湖北 王衛(wèi)華 洪 程

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是其他學(xué)科素養(yǎng)的基礎(chǔ)，是形成理性思維的重要基礎(chǔ).隨著新課改的大力推進(jìn)，人們的教育觀念從只注重成績逐步轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，國民核心素養(yǎng)的培育毫無疑問是極其重要的課題，對高中生而言，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是繞不開的話題，而數(shù)學(xué)抽象是排在所有數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之首，是其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，正如史寧中教授所說：數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也是抽象.我們教學(xué)的最終目的也是培養(yǎng)學(xué)生初步的抽象思維，即邏輯思維能力，從問題情境到概念的升華、從具體計(jì)算題抽象出計(jì)算法則、從具體應(yīng)用題抽象出常見的數(shù)學(xué)模型等,無一不是抽象的過程.數(shù)學(xué)的抽象決定了數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的抽象能力，也決定了學(xué)習(xí)者必須具有一定的抽象能力.那么我們?nèi)绾卫斫鈹?shù)學(xué)抽象呢？

一、數(shù)學(xué)抽象的定義

數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng).

從數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵看，數(shù)學(xué)抽象主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征.注意這里舍去的“物理屬性”不是物理科學(xué)和物理理論，而是現(xiàn)實(shí)的物體的特殊性質(zhì).舍去的是它們的不同點(diǎn)，而得到的是它們的共同點(diǎn)，其中關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形式的共同點(diǎn)就是數(shù)學(xué)研究對象——數(shù)學(xué)抽象.另外某些共同點(diǎn)是物理或者其他科學(xué)的研究對象，就是物理學(xué)或其他科學(xué)的抽象.

從數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科價值看，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.它具有把具體問題用簡潔的數(shù)學(xué)語言符號表示、用一般的方法來解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)文字、變表面無關(guān)的東西為奇妙的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和體系的作用.“抽象”一詞幾乎成為了數(shù)學(xué)的代名詞，數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng).

從數(shù)學(xué)抽象的教育價值看，通過數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，經(jīng)歷從具體到抽象的過程，能夠感悟數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系的形成；能通過抽象、概括去認(rèn)識、理解、把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣；能夠在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中主動運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式解決問題.

二、數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)

1.數(shù)學(xué)抽象具有抽象性

數(shù)學(xué)是一門研究度量、形式、圖形和變化的學(xué)科，雖說它的研究對象脫不開現(xiàn)實(shí)原型，但可以繞開具體內(nèi)容，理性地抽象出思維結(jié)果；另外我們可以用公理化的方法統(tǒng)一數(shù)學(xué)研究的各個領(lǐng)域.比方說，我們從海水潮汐變化、工廠投入與產(chǎn)出的利潤、斜拋運(yùn)動等問題中抽象出函數(shù)概念，并研究得出它的各種性質(zhì)，自此就可以借助函數(shù)的思想統(tǒng)一協(xié)調(diào)高中代數(shù)的主體內(nèi)容，融合各數(shù)學(xué)分支形成一個整體，大大提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.由此可見，在教學(xué)中如果我們運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式，定會培養(yǎng)出學(xué)生在學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)抽象能力.

2.數(shù)學(xué)抽象具有合理性與可操作性

數(shù)學(xué)抽象的合理性表現(xiàn)為重點(diǎn)抽取對象的數(shù)量關(guān)系或空間形式，同時還表現(xiàn)為相對的確定性.以概率為例，我們從實(shí)際問題中抽象出各概率特點(diǎn)，如根據(jù)對象是離散的還是連續(xù)的，將概率劃分為古典概率與幾何概率等概率模型，分別得出相應(yīng)求解策略，這些結(jié)論相互補(bǔ)充正好構(gòu)成了系統(tǒng)且完備的知識體系，有利于學(xué)生的理解與掌握.我們運(yùn)用公理化的思想，借助合理性的數(shù)學(xué)抽象可以建立起各種數(shù)學(xué)符號體系，并借這個科學(xué)思維的智力工具，通過某些可操作的教學(xué)行為，使得學(xué)生有效地建立起形式化、統(tǒng)一化且具有聯(lián)系性、整體性的數(shù)學(xué)知識和思想方法體系，并在解決問題的過程中不斷鞏固、完善和發(fā)展這一體系.這樣加以規(guī)劃、設(shè)計(jì)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力，可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成良性循環(huán).

3.數(shù)學(xué)抽象具有層次性與可接受性

數(shù)學(xué)抽象由于抽象的對象(概念、模型、理論體系等)和過程的不同，數(shù)學(xué)抽象的發(fā)展體現(xiàn)出不同的層次性，正如概念的內(nèi)涵與外延關(guān)系一樣，越抽象概括性越強(qiáng)、應(yīng)用性越廣泛，反映人們抽象思維水平也就越高，但與之俱來的是學(xué)生接受知識的困難大大增加.如函數(shù)的概念，初中給出的定義是以現(xiàn)實(shí)問題中的例子為依托、利用文字?jǐn)⑹鼋o出來的，初中“變量說”的函數(shù)定義抽象程度相對較低，對于剛接受從常量學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向變量學(xué)習(xí)的初中生而言具有可接受性.但這種非形式化的定義具有很大的局限性，不能進(jìn)一步深化函數(shù)的意義和仔細(xì)描述函數(shù)性質(zhì)，因而高中教材采用了抽象程度更高的“映射說”，通過引進(jìn)函數(shù)符號f(x)，使得函數(shù)的眾多性質(zhì)可以通過形式化加以定義和證明.誠然，隨著年齡的增長，高中生已具備了一定的數(shù)學(xué)抽象能力，但是，面對由“非形式化”向“形式化”的飛躍，倘若我們在教學(xué)中不能處理好兩者的有機(jī)結(jié)合，那么學(xué)生會難以理解函數(shù)思想，自主運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)解決問題更是無從談起.可見，教師的有效教學(xué)調(diào)控、耐心引導(dǎo)，并訓(xùn)練學(xué)生逐步從初級的經(jīng)驗(yàn)水平轉(zhuǎn)向高級的科學(xué)水平的抽象，對學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)具有極其重要的作用.

三、數(shù)學(xué)抽象水平的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)

新課標(biāo)每個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平都是從情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)、交流與反思這四個方面來闡述，并且每一個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)均劃分為三個水平，數(shù)學(xué)抽象的三個水平，也是從上述四個方面來說明的：

水平素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象水平一 能夠在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則;能夠在特例的基礎(chǔ)上歸納并形成簡單的數(shù)學(xué)命題;能夠模仿學(xué)過的數(shù)學(xué)方法解決簡單問題.能夠解釋數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的含義;了解數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論;能夠在熟悉的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題.能夠了解用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的推理和論證;能夠在解決相似的問題中感悟數(shù)學(xué)的通性通法,體會其中的數(shù)學(xué)思想.在交流的過程中,結(jié)合實(shí)際情境解釋相關(guān)的抽象概念.水平二 能夠在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則;能夠?qū)⒁阎獢?shù)學(xué)命題推廣到更一般的情形;能夠在新的情境中選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題.能夠用恰當(dāng)?shù)睦咏忉尦橄蟮臄?shù)學(xué)概念和規(guī)則;理解數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論;能夠理解和構(gòu)建相關(guān)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系.能夠理解用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的概念、規(guī)則、推理和論證;能夠提煉出解決一類問題的數(shù)學(xué)方法,理解其中的數(shù)學(xué)思想.在交流的過程中,能夠用一般的概念解釋具體現(xiàn)象.水平三 能夠在綜合的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言予以表達(dá);能夠在得到的數(shù)學(xué)結(jié)論基礎(chǔ)上形成新命題;能夠針對具體問題運(yùn)用或創(chuàng)造數(shù)學(xué)方法解決問題.能夠通過數(shù)學(xué)對象、運(yùn)算或關(guān)系理解數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu);能夠理解數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性;能夠感悟高度概括、有序多級的數(shù)學(xué)知識體系.在現(xiàn)實(shí)問題中,能夠把握研究對象的數(shù)學(xué)特征,并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言予以表達(dá);能夠感悟通性通法的數(shù)學(xué)原理和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.在交流的過程中,能夠用數(shù)學(xué)原理解釋自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象.

水平一是高中畢業(yè)應(yīng)當(dāng)達(dá)到的要求，也是高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的命題依據(jù)；水平二是高考的要求，也是數(shù)學(xué)高考的命題依據(jù)；水平三是基于必修、選擇性必修和選修課程的某些內(nèi)容對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成提出的要求，可以作為大學(xué)自主招生的參考.

四、高中階段數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)載體

通過解讀數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以看出，能力的培育必須要有相應(yīng)的知識土壤，所以必須明確相應(yīng)的素養(yǎng)知識與相應(yīng)的能力載體，這是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提.高中階段數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)載體主要體現(xiàn)在以下幾個方面：集合、函數(shù)的概念與性質(zhì)、三角函數(shù)、立體幾何初步、概率、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、空間向量與立體幾何、平面解析幾何.

五、數(shù)學(xué)抽象與其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系

最新的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》明確指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的，是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力.高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有六個：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)各具獨(dú)立性，又相互補(bǔ)充、相互交融、相互促進(jìn)，形成一個有機(jī)整體，在不同情境中整體發(fā)揮作用.其中前三個素養(yǎng)是數(shù)學(xué)基本思想，是核心素養(yǎng)中最重要的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，后三個素養(yǎng)是傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力和方法.數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，位于六大學(xué)科素養(yǎng)之首，是其他學(xué)科素養(yǎng)的基礎(chǔ)，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.

六、數(shù)學(xué)抽象的具體表現(xiàn)

數(shù)學(xué)以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象，而數(shù)量關(guān)系和空間形式是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的，我們教學(xué)的終極目標(biāo)恰恰是培養(yǎng)學(xué)生具有初步的抽象思維，而不是讓學(xué)生的思維水平停留在形象直觀階段，我們每次學(xué)習(xí)的升華無一不是抽象的過程.數(shù)學(xué)抽象的具體表現(xiàn)有以下幾個方面：形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則、形成數(shù)學(xué)命題和模型、形成數(shù)學(xué)方法與思想、形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.

案例1：《幾何概型》的引入(形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則)

問題1：拋擲一枚骰子，隨機(jī)地拋出一個整數(shù)，求這個整數(shù)不大于4的概率.(素材起點(diǎn)低、入口寬，易了解學(xué)生初步掌握古典概型的情況).

問題2：從區(qū)間[1，6]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)中，隨機(jī)地取出一個實(shí)數(shù)，求這個實(shí)數(shù)不大于4的概率.(問題2會引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，直指幾何概型的核心與本質(zhì)，引發(fā)新知的生長點(diǎn))

問題3：從區(qū)間[1，6]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)中，隨機(jī)地取出兩個實(shí)數(shù)，求這兩個實(shí)數(shù)的和不大于4的概率.

問題4：半徑為2的小球在邊長為6的正方體內(nèi)漂移，求小球與正方體表面相切的概率.

后兩個問題在空間與思維上對問題2進(jìn)行了延伸，既聯(lián)系了實(shí)際，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)了古典概型的基礎(chǔ)上可以類比地嘗試解決每個問題，但有難度，關(guān)鍵的突破口在于如何實(shí)現(xiàn)由有限向無限的轉(zhuǎn)換，可以補(bǔ)充提問：實(shí)驗(yàn)中的基本事件是什么？是等可能的嗎？事件A包含的基本事件有多少？能否用古典概型的公式來解決？

這幾個問題讓學(xué)生從長度、面積、體積等三個角度體會到幾何圖形測量的多樣性，為學(xué)習(xí)幾何概型的概念做了很好的鋪墊，并讓學(xué)生從下面幾個方面進(jìn)行探究：

幾何概型與古典概型有何異同？如何將古典概型中的“有限”上升到幾何概型中的“無限”？如何求幾何概型的概率？

通過不同問題不同角度的探究，有利于深刻理解幾何概型概率計(jì)算公式中的不同幾何圖形的維度，讓學(xué)生積極融知識于情景中，發(fā)揮學(xué)生的主體作用.這樣的設(shè)計(jì)會大大激發(fā)學(xué)生抽象思維的發(fā)展，對數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)的提升起到了積極的促進(jìn)作用.

案例2：利用函數(shù)模型培育數(shù)學(xué)抽象能力(形成數(shù)學(xué)命題和模型)

問題5：已知f(x)=3x，求證：f(x)·f(y)=f(x+y).(必修一P82).

問題6：試著舉幾個滿足“對定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)a,b，都有f(a+b)=f(a)·f(b)”的函數(shù)例子，你能說出這些函數(shù)具有哪些共同性質(zhì)嗎？(必修一P75).

問題7：類比問題6滿足(1)“對定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)a,b都有f(a)+f(b)=f(a+b)”的函數(shù)例子；(2)“對定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)a,b，都有f(a·b)=f(a)+f(b)”的函數(shù)例子；(必修一P75)(3)“對定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)a,b，都有f(a)·f(b)=f(a·b) ”的函數(shù)例子.你能說出這些函數(shù)具有哪些共同性質(zhì)呢？

問題5是給出了具體的函數(shù)表達(dá)式，要求我們利用指數(shù)冪運(yùn)算的特點(diǎn)去解決問題，講解時筆者提醒學(xué)生底數(shù)3能否換成其他的數(shù)，能否換成字母，問題能否倒過來考慮？

然后再將問題5與問題6與7放在一起，讓學(xué)生分組討論，然后得出結(jié)論，很好地培養(yǎng)了學(xué)生從直觀到數(shù)學(xué)抽象的能力，實(shí)際上函數(shù)章節(jié)中抽象能力的聚焦必須要有一定典型的、相關(guān)的函數(shù)模型作為載體，加強(qiáng)重要函數(shù)模型中相關(guān)問題的理解和運(yùn)用，是提高其抽象能力的一個重要環(huán)節(jié)，特別是我們在處理課本習(xí)題時如果就題論題，是不能培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的.

案例3：多題一解(形成數(shù)學(xué)方法與思想)

在教學(xué)中我們常常采用多題一解的教學(xué)策略，其目的就是要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從不同的問題中分析歸納并抽象出它們共同的特征的過程，抽象出解題的一般規(guī)律，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通之效，這樣能減少學(xué)生的機(jī)械記憶，克服題海戰(zhàn)術(shù)，有助于提高學(xué)生抽象思維能力和綜合能力.

問題8：求方程x+y+z=10共有多少組正整數(shù)解？

問題9：把10個相同的球全部裝入編號分別為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子中的球數(shù)不小于其編號數(shù)，問有多少種不同的裝法.

問題10：馬路上有10只路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的燈，那么滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種？

問題11：已知兩個實(shí)數(shù)集合A={a1,a2,…,a10}與B={b1,b2,b3}，若從A到B的映射f使得B中每一個元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a10)，則這樣的映射共有多少個？

筆者記得當(dāng)時講解問題8時,盡管考慮了解題過程，也沒有聽說學(xué)生不理解，但在不久之后的三次測驗(yàn)中我們考了問題9、問題10和問題11，效果均不理想，明明這三題的思路和問題8是一樣的，為什么會出現(xiàn)這種情況呢？筆者通過與學(xué)生溝通得到的答案是：方法聽得明白，但是一變換語境就想不到如何求解.原來如此！這種處理方式不就是題海戰(zhàn)術(shù)的翻版嗎？這充分說明筆者講課時只想到將課講清楚，沒有考慮到學(xué)生的想法，所以現(xiàn)在講課時會調(diào)整教學(xué)策略，將這些題目在一段時間內(nèi)呈現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生比較問題8至問題11，讓學(xué)生明白它們在本質(zhì)上完全一樣，都可以看成將幾個相同的元素被隔開有幾種方法，引導(dǎo)學(xué)生得出隔板法的思想，讓學(xué)生充分體會同一數(shù)學(xué)思想與方法在不同背景下的各種體現(xiàn)，筆者發(fā)現(xiàn)這樣的處理加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和方法的理解，極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力的提高，真正讓學(xué)生達(dá)到了“談題論法”的新高度，真正實(shí)現(xiàn)從量變到質(zhì)變的飛躍.

案例4：《數(shù)列》章節(jié)復(fù)習(xí)(形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系)

我們在學(xué)習(xí)完每一章都要總結(jié)，形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與相應(yīng)的知識體系，這實(shí)際上就是數(shù)學(xué)抽象，通過抽象概括的過程，認(rèn)識與掌握所要研究的對象.如學(xué)完《數(shù)列》，我們可以抽象形成這樣的知識體系：

也可以在大腦里抽象出這樣的知識脈絡(luò)：數(shù)列的概念(數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式的定義、數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示、數(shù)列的分類、數(shù)列單調(diào)性的證明、遞推公式定義)；等差數(shù)列的相關(guān)知識(等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差中項(xiàng)的概念、等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用)；等比數(shù)列的相關(guān)知識(等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)的概念、等比數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用)；證明等差與等比數(shù)列的方法；數(shù)列求和的方法；通項(xiàng)公式的求法；數(shù)列與其他知識的交匯；常見數(shù)列的思想方法；數(shù)列高考題的命題走向與課標(biāo)要求.