臧 旭， 吳 松， 郭其威， 唐國(guó)安

(1. 復(fù)旦大學(xué) 航空航天系，上海 200433； 2. 上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109)

空間站需要大面積且能在火箭中折疊裝載的大型太陽(yáng)電池翼為其提供主要?jiǎng)恿碓碵1-2]。我國(guó)空間站電池翼借鑒國(guó)際空間站成功經(jīng)驗(yàn)，采用“Mast”+“Blanket”柔性電池翼的設(shè)計(jì)方案[3]，初始頂部收藏箱與底部收藏箱重疊在一起，如圖1收攏狀態(tài)所示。當(dāng)接到展開指令后，伸展機(jī)構(gòu)在電機(jī)驅(qū)動(dòng)下沿垂直方向伸展，帶動(dòng)柔性陣面展開，導(dǎo)向機(jī)構(gòu)限制陣面的面外運(yùn)動(dòng)，直至最后一塊基板展開，張緊機(jī)構(gòu)施加預(yù)緊使柔性陣面張緊，如圖1展開狀態(tài)所示。

國(guó)際空間站電池翼展開面積超過100 m2，基頻在0.1 Hz以下，并且低階模態(tài)密集度高[3～5]。柔性電池翼的頻率特性是空間站姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵指標(biāo)[6]，20世紀(jì)80年代末在國(guó)際空間站研制過程中，柔性翼動(dòng)力學(xué)參數(shù)多通過解析法獲取，Sasan等[7]以帶有預(yù)緊力的國(guó)際空間站桁架為研究對(duì)象，采用考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的梁振動(dòng)方程，計(jì)算得到了桁架的展開頻率。Bosela[8]考慮了含有預(yù)緊力的柔性翼陣面及桁架的力學(xué)特性，運(yùn)用伽遼金法得到柔性電池翼模態(tài)參數(shù)。Carney等[9-10]分別給出了0 g和1 g狀態(tài)柔性太陽(yáng)電池翼頻率半解析解。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，有限元法已成為預(yù)示大型撓性結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的主要手段[11-13]。Laible等[14]將國(guó)際空間站2 A電池翼在軌辨識(shí)數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比，分析表明柔性電池翼發(fā)生幾何非線性變形，該非線性是電池翼模態(tài)預(yù)測(cè)誤差產(chǎn)生的主要原因。郭其威等[15]將加載均勻張力的柔性陣面等效為弦，給出了伸展機(jī)構(gòu)臨界屈曲載荷與整翼基頻關(guān)系，并通過有限元法獲取了伸展機(jī)構(gòu)臨界屈曲載荷。

圖1 空間站柔性太陽(yáng)翼示意圖Fig.1 The flexible solar array diagram

本文綜合考慮柔性電池翼在張力作用下的幾何非線性變形，闡明了非線性靜力分析不易收斂的機(jī)理，通過溫度應(yīng)力實(shí)現(xiàn)張力模擬[12-13]，采用線性初值加非線性迭代修正兩步法，獲取了即保證非線性計(jì)算收斂又滿足工程張力設(shè)計(jì)值的溫度變化量，并依據(jù)整翼非線性靜力矩陣獲取空間站柔性太陽(yáng)電池翼模態(tài)參數(shù)。

1 柔性太陽(yáng)電池翼建模

在研柔性太陽(yáng)電池翼方案由柔性陣面、張緊機(jī)構(gòu)、伸展機(jī)構(gòu)、收藏箱、收藏桶和驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)組成，有限元模型如圖2所示，各部件尺寸及材料參數(shù)，見表1。忽略伸展機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu)間隙影響，將其簡(jiǎn)化為一根細(xì)長(zhǎng)梁。伸展機(jī)構(gòu)、收藏箱、收藏桶和驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)均采用兩結(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧M，柔性陣面采用四結(jié)點(diǎn)殼單元模擬。張緊機(jī)構(gòu)也采用兩節(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧M，為協(xié)調(diào)梁?jiǎn)卧c殼單元的連接自由度，張緊機(jī)構(gòu)與柔性陣面采用剛性約束連接，并約束6個(gè)方向的自由度。

圖2 柔性太陽(yáng)翼有限元模型Fig.2 The flexible solar array finite element model表1 尺寸及材料參數(shù)匯總Tab.1 Summary of dimensions and material parameters

驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)收藏桶收藏箱伸展機(jī)構(gòu)張緊機(jī)構(gòu)柔性陣面單元類型梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧簡(jiǎn)卧簡(jiǎn)卧簡(jiǎn)卧獨(dú)卧獑卧獢?shù)/個(gè)55521081 260彈性模量/GPa7070400702103泊松比0.30.30.30.30.30.3質(zhì)量/kg30804×20852×150長(zhǎng)度尺寸/m21.92.5250.2524.5截面構(gòu)型空心圓空心圓長(zhǎng)方形空心圓圓截面尺寸R1=0.055 mR2=0.046 mR1=0.25 mR2=0.24 m0.11 m×0.03 mR1=0.1 mR2=0.099 5 mR=0.000 5 m2.5 m×0.000 3 m

2 柔性太陽(yáng)電池翼模態(tài)分析方法

柔性太陽(yáng)電池翼受到張緊機(jī)構(gòu)張力F作用，柔性陣面剛度因張力作用而發(fā)生改變，其形式可表示為K=K0+FK1，其中K0為柔性陣面初始剛度，K1為K關(guān)于張力F的導(dǎo)數(shù)矩陣。柔性陣面初始剛度K0極低，遠(yuǎn)小于由張緊力引入的附加剛度FK1，因此張緊力是決定柔性太陽(yáng)電池翼基頻的重要因素。柔性太陽(yáng)電池翼四個(gè)張緊機(jī)構(gòu)均設(shè)置在頂部收藏箱上，建模時(shí)通過在與頂部收藏箱連接的張緊機(jī)構(gòu)梁?jiǎn)卧鲜┘咏禍貙?shí)現(xiàn)張緊機(jī)構(gòu)張力加載，如圖2所示。為考慮整翼幾何非線性變形及預(yù)應(yīng)力影響，先進(jìn)行非線性靜力分析，獲取張力作用下的整翼剛度矩陣K0+FK1，并以此剛度矩陣為基礎(chǔ)通過模態(tài)分析獲取整翼預(yù)應(yīng)力狀態(tài)動(dòng)力學(xué)參數(shù)。

圖3 收藏箱幾何變形示意圖Fig.3 Collecting box geometric distortion diagram

按設(shè)計(jì)要求模擬張緊機(jī)構(gòu)張力F的溫度變化值的設(shè)置是建立空間站柔性電池翼有限元模型的關(guān)鍵。太陽(yáng)電池翼收藏箱在張緊力作用下產(chǎn)生變形，導(dǎo)致收藏箱在與內(nèi)、外張緊機(jī)構(gòu)連接處變形不一致δ1≠δ2(如圖3所示)，此時(shí)存在兩個(gè)問題：①頂部收藏箱變形δ2>δ1，外部張緊機(jī)構(gòu)原本由溫度應(yīng)力獲得的變形部分被收藏箱變形所抵消，為保證F1=F2=F的設(shè)計(jì)要求，則在外張緊機(jī)構(gòu)上施加的溫度變化值T2必須大于內(nèi)張緊機(jī)構(gòu)上的溫度變化值T1；②受張緊力影響底部收藏箱也發(fā)生變形，在張緊機(jī)構(gòu)上施加相同的溫度變化初值，底部收藏箱外部張緊繩存在受壓F4<0的可能性，導(dǎo)致非線性計(jì)算不收斂。為解決上述問題，本文先采用影響系數(shù)法獲取線性溫度變化初值，再通過非線性迭代修正獲取滿足F1=F2=F要求的溫度變化值T1、T2。

2.1 線性初值獲取

為使內(nèi)外張緊機(jī)構(gòu)張力滿足F1=F2=F的設(shè)計(jì)要求，需在頂部收藏箱內(nèi)外張緊機(jī)構(gòu)梁?jiǎn)卧鲜┘硬煌臏囟茸兓礣1、T2，且T1小于T2。在線性情況下，內(nèi)外張緊機(jī)構(gòu)張力F1和F2可表示為關(guān)于T1、T2的線性方程：

(1)

為便于計(jì)算令張緊機(jī)構(gòu)梁?jiǎn)卧獰崤蛎浵禂?shù)α=1/℃，式(1)的系數(shù)矩陣可通過影響系數(shù)法獲取，即假設(shè)αT1=1、αT2=0，代入整翼有限元進(jìn)行線性求解，F(xiàn)11、F21分別對(duì)應(yīng)為頂部收藏箱內(nèi)外張緊機(jī)構(gòu)單元力，同理假設(shè)αT1=0、αT2=1，可得到F12、F22。此時(shí)令內(nèi)外張緊機(jī)構(gòu)張力F1=F2=F，求解線性方程組(1)可得到線性情況下，使內(nèi)外張緊力均為F時(shí)需加載的溫度變化值T10、T20。

2.2 非線性迭代修正

在非線性情況下，頂部收藏箱內(nèi)外張緊機(jī)構(gòu)張力F1和F2通常表示為關(guān)于溫度變化值T1、T2的非線性方程：

(2)

方程組(2)通常是隱式的，不易直接求解，可通過線性求解得到的溫度變化值T10、T20為初值，對(duì)式(2)作Taylor展開，并保留一階項(xiàng)得到：

(3)

式中：矩陣H可采用差分方法計(jì)算獲得，令F1=F2=F，代入式(3)得到新的溫度變化值T11、T21，并將其代入有限元模型進(jìn)行非線性靜力求解，檢查頂部收藏箱內(nèi)外張緊機(jī)構(gòu)單元力是否為F，若仍有偏差，則以T11、T21為初值重復(fù)上述步驟迭代修正，直到內(nèi)外張緊機(jī)構(gòu)單元力滿足精度要求。實(shí)踐表明，僅需一次迭代即可得到足夠精度的張緊機(jī)構(gòu)張力。具體步驟如下：

(1)以線性求解得到的溫度變化值T10、T20為初值，代入有限元模型進(jìn)行非線性靜力求解，輸出頂部收藏箱內(nèi)外張緊機(jī)構(gòu)單元力分別為f1(T10,T20)，f2(T10,T20)；

(2)令T1=(1+η)T10、T2=T20，將上述溫度變化值代入有限元模型進(jìn)行求解，輸出頂部收藏箱內(nèi)外張緊機(jī)構(gòu)單元力分別為f1[(1+η)T10,T20]，f2[(1+η)T10,T20]；

(3)令T1=T10、T2=(1+η)T20，將上述溫度變化值代入有限元模型進(jìn)行求解，輸出頂部收藏箱內(nèi)外張緊機(jī)構(gòu)單元力分別為f1[T10,(1+η)T20]，f2[T10,(1+η)T20]；

(4)計(jì)算矩陣H的各個(gè)分量

(4)

(5)求解線性代數(shù)方程(3)，得到得到溫度變化值T11、T21，代入有限元模型校核張緊機(jī)構(gòu)單元力；

(6)以溫度變化值T11、T21作為初值，重復(fù)(1)～(5)步直到內(nèi)外張緊機(jī)構(gòu)單元力滿足精度要求為止。

3 柔性太陽(yáng)電池翼動(dòng)力學(xué)特性

假設(shè)張緊機(jī)構(gòu)張力F=30 N，柔性太陽(yáng)電池翼非線性靜力及模態(tài)分析結(jié)果如表2、表3所示，結(jié)果表明電池翼底部收藏箱內(nèi)外張緊機(jī)構(gòu)張力不均勻。柔性太陽(yáng)電池翼一階彎曲振型表明底部收藏箱外部張緊力不足，柔性陣面應(yīng)力不均勻?qū)е玛嚸嫱鈧?cè)剛度變小、容易蜷曲，如圖4所示。為了驗(yàn)證均勻張力對(duì)柔性電池翼基頻的改善，在電池翼底部收藏箱外側(cè)各增加一個(gè)張緊機(jī)構(gòu)，分析表明張緊機(jī)構(gòu)張力相同，整翼基頻明顯提高，振型如圖5所示，因此建議設(shè)計(jì)中應(yīng)采取相應(yīng)改進(jìn)措施。

表2 非線性靜力計(jì)算結(jié)果Tab.2 Nonlinear static calculation results

表3 模態(tài)計(jì)算結(jié)果Tab.3 Modal calculation results

圖4 非均勻張力一階彎曲振型Fig.4 The first order bending mode of non-uniform tension

圖5 均勻張力一階彎曲振型Fig.5 The first order bending mode of uniform tension

柔性電池翼的基頻通過張緊機(jī)構(gòu)預(yù)應(yīng)力施加于柔性陣面實(shí)現(xiàn)，柔性陣面受拉繃緊，伸展機(jī)構(gòu)受壓并與收藏箱提供支撐邊界。在均勻張力作用下，柔性陣面一階固有模態(tài)呈彎曲變形，由于陣面為薄膜結(jié)構(gòu)，其一階頻率及振型與受拉弦近似，可按弦理論近似計(jì)算：

(5)

式中：ρb為陣面線密度；lb為陣面長(zhǎng)度；柔性陣面基頻從0 Hz開始；隨張緊力F增大而逐漸提高。陣面張緊力反作用于伸展機(jī)構(gòu)的軸壓為4F，伸展機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為細(xì)長(zhǎng)梁結(jié)構(gòu)，考慮柔性陣面質(zhì)量影響伸展機(jī)構(gòu)承受軸壓狀態(tài)下自由振動(dòng)頻率：

(6)

式中：ρm為伸展機(jī)構(gòu)線密度，伸展機(jī)構(gòu)基頻隨張緊力F增大而逐漸下降，并在張緊力合力4F超過伸展機(jī)構(gòu)屈曲載荷Pcr時(shí)下降至0 Hz，因此必定存在張緊力4F/Pcr的最優(yōu)取值，如圖6所示。

圖6 伸展機(jī)構(gòu)及陣面基頻隨4F/Pcr比值變化Fig.6 Stretchable mechanism and array base frequency change with 4F/Pcr

圖7 柔性太陽(yáng)電池翼基頻隨4F/Pcr比值變化Fig.7 The flexible solar array base frequency change with 4F/Pcr

柔性陣面張力與伸展機(jī)構(gòu)屈曲載荷比值不同，柔性電池翼整翼基頻及振型也呈現(xiàn)出不同的表現(xiàn)形式，如圖7所示。比值較小時(shí)，柔性陣面尚未張緊，基頻較低，整翼振型表現(xiàn)為陣面大幅振動(dòng)，伸展機(jī)構(gòu)幾乎不動(dòng)，如圖8所示；隨著比值升高，整翼基頻逐漸提高，并且在張緊力4F到達(dá)伸展機(jī)構(gòu)屈曲載荷Pcr的10%時(shí)，到達(dá)整翼基頻的最優(yōu)點(diǎn)，此時(shí)整翼振型表現(xiàn)為陣面與伸展機(jī)構(gòu)振幅相當(dāng)，如圖9所示；當(dāng)越過最優(yōu)點(diǎn)后，隨著比值繼續(xù)提高整翼基頻不斷下降，并在張緊力4F到達(dá)伸展機(jī)構(gòu)屈曲載荷Pcr時(shí)，伸展機(jī)構(gòu)發(fā)生屈曲，整翼基頻下降為0，此時(shí)張力4F=1 720 N，即伸展機(jī)構(gòu)臨界屈曲載荷為Pcr=1 720 N。

圖8 4F/Pcr=0.01整翼振型示意圖Fig.8 4F/Pcr=0.01 solar array vinration diagram

圖9 4F/Pcr=0.1整翼振型示意圖Fig.9 4F/Pcr=0.1 solar array vinration diagram

4 總 結(jié)

本文建立空間站柔性太陽(yáng)電池翼有限元模型，采用溫度應(yīng)力模擬柔性陣面張緊力加載，并通過線性初值加非線性迭代修正，獲取使電池翼內(nèi)外張緊機(jī)構(gòu)張力相同的溫度變化值，解決了由于收藏箱變形導(dǎo)致的柔性陣面非線性靜力計(jì)算迭代不易收斂的問題。根據(jù)非線性靜力分析獲取整翼預(yù)緊力狀態(tài)剛度矩陣，以此剛度矩陣為基礎(chǔ)開展柔性太陽(yáng)電池翼模態(tài)分析，并獲得具有實(shí)際工程設(shè)計(jì)意義的結(jié)論如下：

(1)在電池翼底部收藏箱外部各增加一套張緊機(jī)構(gòu)，可有效保證全部張緊繩張力相同，陣面張力均勻，整翼基頻明顯提高。

(2)柔性電池翼基頻受張緊力影響較大，假設(shè)伸展機(jī)構(gòu)無限剛，張緊力越大電池翼基頻越大。而實(shí)際情況下伸展機(jī)構(gòu)的剛度由其包絡(luò)直徑、縱桿尺寸等因素決定，伸展機(jī)構(gòu)基頻隨張緊力增大而逐漸下降，且張緊力加載受到伸展機(jī)構(gòu)臨界屈曲載荷限制，分析表明張緊力4F到達(dá)伸展機(jī)構(gòu)屈曲載荷Pcr的10%時(shí)，到達(dá)整翼基頻的最優(yōu)點(diǎn)。