高志宇，姚雪春

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，南京 仙林 210046)

在物理學(xué)、工程技術(shù)學(xué)等諸多領(lǐng)域中，大部分的計(jì)算問(wèn)題可以歸結(jié)為區(qū)域上的偏微分方程數(shù)值問(wèn)題，邊界元法和有限元法等數(shù)值方法被廣泛應(yīng)用.但自然邊界元法在單獨(dú)處理非線性問(wèn)題上困難重重，而有限元法能適應(yīng)較任意的區(qū)域及更廣泛的問(wèn)題；因此，針對(duì)某些特殊的非線性問(wèn)題，就產(chǎn)生了自然邊界元與有限元耦合法[1-3].

1 非重疊型區(qū)域分解算法

根據(jù)邊界的具體特點(diǎn)，筆者以橢圓弧作為人工邊界，利用非重疊型區(qū)域分解算法(即Dirichlet-Neumann(D-N)交替算法)研究長(zhǎng)條形區(qū)域上的擬線性方程[4-6].設(shè)Ω為R2上具有長(zhǎng)條形內(nèi)邊界的簡(jiǎn)單有界連通區(qū)域，且有足夠光滑的邊Γ，則

(1)

在靜磁學(xué)領(lǐng)域，a表示磁導(dǎo)率，u表示標(biāo)量磁勢(shì);在流體力學(xué)領(lǐng)域，a表示密度，u表示標(biāo)量速度勢(shì).

圖1 橢圓人工邊界Fig. 1 Elliptic Artificial Boundary

對(duì)于問(wèn)題(1)，選取橢圓人工邊界(圖1)，即以原點(diǎn)為中心，作橢圓弧Γ1={(μ,φ)|μ=μ1,0≤φ≤2π}，滿足dist(Γ,Γ1)>0.這樣，Γ1將區(qū)域Ω分成Ω1和Ω22個(gè)子區(qū)域，其中Ω1是Γ1,Γ圍成的有界區(qū)域，Ω2是Γ1以外的無(wú)界區(qū)域.

由文獻(xiàn)[5,7]可知，a(x,u)和Γ1滿足：

(1)函數(shù)f的緊支集suppf?Ω1；

(2)對(duì)于?u∈R，存在常數(shù)C0,C1∈R，使得

0

(2)

(3)對(duì)于?u,v∈R和幾乎所有的x∈Ω，存在常數(shù)CL>0，使得

|a(x,u)-a(x,v)|≤CL|u-v|.

D-N交替算法的步驟如下：

(ⅱ)在Ω2上求解邊值問(wèn)題

(3)

(ⅲ)在Ω1上求解混合邊值問(wèn)題

(4)

(ⅴ)令k=k+1，轉(zhuǎn)(ⅱ).

在上述步驟中，松弛因子δk可取適當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)，問(wèn)題(3)可用自然邊界元法求解，問(wèn)題(4)可用有限元法求解.此外，因?yàn)橹恍枨髥?wèn)題(3)的解在Γ1上的法向?qū)?shù)值，所以無(wú)須直接求解問(wèn)題(3).基于Kirchhoff變換，利用自然邊界元法可得問(wèn)題(3)的自然積分方程.

對(duì)于區(qū)域Ω2上的邊值問(wèn)題，由Kirchhoff變換[8]可得

(5)

由自然邊界歸化原理，得到Possion積分公式

(6)

相應(yīng)的自然積分方程為

(7)

(6)和(7)式的傅里葉形式分別為

(8)

由(5)式可得

(9)

由(8)和(9)式可得Γ1上的精確的邊界條件

2 等價(jià)變分問(wèn)題

對(duì)于問(wèn)題(4)，引入標(biāo)準(zhǔn)Sobolev空間Wm,p，‖·‖和|·|分別參照范數(shù)和半范數(shù)的定義，給出新定義：

Hm(Ω)=Wm,2(Ω)，|·|m,Ω=|·|m,2,Ω，‖·‖m,Ω=‖·‖m,2,Ω.

其解空間V={v∈H1(Ω1)|v|Γ=0}，相應(yīng)范數(shù)為

邊值問(wèn)題(6)等價(jià)于如下變分問(wèn)題：求u∈V，使得

a(u;u,v)+b(u;u,v)=F(v) ?v∈V.

(10)

其中：

3 有限元逼近

Vh={vh∈V|v|K是一個(gè)線性多項(xiàng)式，?K∈ζh}，

則近似問(wèn)題(10)可以轉(zhuǎn)化為：求uh∈V，使得

a(uh;uh,vh)+b(uh;uh,vh)=F(vh) ?vh∈Vh.

(11)

其中：

引理1存在常數(shù)C2>0，使得

|a(u;u,v)+b(u;u,v)|≤C2‖u‖1,Ω1·‖v‖1,Ω1,

根據(jù)離散化問(wèn)題(11)，與線性問(wèn)題的研究結(jié)果類(lèi)似，可得如下形式的線性方程組：

(12)

方程組(12)可以轉(zhuǎn)化為

于是有迭代算法

(13)

Λk+1=δkUk+(1-δk)Λkk=0,1,2….

(14)

定理 2當(dāng)0

4 數(shù)值實(shí)例

現(xiàn)給出一個(gè)數(shù)值實(shí)例，以說(shuō)明D-N交替算法的可行性.對(duì)于擬線性問(wèn)題

圖2 8×32三角形網(wǎng)格剖分Fig. 2 Mesh of Triangle Subdivision is 8×32

圖3 網(wǎng)格參數(shù)h與收斂速度qh的關(guān)系Fig. 3 Relationship Between Mesh Parameters h and Convergence Rate qh

網(wǎng)格收斂速度k012345he(k)0.151 6580.118 2690.098 6660.086 5760.078 8070.073 604eh(k)0.033 3890.019 6030.012 0900.007 7690.005 203qh(k)1.703 1981.621 5141.556 1061.493 124

表1(續(xù))Table 1 (continued)

由以上結(jié)果可以看出，D-N交替算法是收斂的，且隨著迭代次數(shù)的增加，收斂速度與網(wǎng)格參數(shù)h無(wú)關(guān).

5 結(jié)語(yǔ)

利用D-N交替算法和自然邊界元與有限元耦合法研究了長(zhǎng)條形區(qū)域上的擬線性問(wèn)題.根據(jù)區(qū)域形狀特點(diǎn)，引入橢圓弧人工邊界，用D-N交替算法解決了一類(lèi)特殊的非線性算子擬線性問(wèn)題，并給出迭代的收斂性分析.數(shù)值實(shí)例的結(jié)果表明，D-N交替算法對(duì)擬線性問(wèn)題是可行且有效的.