郭明樂，劉錦然

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖241003)

Hsu和Robbins及Cai研究NA(Negatively Associated)隨機(jī)變量加權(quán)和的完全收斂并得到了如下結(jié)論[1-2]后，人們對(duì)完全收斂性的關(guān)注越來(lái)越多。

定理1 設(shè){X,Xn,n≥1}是同分布的NA隨機(jī)變量序列，{αni,1≤i≤n,n≥1}是實(shí)數(shù)陣列，對(duì)某個(gè)0＜α≤2滿足

設(shè)bn=n1α(log n)1γ，這里γ ＞ 0，當(dāng)1＜ α ≤ 2時(shí)，EX=0。若對(duì)某h ＞ 0，有Eexp(h|X|γ)＜ ∞，則任意ε＞ 0，有

Sung[3]弱化一些矩的條件，從而改進(jìn)了定理1，得到如下定理。

定理2設(shè){X,Xn,n≥1}是同分布的NA隨機(jī)變量序列，{αnιi,1≤i≤n,n≥1}是常數(shù)陣列對(duì)某個(gè)0＜α ≤ 2滿足(1)式。設(shè)bn=n1α(log n)1γ，這里γ ＞ 0，當(dāng)1＜ α≤ 2時(shí)，EX=0。若則(2)式成立。

設(shè){Xn,n≥ 1}是一隨機(jī)變量序列且an＞0，bn＞0，q＞0。若對(duì)任意ε＞0，有

其中x+=max(0,x)，(x)=(x+)q。這是Chow在文獻(xiàn)[4]中給出的矩完全收斂的概念，顯然矩完全收斂性蘊(yùn)含完全收斂性。

本文在相同的條件下深化定理2，從完全收斂性進(jìn)一步研究矩完全收斂并得到更好的結(jié)論，且本文運(yùn)用不同于Sung[3]所用的方法使得證明過程簡(jiǎn)化。下面先介紹文章中出現(xiàn)的記號(hào)，在不同的地方正數(shù)C表示不同的值；log x=lnmax(e,x)，e為自然常數(shù)；I(A)表示A的示性函數(shù)；an＜＜bn表示存在常數(shù)C＞0，使得對(duì)足夠大的n,有an≤Cbn。稱隨機(jī)變量陣列{Xni,i≥1,n≥1}尾概率有界于隨機(jī)變量X，若存在一個(gè)正數(shù)C，對(duì)任意x≥ 0，i≥ 1和n≥ 1使得P(|Xni|＞ x)≤ CP(|X|＞ x)。

下面的引理給出了尾概率有界的隨機(jī)變量陣列的矩不等式，這些不等式是由Adler等[5-6]創(chuàng)建的。

引理1設(shè){Xn,n≥1}尾概率有界于隨機(jī)變量X，則對(duì)任意n≥1，p＞0，x＞0，

由Hoffmann-Jφrgensen型不等式，Marcinkiewicz-Zygmund型不等式和截尾的方法，文獻(xiàn)[7]建立了行為NA隨機(jī)變量陣列加權(quán)和的矩完全收斂性的充分條件，不同于文獻(xiàn)[3]中運(yùn)用引理[8]建立的行為NA隨機(jī)變量陣列加權(quán)和的完全收斂性的充分條件，使得證明過程簡(jiǎn)化。

引理2設(shè){Yni,1≤i≤kn,n≥1}是行為NA的隨機(jī)變量陣列，{kn,n≥1}是正整數(shù)序列，{an,n≥1}是正數(shù)序列，滿足q＞0且

(ii)存在0＜r≤2和s＞q/r，使得

引理3設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，γ＞0，α＞0，則

證明注意到

利用Fubini定理可得

下面給出本文的主要結(jié)論。

定理3設(shè){Xni,1≤i≤n,n≥1}是行為NA的隨機(jī)變量陣列尾概率有界于隨機(jī)變量X，{αni,1≤ i≤ n,n≥1}是常數(shù)陣列對(duì)某個(gè)0＜α≤ 2滿足(1)式，令bn=n1α(log n)1γ，其中γ＞0。當(dāng)1＜α≤ 2時(shí)，EXni=0，1≤ i≤ n，n≥ 1。若(3)式成立，則

證明不失一般性，可設(shè)ani＞ 0，1≤ i≤ n，n≥ 1(否則,可分別用和替代 ani，記 ani=-)。此處不同于文獻(xiàn)[3]中分|ani|≤1或|ani|＞1兩種情形考慮。在引理2中取an=1/n，kn=n，r=α，Yni=aniXni/bn，1≤ i≤ n，n≥ 1。由ani＞ 0可知{Ynι,1≤ i≤ n,n≥ 1}仍是行為NA的隨機(jī)變量陣。由(1)式不妨設(shè)≤ n，注意到q≤ α，則通過引理1、引理3得

通過(3)式可得E|X|α＜ ∞，則對(duì)任意1≤ i≤ n，n≥ 1，由引理1可得E|Xni|α≤ CE|X|α≤ C。選擇足夠大的s使sα/γ ＞ 1，s＞ q/α，有

當(dāng)0＜α≤1時(shí)，由E|X|α＜∞、馬爾科夫不等式及引理1，可得

當(dāng)1＜ α≤ 2時(shí)，注意到EXni=0，E|X|α＜ ∞，由馬爾科夫不等式及引理1，有

由(6)～(9)式可知引理2中的(i)，(ii)和(iii)成立，從而(5)式得證。

注 由于矩完全收斂性蘊(yùn)含完全收斂性，即(3)式蘊(yùn)含(5)式。因此，在同樣的條件下得到了文獻(xiàn)[3]的結(jié)果，而且本文運(yùn)用截尾的思想貫穿始終使得證明過程得到了極大的簡(jiǎn)化。

定理4設(shè){Xni,1≤i≤n,n≥1}是行為NA的隨機(jī)變量陣列尾概率有界于隨機(jī)變量X，{αni,1≤ i≤ n,n≥ 1}是常數(shù)陣列對(duì)某個(gè)0＜ α≤ 2滿足(1)式，設(shè)q＞ α，令bn=n1α(log n)1γ，其中γ＞ 0。當(dāng)1＜ α≤ 2時(shí)，EXni=0，1≤ i≤ n，n≥ 1。若

則

證明應(yīng)用與證明定理3相同的步驟和方法，下面只給出過程不同的部分。注意到|a≤ n可得|ani|≤ n1α，1≤ i≤ n。因此，對(duì)任意q＞ α，有

接下來(lái)，由引理1和引理3及(11)式，有

從q＞ α可知(10)式蘊(yùn)含E|X|α＜ ∞，則(7)～(9)式依然成立，證明完畢。