戴紅

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分. 全卷共150分. 考試用時(shí)120分鐘.

第Ⅰ卷（選擇題，共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

1. 已知集合A={x∈R│x2-3x+a>0}，且2？埸A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（-∞，2]? B.[2，+∞） ? C.（-∞，-2] ? D.[-2，+∞）

2. 已知向量■與■的夾角為■，且■=1，■=2，若（3■+？姿■）⊥■，則實(shí)數(shù)？姿=（）

A. -3 B. 3 C. -■ D. ■

3. 設(shè)a>0，b>0，則“a2+b2≤1”是“a+b≤ab+1”的（）

A. 充分不必要條件

B. 必要不充分條件

C. 充要條件

D. 既非充分又非必要條件

4. 如圖所示的程序框圖的算法思路來源于“歐幾里得算法”. 圖中的“aMODb”表示a除以b的余數(shù)，若輸入a，b的值分別為195和52，則執(zhí)行該程序輸出的結(jié)果為（）

A. 13 B. 26

C. 39 D. 78

5. 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x3+ax2+（a-3）x的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f′（x）是偶函數(shù)，則曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程為（）

A. y=3x+1 ? B. y=3x-3 C. y=-3x+1 D. y=-3x

6. 已知x=■是f（x）=asinx+bcosx一條對(duì)稱軸，且最大值為2■，則函數(shù)g（x）=asinx+b（）

A. 最大值是4，最小值為0 B. 最大值是2，最小值為-2

C. 最大值可能是0? ? ? ? ?D. 最小值不可能是-4

7. 在等差數(shù)列{an}中前n項(xiàng)和為Sn，且S2019=-2019，a1011=1，則a2019的值為（）

A. 1008 B. 2018

C. 1009 D. 2017

8. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（）

A. ■ ? ?B. ■

C. ■? ? D. ■+1

9. 正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)是一雙曲線的焦點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)在此雙曲線上，則此雙曲線的離心率為（）

A. ■+1B. ■C. ■+1D. ■

10. 將A， B， C， D，E五種不同的文件隨機(jī)地放入編號(hào)為1， 2， 3， 4， 5， 6， 7的七個(gè)抽屜內(nèi)，每個(gè)抽屜至多放一種文件，則文件A， B被放在相鄰的抽屜內(nèi)且文件C， D被放在不相鄰抽屜內(nèi)的概率為（）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

11. 已知變量x， y滿足約束條件x+2y-3≤0，x+3y-3≥0，y-1≤0，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a≠0）取得最大值時(shí)的最優(yōu)解有無窮多組，則點(diǎn)（a，b）的軌跡可能是（）

12. 函數(shù)f（x）在定義域（0， +∞）內(nèi)恒滿足：①f（x）>0;② 2f（x）

A. ■<■<■ ? ? ? ? ?B. ■<■<■

C. ■<■<■? ? ? ? ? ? D. ■<■<■

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.

13. 已知圓錐的軸截面是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則此圓錐的側(cè)面積為___________.

14. 拋物線y2=8x的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)Q在圓C： x2+y2+6x+8y+21=0上，設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)P到直線l的距離為m，則m+PQ的最小值為___________.

15. 如圖，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E為PC的中點(diǎn).若直線AE與平面PBC所成角的正弦值為■，則PA的長(zhǎng)為______________.

16. 用max{a、 b}表示a、b兩個(gè)數(shù)中的最大數(shù)，設(shè)f（x）=max{x2，■}（x≥■），那么由函數(shù)y=f（x）的圖像、x軸、直線x=■與x=2所圍成的封閉圖形的面積是___________.

三、解答題：本大題共六小題，共計(jì)70分. 解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=Asin（？棕x+？漬）（A>0，？棕>0，？漬< ■）的圖像與y軸交于（0， 2），它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x0， 4）和（x0+■， -4）.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式及x0的值;

（2）若銳角？茲滿足cos？茲=■，求f（？茲）.

18.（本小題滿分12分）某高校自主招生選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某同學(xué)能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為■、■、■，且各輪問題能否正確回答互不影響.

（I）求該同學(xué)被淘汰的概率;

（Ⅱ）該同學(xué)在選拔中回答問題的個(gè)數(shù)記為？灼，求隨機(jī)變量 ？灼的分布列與數(shù)學(xué)期望.

19.（本小題滿分12分）如圖，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED//PA，且PA=2ED=2.

（Ⅰ）證明：平面PAC ⊥平面PCE;

（Ⅱ）若直線PC與平面ABCD所成的角為45°，求二面角P-CE-D的余弦值.

20.（本小題滿分12分）已知中心在原點(diǎn)的橢圓C： ■+■=1（a>0， b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F1（3， 0）， M（4， y）（y>0）為橢圓上一點(diǎn)，△MOF1的面積為■.

（1）求橢圓C的方程;

（2）是否存在平行于OM的直線l，使得直線l與橢圓C相交于A、 B兩點(diǎn)，且以線段AB為有經(jīng)的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，求出的方程，若不存在，說明理由

21.（本小題滿分12分）函數(shù)f（x）=x2+mln（x+1），

（1）當(dāng)m=-4時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間;

（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1， x2，且x1

選考題：請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)

22.（本小題滿分10分）選修4-4：? 坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（■， ■），直線l的極坐標(biāo)方程為？籽cos（？茲-■）=a，且點(diǎn)A在直線l上.

（1）求a 的值及直線l的直角坐標(biāo)方程;

（2）圓c的參數(shù)方程為x=1+cos？琢，y=sin？琢（？琢為參數(shù)），試判斷直線l與圓的位置關(guān)系.

23 .（本小題滿分10分）選修4-5：? 不等式選講

已知函數(shù)f（x）=x+1.

（1）解不等式：f（x）≤2x;

（2）若不等式f（x）-x-2≥a的解集為非空集合，求a的取值范圍.

2019年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)模擬試題參考答案

一、選擇題：A;B;A;A;D;C;D;B;A;C;D;D.

二、填空題：13. ■？仔;14.■-2;15. 2或■;16. 3-■.

三、解答題：

17.（1）依題意得A=4，∵ （x0+■）-x0=■，∴ f（x）的周期為？仔，從而？棕=2. 由2=4sin（2·0+？漬）及？漬<■得？漬=■.

∴ f（x）=4sin（2x+■）.

由2x0+■=■，得 x0=■.

（2）∵ cos？茲=■，？茲∈（0，■），∴ sin？茲= ■.

f（？茲）=4sin（2？茲+■）=4sin2？茲cos■+4cos2？茲sin■.

=2■sin2？茲+2cos2？茲=4■sin？茲cos？茲+4cos2？茲-2

=■.

18. 解析：（Ⅰ）記“該同學(xué)能正確回答第i輪的問題”的事件為Ai（i=1， 2， 3），

則P（Ai）=■，P（A2）=■，P（A3）=■，

所以該同學(xué)被淘汰的概率為：

P=P（A1+A1A2+A2A2A3）=P（A1）+P（A1）P（A2）+P（A1）P（A2）P（A3）

=■+■×■+■×■×■=■.

（Ⅱ）？灼的可能值為1， 2， 3，P（？灼=1）=P（A1）=■，P（？灼=2）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=■×■=■，P（？灼=3）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=■×■=■.

所以的分布列為：

數(shù)學(xué)期望為E？灼=1×■+2×■+3×■=■.

19. 證明：（Ⅰ）連接BD，交AC于點(diǎn)O，設(shè)PC中點(diǎn)為F，連接OF，EF.

因?yàn)镺，F(xiàn)分別為AC，PC的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥PA，且OF=■PA.

因?yàn)镈E∥PA，且DE=■PA，所以O(shè)F∥DE，且OF=DE.

所以四邊形OFED為平行四邊形，所以O(shè)D∥EF，即BD∥EF.

∵ PA⊥平面ABCD，BD？奐平面ABCD，所以PA⊥BD.

∵ ABCD是菱形，所以BD⊥AC.

∵ PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC. 因?yàn)锽D∥EF，所以EF⊥平面PAC.

因?yàn)镕E？奐平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE.

（Ⅱ）因?yàn)橹本€PC與平面ABCD所成角為45°，所以∠PCA=45°，所以AC=PA=2.

所以AC=AB， 故△ABC為等邊三角形. 設(shè)BC的中點(diǎn)為M，連接AM，

則AM⊥BC. 以A為原點(diǎn)，AM， AD， AP分別為x， y， z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz. 則P（0， 0， 2），C（■， 1， 0），E（0， 2， 1），D（0， 2， 0），

■=（■， 1， -2），■=（-■，1，1），■=（0，0，1）.

設(shè)平面PCE的法向量為■=（x1，y1，z1），則■·■=0，■·■=0，

即■x1+y1-2z1=0，-■x1+y1+z1=0.令y1=1，則x1=■，z1=2.所以■=（■， 1， 2）.

設(shè)平面CDE的法向量為■=（x2， y2， z2），

則■·■=0，■·■=0，即z2=0，-■x2+y2+z2=0.令x2=1，則y2=■，z2=0，所以■=（1， ■， 0）.

cos〈■， ■〉=■=■=■.

設(shè)二面角P-CE-D的大小為？茲，由于？茲為鈍角，所以cos？茲=-■，

即二面角P-CE-D的余弦值為-■.

20.（1）∵ ■=■，∴ ■y=■？圯y=1.

∵ M在橢圓上，■+■=1……（1）

∵ F1是橢圓的焦點(diǎn)，∴ a2=b2+9……（2）

由（1）（2）解得：a2=18，b2=9，

橢圓的方程為■+■=1.

（2）OM的斜率k=■，設(shè)l的方程為y=■x+m，

聯(lián)立方程組y=■x+m，■+■=1整理得9y2-16my+8m2-9=0.

設(shè)A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1， y1）， （x2， y1），則y1+y2=■，y1y2=■.

以AB為直徑的圓的方程為（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0.

該圓經(jīng)過原點(diǎn)∴ x1x2+y1y2=0.

x1x2=（4y1-4m）（4y2-4m）=16y1y2-16m（y1+y2）+16m2

∴ x1x2+y1y2=16y1y2-16m（y1+y2）+16m2+y1y2

=17y1y2-16m（y1+y2）+16m2=■-■+16m2=0，

解得m=±■.

經(jīng)檢驗(yàn)，所求l的方程為y=■x±■.

21. 解析：（1）依題意知函數(shù)定義域?yàn)椋?1，+∞），f′（x）=2x+■=■，當(dāng)m=-4時(shí)，令f′（x）=■<0，得：-2

故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間（-1， 1）.

（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、 x2，且x1

知0

■=■=2x2ln（x2+1）-■.

令？漬（x）=2xln（x+1）-■，x∈（-■，0），

∴ ？漬′（x）=2ln（x+1）+■，令g（x）=2ln（x+1）+■，

∴g′（x）=■=■，令h（x）=x2+3x+1.

又∵ x∈（-■， 0）， （x+1）3>0，h（x）在（-■， 0）單調(diào)遞增且h（0）>0，h（-■）<0，

即存在x0∈（-■， 0）使得h（x0）=0即x∈（-■，x0），g′（x）<0，x∈（x0， 0），g′（x）>0，

g（x）在（-■， x0）單調(diào)遞減，g（x）在（x0， 0）單調(diào)遞增.

又g（0）=0，g（-■）<0，∴ x∈（-■，0），？漬′（x）<0，

∴ x∈（-■，0），？漬（x）在（-■，0）單調(diào)遞減，又∵ ？漬（0）=0 ？漬（-■）=ln2-■，

故所求范圍為（0， ln2-■）.

選做題：

22. 解析：（1）由點(diǎn)A（■， ■）在直線？籽cos（？茲-■）=a上，可得a=■.

所以直線l的方程可化為？籽cos？茲+？籽sin？茲=2，

從而直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0.

（2）由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）2+y2=1，

所以圓心為（1， 0），半徑r=1.

以為圓心到直線的距離d=■<1，所以直線與圓相交.

23 . 解析：（1）f（x）≤2x？圳? x+1≤2x？圳x+1≥0，x+1≤2x或x+1<0，-（x+1）≤2x？圳x≥1，

∴ f（x）≤2x的解集為{x│x≥1}.

（2）f（x）-x-2≥a？圳x+1-x-2≥a ∵x+1-x-2≤（x+1）-（x-2）=3，∴ a≤3.