薛木森

摘要：本文研究了在以逝品企業(yè)產(chǎn)品價格外生時的動態(tài)最優(yōu)廣告投入策略，考慮了廣告投入的長遠影響。建立了以廣告投入策略為決策變量的最優(yōu)控制模型，并且考慮了企業(yè)的預算約束。利用極大值原理得到了計劃周期內(nèi)的最優(yōu)的廣告投入策略。最后給出了數(shù)值算例，驗證了模型的有效性。

Abstract： In this paper， a dynamic advertising model is constructed with exogenous price and considering the long effect of advertising on firms' profits and budget constraints. The demand function is determined on the exogenous price and the goodwill of products. The optimal advertising strategy is obtained by solving an optimal control model with maximum principle. Finally， a numerical example is given to illustrate effectiveness of this method.

關(guān)鍵司：價格外生；動態(tài)廣告；最優(yōu)控制

Key words： exogenous price；dynamic advertising；optimal control

中圖分類號：F713.8 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2019）02-0024-03

0 引言

隨著經(jīng)濟的發(fā)展，經(jīng)濟全球化的程度越來越高，企業(yè)之間的競爭也越來越激烈。在激烈的市場競爭中，企業(yè)要想獲得較高的市場份額， 就必須依靠產(chǎn)品創(chuàng)新，不斷提高產(chǎn)品的競爭力。那么，怎樣讓消費者知曉新產(chǎn)品，接受新產(chǎn)品？這就需要一種重要的營銷手段——廣告。

企業(yè)的銷量主要有兩個因素決定：一是企業(yè)所占的市場份額；二是產(chǎn)品的銷量。影響這兩個因素的主要是產(chǎn)品的價格和企業(yè)的廣告。廣告投入決策是企業(yè)重要的決策之一。對企業(yè)而，廣告具有良好的經(jīng)濟功能。作為企業(yè)一項重要的營銷手段，廣告不僅能夠讓更多的消費者知曉產(chǎn)品，指導消費者購買產(chǎn)品，還能提高企業(yè)的品牌聲譽，增加銷售量，同時，企業(yè)又能夠根據(jù)需求狀況安排生產(chǎn)，使企業(yè)產(chǎn)生長期的收益。因此，企業(yè)為了取得良好的收益，都會投入大量的廣告費用。例如，在食品行業(yè)，特別是飲料行業(yè)，百事公司在中國投入“藍色風暴”系列產(chǎn)品的廣告耗資億元[1]。廣告的投入成本也是企業(yè)主要的成本之一。這樣，確定未來一段時間內(nèi)的最佳的廣告投入，也就成為企業(yè)一個非常重要的決策。

對于最優(yōu)廣告投入的研究已經(jīng)取得了豐碩的研究成果，并且有些研究成果已經(jīng)成為企業(yè)做出廣告投入決策時重要的參考依據(jù)。Vidale和Wolfe（1957）提出了廣告銷量的動態(tài)模型。這類動態(tài)廣告模型稱為VW廣告模型。VW 模型假設(shè)企業(yè)的廣告投入可以增加企業(yè)的銷售量，運用最優(yōu)控制方法對企業(yè)的廣告投入決策進行了優(yōu)化。Nerlove和Arrow（1962）提出了廣告影響企業(yè)商譽的動態(tài)廣告模型，這類動態(tài)廣告模型又稱為NA廣告模型。NA廣告模型假設(shè)企業(yè)的廣告投入可以增加企業(yè)的商譽，企業(yè)的商譽可以增加產(chǎn)品的需求。以極大化企業(yè)的收益為目標，運用動態(tài)最優(yōu)控制方法對企業(yè)的廣告投入進行了優(yōu)化。張勤生和孟廣燕（2004）在消費者行為分析和廣告作用原理分析的基礎(chǔ)上，利用動態(tài)最優(yōu)控制理論，研究了信息型廣告和品牌廣告投入比率的確定和廣告的最優(yōu)投入策略。Grosset和Viscolani（2009）在 NA廣告模型中考慮了廣告的投入對企業(yè)的商譽可能會產(chǎn)生負面作用，廣告投入對商譽產(chǎn)生的負面作用的可能原因為企業(yè)的零售商進行的一些打折促銷廣告所引起的。他們研究發(fā)現(xiàn)，當副作用較小時，存在最優(yōu)的廣告投入決策，而一旦副作用足夠大，那么不存在最優(yōu)的廣告投入。聶佳佳和熊中楷（2008）運用NA模型研究了廣告影響需求下的壟斷企業(yè)的定價和廣告聯(lián)合決策模型。Xiong和Nie（2009）、聶佳佳和熊中楷（2006，2009）、熊中楷等（2009）以及聶佳佳等（2008）研究了廣告影響需求下的價格和廣告聯(lián)合決策模型。

上述廣告投入策略都是在廣告投入預算沒有約束的情況下獲得最佳的廣告投入策略。然后，在實際中，企業(yè)用于廣告的投入不能無限大，都存在預算約束。Sethi（1977）研究了廣告預算約束的問題。他發(fā)現(xiàn)，預算約束較大時，不會影響企業(yè)的廣告投入決策，但是預算約束較小時，會影響企業(yè)的廣告投入決策。可見，在企業(yè)確定最優(yōu)廣告投入決策時，不能夠忽略預算約束的影響。本文將考慮預算約束的影響和產(chǎn)品價格外生時，在給定的計劃周期內(nèi)，以極大化企業(yè)的收益為目標，建立廣告投入的最優(yōu)控制模型，求解最優(yōu)的廣告投入策略，為企業(yè)決策提供參考。

1 模型描述

圖1給出了不同階段的廣告策略。

從圖中可以看到，銷售階段開始時，由于產(chǎn)品的商譽較低，因此，企業(yè)必須投入較多的廣告，迅速地提高產(chǎn)品的商譽，以增加產(chǎn)品的需求量。隨著銷售周期的延長，市場逐漸成熟，企業(yè)可以逐漸的減少廣告的投入量，以減小由廣告投入帶來的成本。利用這個最優(yōu)的控制策略，通過式（3）就可以計算出計劃周期內(nèi)的最大總利潤為8703.4597。

4 結(jié)論

由于受傳統(tǒng)廣告模型結(jié)論的影響和缺乏實證性分析，許多企業(yè)將廣告的投入量視為一個常數(shù)值，在進行廣告投入決策時，沒有考慮廣告的對需求和收益的長遠影響。本文研究了在企業(yè)產(chǎn)品價格外生時的動態(tài)最優(yōu)廣告投入策略，考慮了廣告投入的長遠影響。建立了以廣告投入策略為決策變量的最優(yōu)控制模型，并且考慮了企業(yè)的預算約束。利用極大值原理得到了計劃周期內(nèi)的最優(yōu)的廣告投入策略。最后，給出了一個數(shù)值算例，驗證了模型的合理性。

參考文獻：

[1]葛熔金.“藍色風暴”億元廣告案開庭[N].中國廣告，2006.

[2]Vidale， M.L.， Wolfe ，H.B. An operations research study of sales response to advertising[J] . Operations Research ， 1957， 5： 370-381.

[3]Nerlove， M.， Arrow， K.J. Optimal advertising policy under dynamic conditions[J]. Economica， 1962， 29（5）： 129-142.

[4]張勤生，孟廣燕.基于動態(tài)最優(yōu)控制的廣告投入策略研究[J]. 中國海洋大學學報，2004，34（5）：921-924.

[5]Grosset， B.， Viscolani， L. Optimal dynamic advertising with an adverse exogenous effect on brand goodwill[J]. Automatica， 2009， 42（4）： 863-870.

[6]聶佳佳，熊中楷.基于動態(tài)最優(yōu)控制的新產(chǎn)品定價和廣告聯(lián)合決策模型[J].營銷科學學報，2008，13（3）：41-51.

[7]聶佳佳，熊中楷.制造商廣告和零售商動態(tài)定價聯(lián)合決策模型[J].管理科學，2006，19（6）：42-47.

[8]熊中楷，聶佳佳，李根道.基于微分對策的多寡頭品牌和大類廣告策略研究[J].管理工程學報，2009，23（3）：72-79.

[9]聶佳佳，熊中楷.廣告影響需求下的新產(chǎn)品競爭性動態(tài)定價策略[J].華東經(jīng)濟管理，2009，23（7）：143-149.

[10]Xiong， Z.， Nie， J. Optimal Pricing and Advertising Competition in Two Supply Chains with Deterministic Demand[J]. International Journal of Manufacturing Technology and Management， 2009， 17（3）： 289-314.

[11]Sethi， S.P. Optimal advertising for the Nerlove-Arrow model under a budget constraint[J]. Operational Research Quarterly， 1977， 28（3）： 683-693.