游先勇，趙金洲，李勇明，許文俊

（西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610500）

由于裂縫凈壓力會(huì)導(dǎo)致壓裂液向儲(chǔ)層中濾失，這對(duì)儲(chǔ)層壓裂后水力裂縫的尺寸、支撐劑分布以及地層污染情況都有著較大的影響。對(duì)于天然裂縫發(fā)育的儲(chǔ)層，壓裂液會(huì)優(yōu)先選擇滲透率更大的天然裂縫作為滲流通道，從而加劇濾失速度和增大濾失量。

Stahl和Clark對(duì)比分析了不同類型儲(chǔ)層壓裂液的濾失規(guī)律，發(fā)現(xiàn)天然裂縫是壓裂液濾失的重要原因，并且相交天然裂縫是壓裂液滲流的重要通道[1]。Barree和Mukherjee在研究壓裂液濾失時(shí)，考慮裂縫內(nèi)壓力變化，分析了裂縫擴(kuò)展延伸行為對(duì)壓裂液濾失的影響[2]。Nagel等建立了考慮天然裂縫的誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)分布模型，并利用該模型對(duì)壓裂液濾失過程中裂縫內(nèi)壓力變化進(jìn)行了分析[3]。夏富國(guó)等考慮天然裂縫的動(dòng)態(tài)濾失，根據(jù)壓力連續(xù)及流體體積守恒原理，建立了針對(duì)天然裂縫儲(chǔ)層的壓裂液濾失模型，并分析了天然裂縫性質(zhì)、施工參數(shù)等對(duì)壓裂液濾失的影響[4]。李勇明等利用有限元方法建立了考慮儲(chǔ)層裂縫網(wǎng)絡(luò)的壓裂液濾失模型，并求得了其數(shù)值解。該方法模擬了不同形態(tài)裂縫網(wǎng)絡(luò)對(duì)壓裂液濾失過程中儲(chǔ)層應(yīng)力分布的影響[5]。郭建春等建立了張開天然裂縫濾失介質(zhì)形成力學(xué)判別模型，發(fā)現(xiàn)在裂縫性儲(chǔ)層中張開裂縫是壓裂液濾失的主要原因，并分析了凈壓力、泊松比等參數(shù)對(duì)裂縫張開和誘導(dǎo)應(yīng)力的影響[6]。趙立強(qiáng)等通過建立離散裂縫網(wǎng)絡(luò)，利用等效滲透率張量原理將其轉(zhuǎn)化為各向異性連續(xù)介質(zhì)，通過建立二維壓裂液濾失模型來分析天然裂縫分布對(duì)壓裂液濾失速度和濾失量的影響[7]。

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究天然裂縫對(duì)壓裂液濾失的影響時(shí)，僅僅將天然裂縫作簡(jiǎn)化處理，并未考慮其成簇分布的特點(diǎn)，因此該方面研究仍存在局限性。通過分形離散裂縫法生成分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)模型，刻畫了天然裂縫成簇分布的特點(diǎn)，并將其等效為滲透率張量，最后建立了基于等效滲透率張量的壓裂液濾失模型，分析了成簇分布的天然裂縫對(duì)壓裂液濾失的影響。

1 分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)模型

通常情況下，裂縫會(huì)以簇的形式分布于儲(chǔ)層中[8]，傳統(tǒng)的離散裂縫網(wǎng)絡(luò)（DFN）的建立，主要是通過泊松分布對(duì)裂縫中心進(jìn)行刻畫描述[9]（圖1a），但是這種方法生成的天然裂縫分布較為均勻，無法體現(xiàn)天然裂縫成簇分布的特點(diǎn)，即天然裂縫成團(tuán)成簇地在儲(chǔ)層中分布；而分形離散裂縫法（FDFN）是基于離散裂縫網(wǎng)絡(luò)法，通過采用倍增串級(jí)的方法來生成天然裂縫網(wǎng)絡(luò)（圖1b），從而更真實(shí)地刻畫出地層中裂縫的分布特征[10,11]。

分形離散裂縫法的核心思想是：盡管儲(chǔ)層中發(fā)育的天然裂縫分布錯(cuò)綜復(fù)雜，但不同大小區(qū)域的分形維數(shù)卻趨于常數(shù)，根據(jù)這個(gè)特征便可以較合理地刻畫成簇分布的天然裂縫[12]。

FDFN的核心算法公式為：

式中：n（l，L）dl為在L尺寸儲(chǔ)層區(qū)域內(nèi)長(zhǎng)度在l與dl之間發(fā)育裂縫總數(shù)量，條；Dc為裂縫分布的分形維數(shù)，無因次，表征裂縫的聚集程度，取值范圍一般為[1.5，2]；Dl為裂縫長(zhǎng)度的分形維數(shù)，無因次，表征裂縫長(zhǎng)度的分布規(guī)律，取值范圍為[0，∞]，其值越小，長(zhǎng)裂縫的出現(xiàn)概率越大；α為裂縫發(fā)育密度，無因次，與選取儲(chǔ)層區(qū)域大小無關(guān)；L為研究區(qū)域尺寸，m；l為裂縫長(zhǎng)度，m；lmin為天然裂縫尺寸下限，m；N（L）為長(zhǎng)于lmin的天然裂縫數(shù)量（較小尺寸裂縫將被忽視），條。

1.1 裂縫分布分形維數(shù)

裂縫分布的分形維數(shù)采用徑向分布函數(shù)來進(jìn)行計(jì)算：

圖1 兩種模式下的裂縫中心分布Fig.1 Fracture center distribution generated by two methods

式中：C2（r）為裂縫分布的徑向分布函數(shù)；Np（r）為r距離內(nèi)的粒子數(shù)（裂縫數(shù)），個(gè)；N為裂縫總數(shù)，條；c為擬合出的常數(shù)，無因次。通過此公式來計(jì)算裂縫分布的分形維數(shù)Dc。

1.2 生成滿足條件的裂縫分布

該模型采用倍增串級(jí)方法來生成滿足條件的裂縫網(wǎng)絡(luò)，該方法不僅能生成符合分形維數(shù)的天然裂縫中心位置，且能體現(xiàn)其成簇發(fā)育的特點(diǎn)。這是一種迭代方法，其思想是將儲(chǔ)層區(qū)域不斷剖分成小的子區(qū)域，將每個(gè)區(qū)域生成裂縫的概率也隨之剖分，從而使概率大的地方裂縫發(fā)育，概率小的地方裂縫稀疏，直到滿足條件為止。倍增串級(jí)的算法公式為：

式中：Pi為概率；sr為剖分比例；Dc為裂縫分布分形維數(shù)，無因次；q為常數(shù)，二維情況下取2。

1.3 裂縫走向

天然裂縫的走向可以采用Fish分布來進(jìn)行表征：

式中：θ為裂縫偏離平均走向的角度，（°）；K為Fisher常數(shù)，無因次，一般通過露頭數(shù)據(jù)得出，表示與平均值的偏差程度（K越大，裂縫走向一致性越強(qiáng)）。

為了產(chǎn)生裂縫方向，裂縫角度偏差，裂縫偏離角RFK可以根據(jù)式（6）計(jì)算得出。

式中：RFK為裂縫偏離角，（°）；RG為高斯隨機(jī)數(shù)，無因次，取值介于0～1；K為Fisher常數(shù)，無因次。

1.4 建立分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)模型

通過輸入裂縫網(wǎng)絡(luò)的幾何參數(shù)，包括目標(biāo)區(qū)塊裂縫分布分形維數(shù)Dc、裂縫尺寸分形維數(shù)Dl，裂縫密度系數(shù)α，裂縫最短長(zhǎng)度lmin，裂縫發(fā)育帶平均走向及Fisher常數(shù)K，利用Matlab編寫分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)的數(shù)值化模型，建立目標(biāo)區(qū)塊的天然裂縫網(wǎng)絡(luò)。

2 等效滲透率張量

2.1 滲透率張量計(jì)算方法

滲透率張量是巖石滲透率具有方向性的體現(xiàn)。低階張量在各領(lǐng)域運(yùn)用廣泛，標(biāo)量是零階張量（只有一個(gè)值），向量是一階張量（一個(gè)值和一個(gè)方向），而巖石的滲透率張量是二階張量（一個(gè)值和兩個(gè)方向）。張量可以理解為同時(shí)改變向量大小和方向的矩陣，且不隨位置的改變而改變。

二維情況下巖石的滲透率張量可以表示為：

Lamb等人在研究裂縫孔隙雙重介質(zhì)中流體流動(dòng)時(shí)提出，在利用有限元對(duì)雙重介質(zhì)進(jìn)行網(wǎng)格剖分時(shí)，網(wǎng)格塊可以看作是兩個(gè)區(qū)域的疊加（圖2）[13]。

圖2 離散裂縫區(qū)域中基質(zhì)和裂縫單元的表征Fig.2 Schematic representation of the matrix and fracture elements from discretized fractured domain

此時(shí)，裂縫滲透率張量可以用式（8）進(jìn)行表征：

式中：kxx=kf；kyy=km；Kfe為裂縫單元的滲透率；Af為單元內(nèi)的裂縫面積，m2；Ae表示單元面積，m2；K'f為局部笛卡爾坐標(biāo)下的裂縫滲透率張量；Kf為裂縫方向上的滲透率張量；kxx為裂縫滲透率張量在x方向的主值，10-3μm2；kyy為裂縫滲透率張量在y方向的主值，10-3μm2；kf為天然裂縫滲透率，10-3μm2；km為基質(zhì)滲透率，10-3μm2；β為天然裂縫與水平方向的夾角，（°）。

利用上述公式可以將離散裂縫網(wǎng)絡(luò)圖通過疊加原理生成等效滲透率張量。

2.2 有效表征體積計(jì)算方法

等效連續(xù)介質(zhì)模型是連續(xù)介質(zhì)模型和離散裂縫網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)合體，是研究裂縫性儲(chǔ)層滲流規(guī)律的有效方法。但將裂縫性介質(zhì)轉(zhuǎn)化為等效連續(xù)介質(zhì)必須滿足研究域內(nèi)存在表征體積單元（REV）這個(gè)條件。盧波等人認(rèn)為REV尺度應(yīng)該大于節(jié)理跡長(zhǎng)的三倍[14]，而朱冬林，龐作會(huì)通過實(shí)驗(yàn)研究，得出裂縫性巖石的REV尺度應(yīng)該達(dá)到典型節(jié)理跡長(zhǎng)的四倍到八倍的結(jié)論[15,16]。對(duì)于節(jié)理跡長(zhǎng)在3 m以下的裂縫性儲(chǔ)層，該模型符合等效條件。

3 濾失模型建立及求解

根據(jù)滲流力學(xué)理論，流體在地層中的滲流連續(xù)性方程為：

式中：ρ為壓裂液密度，g/cm3；φ為巖石孔隙度，%。

若考慮儲(chǔ)層巖石和壓裂液流體的壓縮性，將其狀態(tài)方程代入式（12），則等式右邊可以表示為：

式中：P0為原始地層壓力，MPa；φ0、ρ0分別為P0壓力下的地層孔隙度、壓裂液密度，g/cm3；Cφ、Cρ分別為巖石孔隙度、壓裂液的壓縮系數(shù)，MPa-1。

將全滲透率張量及式（13）代入式（12）可得：

初始條件：

邊界條件：

①封閉外邊界條件：

②封閉內(nèi)邊界條件為：

③已知壓力的內(nèi)邊界（水力裂縫）：

式中：P0為原始地層壓力，MPa；PF為裂縫內(nèi)壓力，MPa；Lx為x方向研究區(qū)域長(zhǎng)度，m；Ly為y方向研究區(qū)域長(zhǎng)度，m。

對(duì)式（14）進(jìn)行差分離散，利用Matlab進(jìn)行快速求解。

4 實(shí)例分析

在400 m×400 m的區(qū)域中，利用儲(chǔ)層裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)（表1）生成分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)，然后將其等效為滲透率張量，代入到壓裂液濾失模型中，結(jié)合地層的基本參數(shù)（表2），對(duì)壓裂液的濾失過程進(jìn)行模擬和分析。裂縫分布分形維數(shù)Dc和裂縫尺寸分形維數(shù)Dl分別在其取值范圍內(nèi)取2和3，然后隨機(jī)生成滿足分形維數(shù)的離散裂縫網(wǎng)絡(luò)。

表1 儲(chǔ)層裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)Table1 Parameters of reservoir fracture networks

表2 地層基礎(chǔ)參數(shù)Table2 Basic parameters of formation

圖3表示利用分形離散裂縫法生成的400 m×400 m的分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)。該方法共生成了406條天然裂縫，裂縫長(zhǎng)短不一，分布雜亂，且具有成簇分布特征。利用第二節(jié)中所述方法將其轉(zhuǎn)化為等效滲透率張量，代入濾失模型。

圖3 400 m×400 m的分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)Fig.3 Fractal discrete fracture networks with a dimension of 400 m×400 m

圖4和圖5表示壓裂液濾失到地層中20 min和80 min后地層孔隙壓力分布。結(jié)合圖3可以看出，由于天然裂縫的隨機(jī)分布，壓裂液濾失過程中壓力波也存在非均勻傳播的特征。但是從圖5不難看出，由于天然裂縫發(fā)育帶走向呈現(xiàn)北偏東的趨勢(shì)，因此壓力波也率先傳播到地層的東北方，從這個(gè)特征也可以看出，天然裂縫發(fā)育帶的走向在宏觀上對(duì)壓裂液的濾失方向和壓力波的傳播方向起著決定性的作用。

圖4 地層孔隙壓力分布（20 min）Fig.4 Distribution of formation pressure（20 min）

圖5 地層孔隙壓力分布（80 min）Fig.5 Distribution of formation pressure（80 min）

圖6說明垂直于裂縫壁面上壓裂液的濾失速度隨凈壓力的變化而變化。隨著凈壓力的增大，裂縫壁面處的濾失速度也越來越快。結(jié)合圖3可以看出，在靠近壁面40 m左右的地方，有一條接近10 m的長(zhǎng)裂縫，從而造成在裂縫壁面40 m處，濾失速度較其他地方明顯較大，這說明壓裂液是優(yōu)先從天然裂縫中進(jìn)行濾失，且在局部位置，長(zhǎng)裂縫對(duì)壓裂液的濾失有著關(guān)鍵的控制作用。

圖6 垂直裂縫方向不同凈壓力下壓裂液的濾失速度Fig.6 Filtration rate under different fracture net pressure at the direction perpendicular to hydraulic fracture

圖7表示在裂縫壁面50 m處不同壓裂液黏度（10 mPa·s、15 mPa·s、20 mPa·s、25 mPa·s）下壓裂液的濾失速度，剛開始濾失時(shí)，由于裂縫內(nèi)壓力與壁面處的孔隙壓力之間壓差較大，所以濾失速度也較快。當(dāng)壁面處的孔隙壓力增大時(shí)，濾失速度也迅速減小。從圖7可以看出，隨著壓裂液黏度的增大，壓裂液的濾失速度在初期減小的幅度較大，隨后幅度逐漸降低。

圖7 不同壓裂液黏度下壓裂液的濾失速度Fig.7 Filtration rate of different fracturing fluid viscosity

5 結(jié)論

1）基于分形離散裂縫法，建立了儲(chǔ)層二維分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)，合理地表征了裂縫儲(chǔ)層中天然裂縫成簇分布的特點(diǎn)，更加符合實(shí)際。

2）利用已建立的離散裂縫網(wǎng)絡(luò)模型，通過單元剖分，將其轉(zhuǎn)化為滲透率張量，有利于在數(shù)值模擬過程中研究天然裂縫的隨機(jī)非均勻分布特征對(duì)壓裂液濾失行為的影響。

3）建立了基于滲透率張量的壓裂液濾失模型，研究了天然裂縫成簇分布特征對(duì)壓裂液濾失的影響。計(jì)算結(jié)果表明，壓裂液優(yōu)先從天然裂縫中進(jìn)行濾失，且天然裂縫發(fā)育帶的走向在宏觀上決定了壓裂液的濾失方向和壓力波的傳播方向；壓裂液會(huì)沿著長(zhǎng)裂縫進(jìn)行濾失，建議壓裂施工前對(duì)裂縫壁面處的天然裂縫進(jìn)行封堵；壓裂液黏度對(duì)濾失速度也有一定的影響。