陳淇，史治宇，張杰

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016)

0 引 言

系統(tǒng)的時(shí)變問題指的是，因外部環(huán)境影響或自身結(jié)構(gòu)特性，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)隨時(shí)間變化的問題。隨著人類社會(huì)的進(jìn)步和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，工程結(jié)構(gòu)的時(shí)變問題在包括土木工程、機(jī)械設(shè)計(jì)、航空航天等多個(gè)領(lǐng)域日漸突出。例如，高超聲速飛行器在高速飛行過程中，因自身的氣動(dòng)布局和氣動(dòng)加熱等問題導(dǎo)致的顫振現(xiàn)象[1]；汽車經(jīng)過橋梁時(shí)，因?yàn)楦郊淤|(zhì)量導(dǎo)致的車橋系統(tǒng)集中質(zhì)量隨汽車位置而改變；人工智能機(jī)械手臂在旋轉(zhuǎn)過程中，因結(jié)構(gòu)本身的改變，而導(dǎo)致的空間質(zhì)量分布和剛度分布的改變等。因此，時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識別方法的研究有著重要的學(xué)術(shù)價(jià)值和工程價(jià)值。

為了尋找到一種可靠的時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識別方法，國內(nèi)外學(xué)者做過諸多努力。20世紀(jì)80年代，A.Grosssman等[2]為了研究地震波的時(shí)頻特性首次提出了小波的概念；而后，W.J.Staszewski等[3]基于小波的各種改進(jìn)方法被用于動(dòng)力學(xué)參數(shù)識別領(lǐng)域。許鑫等[4]在連續(xù)小波積分的基礎(chǔ)上，把振動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)化為以加速度項(xiàng)表達(dá)的小波變換式，并提出了基于加速度響應(yīng)的連續(xù)小波變換的時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識別方法。N.E.Huang等[5-6]提出了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法(即EMD法)，該方法與M.Feldman[7-8]的Hilbert變換相結(jié)合，便是著名的Hilbert-Huang變換(HHT變換)，可用以識別時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)。1997年，K.Liu[9]在狀態(tài)子空間模型的基礎(chǔ)上，引入了自由響應(yīng)時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識別，并于兩年后將該方法推廣至受迫響應(yīng)下的時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識別。狀態(tài)空間的方法后續(xù)還經(jīng)歷了諸多發(fā)展[10]，例如龐世偉等[11-12]引入的投影估計(jì)法、M.Raffy等[13]對漸進(jìn)性統(tǒng)計(jì)誤差的估計(jì)等。這些改進(jìn)的方法都對狀態(tài)空間方法的研究與發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。

上述識別方法在不同層面上均有一定的局限性。因?yàn)樯婕靶〔ɑ瘮?shù)的選取，所以小波的方法需要有一定的信號先驗(yàn)信息，是非自適應(yīng)的。而HHT變換盡管對所有信號都具有自適應(yīng)性，但其本身是一種經(jīng)驗(yàn)式的信號分解方法，存在模態(tài)混疊、缺乏正交性證明等缺陷[14]。狀態(tài)空間的方法涉及矩陣計(jì)算，存在計(jì)算量大等問題。

在吸取了短時(shí)傅里葉變換和連續(xù)小波變換的優(yōu)點(diǎn)下，Yan Zhonghong等[15]提出了頻率切片小波變換的方法；鐘先友等[16-17]將其用于處理爆破分析和故障診斷等信號分析方面的問題。本文則吸取切片小波基可在任意時(shí)頻區(qū)間對信號進(jìn)行切片的優(yōu)點(diǎn)，提出基于時(shí)頻切片分解的時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識別方法，用以識別時(shí)變系統(tǒng)隨時(shí)間而變化的模態(tài)參數(shù)。

1 理論介紹

1.1 時(shí)變振動(dòng)系統(tǒng)基本理論

假設(shè)系統(tǒng)為n自由度的時(shí)變系統(tǒng)，在第k個(gè)自由度上受到脈沖激勵(lì)作用，則系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為[18]

(1)

式中：F(t)為系統(tǒng)所受到的第k個(gè)自由度上的脈沖激勵(lì)；M(t)、C(t)和K(t)分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，它們的數(shù)值都隨著時(shí)間而改變。

設(shè)阻尼為比例阻尼，則可引入X(t)=Φ(t)q(t)對系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)解耦，Φ(t)=[φ1(t),φ2(t),…,φn(t)]，為固有陣型矩陣；q(t)=[q1(t),q2(t),…,qn(t)]T，為模態(tài)坐標(biāo)矩陣。解耦結(jié)果為

(2)

(3)

根據(jù)模態(tài)疊加法，第p自由度上的系統(tǒng)位移響應(yīng)xp(t)為各階模態(tài)位移響應(yīng)xpj(t)的疊加，即

(4)

xpj(t) =φpj(t)qj(t)

=Bpj,k(t)e-ζj(t)ωj(t)t×

(5)

1.2 切片小波基及其相關(guān)理論

(6)

那么，可以利用切片小波基函數(shù)對f(t)進(jìn)行時(shí)頻變換[8]，變換結(jié)果為

(7)

(8)

式中：k為與ω、u獨(dú)立的變量，定義為時(shí)頻分辨系數(shù)，用以表征時(shí)頻切片窗的時(shí)頻伸縮尺度。

根據(jù)海森堡測不準(zhǔn)原理，時(shí)頻切片窗口的頻率邊長和時(shí)間邊長的乘積為一常數(shù)，相對精準(zhǔn)的時(shí)間分辨率將以犧牲頻率分辨率為代價(jià)，相對精準(zhǔn)的頻率分辨率將以犧牲時(shí)間分辨率為代價(jià)，而時(shí)頻分辨系數(shù)k的數(shù)值將決定時(shí)頻分解對頻率或時(shí)間的敏感度。

對于時(shí)頻分解的結(jié)果，可利用逆變換進(jìn)行信號還原，得到原信號在任意時(shí)間區(qū)間和任意頻率區(qū)間內(nèi)的重構(gòu)信號，對于時(shí)間切片區(qū)間(t1,t2)和頻率切片區(qū)間(ω1,ω2)，重構(gòu)信號的表達(dá)式為

(9)

綜上，利用切片小波基可在任意時(shí)頻區(qū)間對信號進(jìn)行切片和其逆變換重構(gòu)還原快速便捷的特點(diǎn)，本文引入針對時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)頻切片分解參數(shù)識別方法。

1.3 基于時(shí)頻切片的時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識別

由時(shí)變系統(tǒng)基本理論可知，n自由度的時(shí)變系統(tǒng)脈沖激勵(lì)下第k自由度上的響應(yīng)激勵(lì)可表示為n個(gè)單模態(tài)信號的線性疊加，而這n個(gè)單模態(tài)信號中分別包含了系統(tǒng)的n階模態(tài)信息。因此，時(shí)變響應(yīng)信號的識別是解決時(shí)變問題的關(guān)鍵。傳統(tǒng)的EMD方法利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法處理響應(yīng)信號，經(jīng)驗(yàn)式地將響應(yīng)信號分解為多個(gè)本征模態(tài)函數(shù)進(jìn)行識別，盡管有較好的自適應(yīng)性，卻存在本征模態(tài)函數(shù)正交性難以證明等問題。本文則引入時(shí)頻切片分解的方法來解決響應(yīng)信號的識別問題，具體時(shí)頻切片分解和后續(xù)識別過程如下：

對振動(dòng)系統(tǒng)采集到的第p自由度上的時(shí)變位移響應(yīng)xp(t)，選擇合適的切片小波進(jìn)行整個(gè)時(shí)間域的時(shí)頻分解，可得到其時(shí)頻分布能量圖，再根據(jù)信號的時(shí)頻分布特性，劃分出n個(gè)時(shí)間頻率區(qū)間，接著依據(jù)這n個(gè)時(shí)間頻率區(qū)間分別對位移響應(yīng)xp(t)進(jìn)行時(shí)頻分解，得到n個(gè)獨(dú)立的時(shí)頻分解后的信號，分解出的這n個(gè)信號即為組成系統(tǒng)脈沖激勵(lì)響應(yīng)的n個(gè)單模態(tài)信號。

(10)

式中：r(t)為時(shí)頻切片分解的殘差項(xiàng)。

(11)

式中：Apj(t)為解析信號的幅值函數(shù)；φpj(t)為解析信號的相位函數(shù)。

(12)

進(jìn)一步可得：

(13)

則解析信號幅值圖InApj(t)-t的斜率為單階模態(tài)頻率和阻尼比乘積的相反數(shù)-ζjωj，解析信號相位圖φpj(t)-t的斜率為單階模態(tài)阻尼頻率ωdj。

基于時(shí)頻切片分解的時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識別方法流程圖如圖1所示。

圖1 基于時(shí)頻切片分解的時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識別方法流程圖

2 仿真分析

為了更直觀地展現(xiàn)基于時(shí)頻切片的時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識別方法，設(shè)計(jì)一個(gè)三自由度的彈簧—阻尼—質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)仿真實(shí)驗(yàn)，如圖2所示。

圖2 仿真結(jié)構(gòu)示意圖

初始位移、速度、加速皆為0，結(jié)構(gòu)初始參數(shù)為

結(jié)構(gòu)參數(shù)隨時(shí)間而變化，變化規(guī)律為

(14)

激勵(lì)為脈沖激勵(lì)，作用在質(zhì)量塊3(m3)上，使用Newmarkβ算法計(jì)算10 s內(nèi)結(jié)構(gòu)各個(gè)自由度上的位移響應(yīng)。選取第二個(gè)自由度上的位移響應(yīng)進(jìn)行時(shí)頻切片分解，得到時(shí)頻分布圖如圖3所示。

圖3 位移響應(yīng)信號的時(shí)頻分布能量圖

從圖3可以看出：信號中主要包含了三階能量分量，按照自然頻率段5～13、13～20、25～35 Hz劃分出三個(gè)頻率切片段，時(shí)間切片長度皆為10 s；這三個(gè)切片片段再次對響應(yīng)信號分別進(jìn)行三次時(shí)頻切片分解，得到三段獨(dú)立的時(shí)頻信號，如果以時(shí)頻圖來展示這三段信號，將得到與圖3類似的三幅各自頻率段上的時(shí)頻，故本文不再重復(fù)展示。

對于時(shí)頻切片分解的結(jié)果，即三段獨(dú)立的時(shí)頻信號，分別通過逆變換算法進(jìn)行信號重構(gòu)，得到三段時(shí)域上的重構(gòu)信號，也就是三階單模態(tài)時(shí)域信號，如圖4所示。

(a) 原信號

(b) 切片1信號重構(gòu)

(c) 切片2信號重構(gòu)

(d) 切片3信號重構(gòu)

(e) 殘差信號

從圖4可以看出：響應(yīng)能量在時(shí)間區(qū)域上分布較均勻，第一階能量較強(qiáng)，第二、第三階能量相對弱些，但和第一階能量大致在數(shù)量級上不存在差異，表明本次仿真包括參數(shù)設(shè)置、激勵(lì)點(diǎn)/響應(yīng)點(diǎn)位置選取、激勵(lì)方式的選擇都較為合理，比較完整地激發(fā)出了結(jié)構(gòu)的三階能量信息。殘差信號為原信號減去重構(gòu)分量信號所得。

對于重構(gòu)的分量信號，依次進(jìn)行Hilbert變換識別系統(tǒng)各個(gè)時(shí)間上的阻尼頻率，以圓頻率形式表示，并和理論計(jì)算的阻尼頻率相比較，如圖5～圖7所示。

圖5 第一階阻尼頻率識別值和理論值對比圖

圖6 第二階阻尼頻率識別值和理論值對比圖

圖7 第三階阻尼頻率識別值和理論值對比圖

從圖5～圖7可以看出：除了無法避免的邊界效應(yīng)外，識別出的三階阻尼頻率和理論三階阻尼頻率隨時(shí)間變換趨勢一致，數(shù)值基本重合。

為了進(jìn)一步展示識別誤差，使用平均相對百分比誤差MAPE，計(jì)算公式為

(14)

本文識別出的一階、二階和三階模態(tài)阻尼比的MAPE分別為1.080%、0.740%和0.043%?？紤]到不可避免的邊界效應(yīng)造成的誤差在MAPE計(jì)算中的占比并不小，因此該識別方法在大部分時(shí)間域中的誤差水平要比MAPE展示的誤差水平還要低得多。可以認(rèn)為基于時(shí)頻切片分解的時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識別方法擁有非常好的識別精度和實(shí)用價(jià)值。

3 結(jié) 論

(1) 基于時(shí)頻切片分解的時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識別方法可以將多自由度時(shí)變系統(tǒng)的響應(yīng)信號進(jìn)行切片分解，將原本的位移響應(yīng)信號分解為多個(gè)單模態(tài)信號。再經(jīng)過逆變換完成時(shí)域上的重構(gòu)，對于重構(gòu)后的各階信號，通過Hilbert變換提取信號瞬時(shí)頻率，從而識別出時(shí)變結(jié)構(gòu)的各階頻率。

(2) 該方法時(shí)頻切片分解的逆變換算法不依賴于切片小波基的選取，使得信號逆變換非常方便快捷，相較于傳統(tǒng)的小波方法，具有計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)。

(3) 盡管信號經(jīng)過多次切片小波分解，但是每次切片分解和重構(gòu)過程都是獨(dú)立進(jìn)行的，各階誤差不會(huì)相互影響，故抗噪能力強(qiáng)。

(4) 端點(diǎn)處的誤差是小波類方法通有的端點(diǎn)效應(yīng)造成的，可以通過延長采樣時(shí)間，讓端點(diǎn)效應(yīng)產(chǎn)生在一個(gè)不關(guān)心的時(shí)間區(qū)域中來解決。

(5) 仿真算例展示了時(shí)頻切片分解的時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識別方法的具體步驟和效果，驗(yàn)證了其可行性，表明其識別精度高。