浙江 余繼光

高考面對(duì)的是新穎的數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)試者必須把握其本質(zhì)，采取有效方法積極應(yīng)對(duì)，而這種應(yīng)對(duì)能力必須通過(guò)復(fù)習(xí)教學(xué)練“內(nèi)功”來(lái)達(dá)到.教學(xué)中不僅要有明白算理的解答題求解的思維訓(xùn)練，而且還要增加凸顯數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的快速求解思維的訓(xùn)練.

一、挖掘亮點(diǎn)，尋找復(fù)習(xí)著力點(diǎn)

【亮點(diǎn)一】以抽象符號(hào)檢測(cè)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

( )

A.I1

C.I1

解法一：f1(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以|f1(ai+1)-f1(ai)|=f1(ai+1)-f1(ai),

I1=f1(a1)-f1(a0)+…+f1(a99)-f1(a98)=f1(a99)-f1(a0)=f1(1)-f1(0)=1，

所以當(dāng)i≤49時(shí)，|f2(ai+1)-f2(ai)|=f2(ai+1)-f2(ai)；

當(dāng)i≥50時(shí)，|f2(ai+1)-f2(ai)|=-[f2(ai+1)-f2(ai)]，

I2=f2(a1)-f2(a0)+…+f2(a50)-f2(a49)+f2(a50)-f2(a51)+…+f2(a98)-f2(a99)=2f2(a50)-f2(a0)-f2(a99)<1，

當(dāng)25≤i≤49和i≥75時(shí)，|f3(ai+1)-f3(ai)|=-[f3(ai+1)-f3(ai)]；

且f3(a24)f3(a75)，

解法二：

圖1

圖2

圖3

應(yīng)試者不能采用解法一，教學(xué)中，教師介紹解法一的目的是讓學(xué)生理解解法二的思想，而這種思想，不僅在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過(guò)，而且在未來(lái)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中也是非常有用的.

【亮點(diǎn)二】以思維的多樣性檢測(cè)學(xué)生的創(chuàng)新能力

例2.已知甲盒子中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒子中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m≥3,n≥3)，從乙盒子中隨機(jī)抽取i(i=1,2)個(gè)球放入甲盒子中.

(1)放入i個(gè)球后，甲盒子中含有紅球的個(gè)數(shù)記為ξi(i=1,2)；

(2)放入i個(gè)球后，從甲盒子中取1個(gè)球是紅球的概率記為Pi(i=1,2)，則

( )

A.P1>P2,Eξ1

B.P1Eξ2

C.P1>P2,Eξ1>Eξ2

D.P1

解法二：特殊化思想.取m=3,n=3，則

解法三：模型化思想，將古典概型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為溶液的濃度問(wèn)題.

將紅球理解為純紅色的溶液，藍(lán)球理解為純藍(lán)色的溶液，如果一個(gè)盒子中有兩種顏色的球，理解為兩種溶液的混合，把概率理解為濃度，期望理解為溶質(zhì)的含量.

乙盒子中紅色溶液的濃度不是100%，所以從乙盒子中取一個(gè)單位的溶液倒入甲盒子中，甲盒子中紅色溶液的濃度肯定會(huì)降低，所以有P1>P2，但甲盒子中紅色溶液的溶質(zhì)肯定會(huì)增加，因此，Eξ2>Eξ1.下面用溶液計(jì)算方法也可以證明.

②從乙盒子中兩次各取一個(gè)單位的溶液倒入甲盒子后，

解讀：表面上是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，但采用特殊化思想可以迅速求解，如果能達(dá)到模型化思想水平，也可以迅速求解.解法一適合于平時(shí)的算理教學(xué)，此題的設(shè)計(jì)給中學(xué)教師的啟示是如何把大問(wèn)題化成快速求解的小問(wèn)題.

【亮點(diǎn)三】以數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題檢測(cè)學(xué)生的實(shí)踐能力

例3.如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面的射線CM移動(dòng)，此人為了瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值為_(kāi)_______(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角).

解法二：由解法一可見(jiàn)，問(wèn)題化歸為函數(shù)

用判別式法也可以求解：

u2(225+t2)=400±40t+t2，即(u2-1)t2±40t+225u2-400=0，

用三角換元法也可以求解：

解法三：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC，且AB⊥BC，AB=15，AC=25，

二、苦練內(nèi)功，提升復(fù)習(xí)有效性

1.學(xué)生數(shù)學(xué)訓(xùn)練必須練“內(nèi)功”

學(xué)生說(shuō)2014年高考數(shù)學(xué)理科試卷難，難在哪兒？做過(guò)一遍后，發(fā)現(xiàn)試卷涉及絕對(duì)值函數(shù)、無(wú)理函數(shù)、最優(yōu)化等問(wèn)題較多，涉及不等式的求解與轉(zhuǎn)化等運(yùn)算較多，特別是字母運(yùn)算或代數(shù)變形；面對(duì)新穎的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的意識(shí)不到位，結(jié)果費(fèi)時(shí)費(fèi)力且無(wú)效；面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生不能迅速識(shí)別其數(shù)學(xué)模型，腦海中數(shù)學(xué)模型少，轉(zhuǎn)化能力弱，應(yīng)試心理慌，最后以“難”以突破而告終！

(1)在運(yùn)算能力上練“內(nèi)功”

在高考不允許使用計(jì)算器的年代，首先，在計(jì)算能力上必須過(guò)關(guān)，事實(shí)上，由于初中允許使用計(jì)算器，使學(xué)生到高中后的計(jì)算能力大打折扣，數(shù)字的四則運(yùn)算都會(huì)經(jīng)常錯(cuò)，因此平時(shí)要心算、筆算一起練；其次，代數(shù)式的因式分解、多項(xiàng)式的綜合除法、方程的解法、不等式的解法等在按照規(guī)則步驟運(yùn)算的同時(shí)，需注意運(yùn)算方向的優(yōu)化，教師要在各輪復(fù)習(xí)教學(xué)中有意識(shí)地設(shè)計(jì)運(yùn)算能力提升的小練習(xí).

(2)在思想方法上練“內(nèi)功”

七大數(shù)學(xué)思想(函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、有限與無(wú)限、統(tǒng)計(jì)與概率)與七小具體方法(歸納推理、類(lèi)比推理、演繹推理、綜合法、分析法、反證法、歸納法)是高考數(shù)學(xué)命題檢測(cè)的核心，尤其是在面對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，采取不同的語(yǔ)言表達(dá)方式(自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言等)設(shè)計(jì)時(shí)，用數(shù)學(xué)思想與方法理解其本質(zhì)是應(yīng)試關(guān)鍵，這也是浙江高考數(shù)學(xué)命題的一大特色.如上述例1與例2.

(3)在數(shù)學(xué)模型上練“內(nèi)功”

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)問(wèn)題的核心，掌握更多的數(shù)學(xué)模型及解決模型的方法，在應(yīng)試時(shí)就會(huì)比較坦然，正如在社會(huì)生活中一樣，準(zhǔn)備的工具、技能、方法多，識(shí)別的模型多，解決問(wèn)題的能力就較強(qiáng)，無(wú)論是代數(shù)中的數(shù)列，三角中的變換，幾何中的圖形，還是概率統(tǒng)計(jì)中的計(jì)數(shù)，解析幾何中的曲線，都有經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，把握了數(shù)學(xué)模型，就可舉一反三，如上述例3中的經(jīng)典數(shù)學(xué)模型.

2.教師數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)凸顯練“內(nèi)功”

為了提升學(xué)生的“內(nèi)功”水平，教師必須首先具有三大“內(nèi)功”：會(huì)解題，準(zhǔn)精簡(jiǎn)，化變拓.

(1)在“會(huì)解題”上練“內(nèi)功”

數(shù)學(xué)解題能力是一個(gè)教師的立身之本，每位數(shù)學(xué)教師都要成為數(shù)學(xué)解題高手，在高三復(fù)習(xí)中，經(jīng)過(guò)至少兩個(gè)輪回的解題訓(xùn)練，才能達(dá)到數(shù)學(xué)解題的基本要求.

第一輪達(dá)到第一層次：面對(duì)各種各樣的數(shù)學(xué)題要會(huì)解，尋找到問(wèn)題的答案；

第二輪達(dá)到第二層次：不僅會(huì)尋找問(wèn)題的答案，而且要能說(shuō)出為什么這樣解；

第三輪達(dá)到第三層次：能夠說(shuō)出最優(yōu)解或數(shù)學(xué)模型并能引申到更一般的情形.

(2)在“準(zhǔn)精簡(jiǎn)”中練“內(nèi)功”

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的題海教學(xué)中，教師最容易導(dǎo)致“三不”，即不準(zhǔn)——數(shù)學(xué)概念不能準(zhǔn)確把握、不精——個(gè)人精力達(dá)不到對(duì)數(shù)學(xué)概念與知識(shí)的實(shí)質(zhì)性理解、不簡(jiǎn)——常常把簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題講復(fù)雜了，因此，高三教師數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必須做到以下三點(diǎn)：

一是數(shù)學(xué)概念準(zhǔn)確到位.比如，關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)、極值點(diǎn)等的表述，學(xué)生常表達(dá)出錯(cuò)，將其理解為二維的平面點(diǎn)，而它們實(shí)際上是“代數(shù)點(diǎn)(一維點(diǎn))”.教師對(duì)每一個(gè)核心概念、關(guān)鍵的知識(shí)點(diǎn)都要講到位，講準(zhǔn)確.

二是講解思想精力充沛.比如，高三數(shù)學(xué)講題往往就題論題給出答案，不能把題目串起來(lái)，講思想方法與數(shù)學(xué)模型能使學(xué)生舉一反三，統(tǒng)領(lǐng)全局.教師可以通過(guò)一題多變、一題多解、多題一解、多題一型等，把思想方法歸納總結(jié)，使學(xué)生腦中的知識(shí)編成網(wǎng)絡(luò)狀.

三是復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單淺出.比如，高三數(shù)學(xué)中有簡(jiǎn)單問(wèn)題，教師可能會(huì)講得很復(fù)雜，而復(fù)雜問(wèn)題講得更復(fù)雜，這樣容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，失去解題的動(dòng)力與激情；教師若能把復(fù)雜問(wèn)題講得簡(jiǎn)單才能顯示出教師教學(xué)的功底.

(3)在“化變拓”中練“內(nèi)功”

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師常采取的教學(xué)方法是把高考題或模擬題整題照搬來(lái)講，這樣往往會(huì)沖淡主題，使學(xué)生不能集中精力掌握重點(diǎn)，只能達(dá)到事倍功半之效，因此，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)最好的方法有以下三種：

一是化大為小.為了講某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，把一個(gè)“大”的問(wèn)題化成“小”問(wèn)題，如高考數(shù)學(xué)解答題一般都有幾問(wèn)，可以將其拆成小問(wèn)題來(lái)講；也可以把若干個(gè)“大”問(wèn)題中的“小”問(wèn)題串成一起，來(lái)集中講一個(gè)專題，形成一個(gè)數(shù)學(xué)模型，把握一個(gè)突破口.

二是變式教學(xué).“變式”思想是中國(guó)基礎(chǔ)教育的精髓，也是提升學(xué)生理解力的有力武器.如果一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題在教師手中達(dá)到“順?biāo)浦?、順手牽羊、順藤摸瓜”式的變化程度，使學(xué)生達(dá)到“能學(xué)、善學(xué)、樂(lè)學(xué)”的境界，師生的“內(nèi)功”都將達(dá)到一個(gè)較高水平.