)生快速熟悉新知識(shí)，讓課程的講述更加條理化、清晰化，學(xué)生更容易把握學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。從而更能夠積極主動(dòng)地投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，進(jìn)而提升教師教學(xué)的效率。