劉曉華

（山東工商學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 煙臺 264005）

0 引言

將統(tǒng)計(jì)過程控制應(yīng)用于金融領(lǐng)域是最近二十年才開始的工作，從國內(nèi)外研究成果可以看出，將統(tǒng)計(jì)過程控制用于金融風(fēng)險管理的理論研究還不完善，需要對模型進(jìn)行改進(jìn)。本文在傳統(tǒng)控制圖的基礎(chǔ)上，針對金融序列中出現(xiàn)的自相關(guān)和異方差性，用自回歸模型AR提取相關(guān)性，用條件異方差模型GARCH提取異方差性，再對殘差建立控制圖，并利用滬深300指數(shù)進(jìn)行了實(shí)證分析，結(jié)果表明殘差控制圖可以很好的監(jiān)控金融風(fēng)險。

1 控制圖相關(guān)理論

1924年休哈特首先提出了控制圖的理論，此后控制圖的相關(guān)理論廣泛應(yīng)用于質(zhì)量管理相關(guān)領(lǐng)域，并在實(shí)際應(yīng)用過程中，根據(jù)各種可能的情況，出現(xiàn)了相應(yīng)的修正控制圖?？刂茍D主要由三條標(biāo)志線構(gòu)成，最上面的是上控制限（UCL），最下面的是下控制限（LCL），中間的為中心線（CL），其中上限控制限的確定依據(jù)小概率事件原理。

以正態(tài)分布N(μ，σ2)為例，根據(jù)分布性質(zhì)可知P(|X-μ|≥3σ)=0.0026，也就是說樣本數(shù)據(jù)落在μ±3σ外的概率很小，在3‰以下，是一個小概率事件。由此確定控制限分別為：

在控制圖中，如果過程運(yùn)行正常，則點(diǎn)會落在上下控制限內(nèi)。而如果點(diǎn)一旦落在上下控制限之外，則根據(jù)小概率事件原理，小概率事件一旦出現(xiàn)，則意味著系統(tǒng)出現(xiàn)異常，需要進(jìn)行調(diào)整。

在通過控制圖對質(zhì)量過程進(jìn)行監(jiān)測的過程中，主要有兩類錯誤：第一類錯誤是實(shí)際過程未發(fā)生異常，但是點(diǎn)落在了控制限外，根據(jù)控制圖判定過程異常，犯了棄真的錯誤，犯第一類錯誤的概率一般用α表示。第二類錯誤是實(shí)際過程已經(jīng)發(fā)生異常，但是點(diǎn)落在了控制限內(nèi)，但是根據(jù)控制圖判定為過程正常，犯了取偽的錯誤，犯第二類錯誤的概率用β表示。犯這兩類錯誤的概率不同時最小，此消彼長。在控制圖設(shè)計(jì)時，應(yīng)盡量使得犯這兩類錯誤造成的總損失最小。

常規(guī)控制圖在設(shè)計(jì)過程中通常假定獨(dú)立同分布，但實(shí)際的質(zhì)量過程經(jīng)常出現(xiàn)一定的自相關(guān)性，對此常用的改進(jìn)方法主要有兩種：

第一種方法是調(diào)整常規(guī)控制圖的控制限，通過改進(jìn)方差的估計(jì)來對控制限進(jìn)行調(diào)整。

第二種方法是對殘差建立控制圖，首先對數(shù)據(jù)建立合適的時間序列模型提取序列中的自相關(guān)性，再構(gòu)造殘差序列，擬合后的殘差值通常滿足獨(dú)立同分布，符合常規(guī)控制圖的假定，由此構(gòu)造殘差控制圖進(jìn)行控制。

2 自回歸模型AR的設(shè)計(jì)

自回歸模型AR是用變量自身的滯后項(xiàng)為自變量進(jìn)行回歸，p階自回歸記為AR（p），其模型形式如下：

模型有三個限制條件，條件一：φp≠0保證了模型的最高階是p；條件二：E(εt)=0,Var(εt)=σ2ε，E(εtεs)=0，s≠t則要求隨機(jī)干擾序列是零均值的白噪聲過程；條件三：Exsεt=0，?s＜t，則說明當(dāng)前的隨機(jī)干擾與過去的序列無關(guān)。

在AR（p）序列中，通常要求過程平穩(wěn)，需要滿足的條件為模型對應(yīng)的特征方程對應(yīng)的特征根都在單位圓內(nèi)。

以AR（1）為例介紹AR模型殘差控制圖的構(gòu)造。

3 條件異方差模型GARCH控制圖的設(shè)計(jì)

在金融時間序列分析中，數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)某一特征的值成群出現(xiàn)的情況，即波動的集群性。在進(jìn)行分析時，數(shù)據(jù)同時表現(xiàn)為自相關(guān)和異方差，此時需要使用自回歸條件異常差模型，即ARCH模型。ARCH（q）模型形式如下：

ARCH模型實(shí)際上使用殘差平方序列的q階移動平均擬合當(dāng)期異方差，由于移動平均MA模型的自相關(guān)系數(shù)q階之后截尾，所以ARCH模型只適用于具有短期相關(guān)性的異方差函數(shù)。但在實(shí)際中，殘差序列的異方差函數(shù)可能具有長期相關(guān)，此時如果使用ARCH模型擬合異方差，將產(chǎn)生很高的移動平均階數(shù)，造成參數(shù)估計(jì)的難度增加和模型的擬合精度受影響。

為了修正這個問題，Billerslov在1985年提出了廣義自回歸條件異方差模型（GARCH），模型GARCH(p，q)形式如下：

條件1：參數(shù)非負(fù)，即ω＞0，ηi≥0，λj≥0。

假設(shè){xt}同時存在自相關(guān)性和異方差性，其表達(dá)式為xt=mt+ηt=E(xt|xt-1,…)+ηt。其中，mt為在給定t時刻之前信息的條件下xt的條件均值，ηt為相互獨(dú)立的擾動項(xiàng)，因?yàn)閤t存在序列相關(guān)性，可以用AR模型進(jìn)行擬合，此時，則殘差序列為εt=xt。其中為參數(shù)的估計(jì)值為條件均值的估計(jì)值。

此時υt～N(0，1)，則有εt～N(0，ht)，又因?yàn)椋瑒t，則在置信水平在99.73%下，有，因此基于序列{}xt的控制圖，其控制限為：

因?yàn)椋琱t隨著時間t而不斷改變，所有中心線和上下控制限都會波動，這三條控制限的變動會使得對異常值的判斷帶來困難，因此可以對殘差進(jìn)行控制。在中進(jìn)行變形得到，也就是說，在時刻t，殘差εt落在中的概率為99.73%，按照小概率事件原理，如果點(diǎn)落在在外，可以判斷為異常點(diǎn)。這樣對序列{xt}的監(jiān)控可以轉(zhuǎn)化為對殘差序列{εt}的監(jiān)控，即為殘差控制圖，其控制限為：

在殘差控制圖中，中心限為直線，只有上下控制限是變動的，相對于之前的控制限式（6）有了很大改善，在使用過程中也很方便。

4 實(shí)證分析

本文以滬深300綜合指數(shù)進(jìn)行實(shí)證分析，樣本時間為2005年1月4日至2017年10月13日，除去節(jié)假日，共3104個樣本數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于同花順軟件。在對股指進(jìn)行數(shù)據(jù)分析中，人們一般關(guān)心收益率的波動，首先將原始數(shù)據(jù)通過rt=ln(Pt)-ln(Pt-1)轉(zhuǎn)換為對數(shù)收益率，其中rt為第t天的對數(shù)收益率，Pt為第t日的滬深300指數(shù)日收盤價。

對對數(shù)收益率rt的序列進(jìn)行分析，時序圖如下頁圖1所示。

圖1 對數(shù)收益序列rt時序圖

圖2 對數(shù)收益率序列rt描述統(tǒng)計(jì)圖

從圖1中可以看出，數(shù)據(jù)表現(xiàn)出在一定的時間段內(nèi)（如1500～2000）波動比較小，但是在有的時間段（500～1000和2300～2700）波動很大，存在明顯的集聚效應(yīng)。由圖2的直方圖和描述性統(tǒng)計(jì)分析可以看出：數(shù)據(jù)SK=-0.52＜0，分布時左偏的，峰度系數(shù)KU=6.667，高于正態(tài)分布的峰度3，收益率序列是尖峰分布。因此收益率序列同時具有尖峰和厚尾的特征，這也是一般收益率序列的特征。

4.1 GARCH模型的建立

首先需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，ADF檢驗(yàn)的結(jié)果t統(tǒng)計(jì)值值為-54，小于0.01水平下的臨界值-3.43，對應(yīng)的p值為0.0001，拒絕存在單位根的原假設(shè)，數(shù)據(jù)平穩(wěn)。接下來根據(jù)自相關(guān)圖建立相關(guān)回歸模型。

圖3 對數(shù)收益率序列的自相關(guān)圖

由圖3序列的自相關(guān)圖可以看出，序列存在明顯的自相關(guān)，但是自相關(guān)的階數(shù)不易確定，通過嘗試，最終通過系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的模型見表1。

表1 AR模型估計(jì)結(jié)果

由此確定的表達(dá)式為rt=0.0658rt-4-0.0586rt-6+εt。

接下來對殘差進(jìn)行分析，通過圖4可以看出，殘差波動具有明顯的集群效應(yīng)，進(jìn)一步對殘差進(jìn)行ARCH-LM檢驗(yàn)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量為39.46，對應(yīng)的p值為0，拒絕原假設(shè)“ARCH模型殘差不存在異方差性”，說明收益率序列存在明顯的異方差性，需要建立條件異方差模型。

圖4 殘差平方自相關(guān)圖

對殘差建立GARCH（1,1），輸出結(jié)果，AR(4)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)對應(yīng)的p值為0.2325，未通過檢驗(yàn)，剔除重新建立模型，參數(shù)估計(jì)的結(jié)果如表2所示。

表2 GARCH模型估計(jì)結(jié)果

進(jìn)一步構(gòu)造GARCH（1,2）和GARCH（2,1），對信息量進(jìn)行對比，GARCH（1,1）最優(yōu)。故最終模型為：

模型系數(shù)都大于0，且0.053272+0.907399＜1，滿足約束條件。

對殘差再做ARCH-LM檢驗(yàn)，對應(yīng)的F統(tǒng)計(jì)量為1.0341，p值為0.3，序列不存在異方差，自相關(guān)檢驗(yàn)的結(jié)果，序列不存在自相關(guān)性，即殘差序列相互獨(dú)立和等方差，滿足控制圖的假定。

4.2 殘差控制圖的建立

殘差滿足獨(dú)立性和等方差性，符合控制圖的要求，對殘差按照式（7）構(gòu)造控制圖，如下頁圖5所示。

從圖5看出，在500～1000（對應(yīng)時間為2007—2008年）之間和2500～2700（對應(yīng)時間為2015—2016年）之間的點(diǎn)出界的比較多，主要原因在于這兩個時間段中國股市經(jīng)歷了大起大落，在控制圖中這兩個時間段超出控制限的點(diǎn)最多。假定定義|rt|≥0.05為異常點(diǎn)，在用殘差GARCH控制圖進(jìn)行分析，判定的情況如表3所示。

圖5 GARCH控制圖

表3 GARCH控制圖分析情況表

依據(jù)表3，可以計(jì)算得到犯一類錯誤的概率α為4/3032=0.0013，犯第二類錯誤的概率β為6/72=0.083，犯兩類錯誤的概率都很小。

通過圖5可以看到控制圖能把很好監(jiān)控出異常點(diǎn)，下面通過圖6和圖7這兩個時間段對有代表性的日期進(jìn)行分析。

圖6 500—1000號控制圖

圖6中第517號對應(yīng)日期是2007年2月27日，收益率為-9.7%，超過了控制下限，主要誘因是全球股市暴跌引起A股連鎖反應(yīng)，當(dāng)日跌幅為8.84%，創(chuàng)10年來股市跌幅最大。

第578號對應(yīng)日期2007年5月30日，收益率為-7%，超過了控制下限，原因是財(cái)政部在當(dāng)天0時調(diào)整證券（股票）交易印花稅稅率由1‰調(diào)整為3‰。

第581號對應(yīng)2007年6月4日，收益率為-8%，超過了控制下限，原因于多只股票異動不停牌事件，多方唱空重挫滬深兩市。

740號對應(yīng)2008年1月22日，收益率為-7.9%，當(dāng)日全球股市普遍遭遇“黑色星期一外圍股市的暴跌，引發(fā)A股市場跟隨恐慌性拋售。

801號對應(yīng)2008年4月24日，收益率8.89%，超過控制上限，原因在于2008年4月24日起,調(diào)整證券（股票）交易印花稅稅率，由3‰調(diào)整為1‰。

831號對應(yīng)2008年6月10日收益率為-8.5%，原因在于6月7日晚間，中國人民銀行決定，調(diào)高存款類金融機(jī)構(gòu)人民幣存款準(zhǔn)備金率1個百分點(diǎn)。

882號對應(yīng)2008年8月20日，收益率為7.6%，超過控制上限，原因在于市場出現(xiàn)不少利好消息，如政府將出臺千億級的經(jīng)濟(jì)刺激方案，印花稅調(diào)整為雙向征收0.05‰，暫停三個月的新股上市審批等。

圖7 2500—2700號控制圖

2524號對應(yīng)2015年5月28日收益率為-7%，原因在于前期股指漲幅已大，個股估值已高，此時匯金公司的減持動搖了投資者的信心。

2544號對應(yīng)2015年6月26日，收益率為-8.2%，主要原因，應(yīng)該是證監(jiān)會嚴(yán)查場外配資，去桿杠的措施加劇了市場資金的緊張程度，以及部分券商已在對個人的配資買入倉位進(jìn)行強(qiáng)制平倉清出處理，造成市場恐慌。

2565號對應(yīng)2015年7月27日，收益率為-9%，原因是中字頭股、券商股大幅下挫，多公司大股東違規(guī)減持，投資者信心不足。

2672號對應(yīng)2016年1月4日，收益率-7.27%，當(dāng)日股市暴跌，原因主要有滬深300指數(shù)熔斷機(jī)制的實(shí)施，人民幣對美元暴跌和油價下跌。

5 結(jié)束語

本文在傳統(tǒng)控制圖的基礎(chǔ)上，針對時間序列的自相關(guān)性，構(gòu)造了自回歸AR和條件異方差GARCH模型的殘差控制圖，并通過GARCH殘差控制圖對滬深指數(shù)300數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證分析，研究表明控制圖能把大部分異常數(shù)據(jù)監(jiān)測出來，可以對股票市場起到很好的監(jiān)控，這也為金融風(fēng)險的控制提供了一個新的思路。