孫忠林, 鄭鵬遠

(上海電力學院 自動化工程學院, 上海 200090)

實際工業(yè)生產(chǎn)往往由不同設備組成,由于不同設備的固有特性各不相同,導致整個生產(chǎn)過程非常復雜。有些生產(chǎn)過程可能有多個輸入與輸出,甚至不同輸入和輸出之間存在十分復雜的耦合關聯(lián),輸入量與輸出量之間不是簡單的一對一的對應關系。復雜雙容水箱作為典型的雙入雙出耦合對象,可以方便地通過改變手動閥門來改變閥門開度和各個水箱間的液位耦合程度,從而可以模擬具有不同耦合特性的系統(tǒng)。這對于耦合系統(tǒng)的控制研究具有一定的代表性。傳統(tǒng)的比例積分微分(Proportion Integral Differential,PID)控制是單變量控制器,在控制多入多出耦合系統(tǒng)時很難達到令人滿意的控制效果,而預測控制可以通過預測模型預測系統(tǒng)的未來動態(tài),對有限時域內(nèi)的性能指標進行滾動優(yōu)化,優(yōu)選出控制量,不僅可以實現(xiàn)對多入多出耦合系統(tǒng)的控制,而且調(diào)整速度快,可以實現(xiàn)比傳統(tǒng)控制更優(yōu)的控制效果[1]。

復雜雙容水箱系統(tǒng)是典型的耦合系統(tǒng),針對多變量耦合系統(tǒng),文獻[2]提出了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的帶有變遺忘因子的自適應子空間預測控制方法,有效地將在線子空間辨識方法用于模型預測控制中,實現(xiàn)了預測模型的在線更新。文獻[3]提出了一種改進的多變量約束預測控制算法,引入控制增量的期望衰減因子,使用梯度下降迭代算法處理約束,實現(xiàn)了水箱的半實物仿真。文獻[4-6]針對兩入兩出系統(tǒng)分別提出了不同的解耦方法,并在解耦基礎上設計了分散PID控制器。文獻[7]通過訓練模糊認知網(wǎng)絡,實現(xiàn)了具有非線性特性的系統(tǒng)的建模及參數(shù)辨識,設計了帶終端約束的非線性Hebbian學習算法。文獻[8]提出了近似動態(tài)規(guī)劃的預測控制算法,通過使用近似動態(tài)規(guī)劃求解水箱液位控制的動態(tài)跟蹤優(yōu)化問題,實現(xiàn)了優(yōu)于PID控制的控制效果且降低了計算量。文獻[9]針對四容水箱系統(tǒng),設計了使用小波神經(jīng)網(wǎng)絡作為預測模型的廣義預測控制算法,通過模糊前饋補償解耦,實現(xiàn)了耦合系統(tǒng)的解耦。文獻[10]針對含有非最小相位零點的對象,提出了相平面分區(qū)法,并進一步結(jié)合微分反饋實現(xiàn)了較好的四容水箱控制效果。文獻[11]將自適應預測控制應用于三容水箱的液位控制,且與其他方法對比,實現(xiàn)了良好的控制效果和較好的魯棒性。

復雜雙容水箱預測控制算法,通過對有限時域內(nèi)的性能指標函數(shù)進行優(yōu)化,從而優(yōu)選出進水閥門控制輸入量。隨著優(yōu)化時域長度的增加,系統(tǒng)的控制性能有望進一步得到改善,但系統(tǒng)的動態(tài)預測表達式將面臨越來越高的矩陣階數(shù),導致系統(tǒng)動態(tài)預測數(shù)學表達式的復雜度和在線優(yōu)化計算量有所增加,尤其是當優(yōu)化時域趨向無窮時,該優(yōu)化問題會成為無窮時域優(yōu)化問題,而無窮時域優(yōu)化將進一步導致其在線優(yōu)化計算難以實現(xiàn)。為降低復雜雙容水箱預測控制問題的在線優(yōu)化計算量,本文基于時間分解,將由優(yōu)化時域長度增加所引起的大規(guī)模參數(shù)優(yōu)化問題分解為各時間點上獨立的小規(guī)模參數(shù)優(yōu)化問題,分解后各個時間點的小規(guī)模參數(shù)優(yōu)化問題與其他時間點上的參數(shù)將不再存在互相關聯(lián),從而可以用解析方法分別單獨求出各時間點上的顯式優(yōu)化解。隨后,通過設計遞階預測控制對優(yōu)化時域長度上的關聯(lián)性進行協(xié)調(diào),以有效降低在線計算負擔,實現(xiàn)較優(yōu)的復雜雙容水箱液位控制效果。

1 復雜雙容水箱液位控制系統(tǒng)的優(yōu)化問題建模

復雜雙容水箱系統(tǒng)的結(jié)構如圖1所示[12]。該系統(tǒng)主要由4個水箱及每個水箱的液位檢測裝置、水泵、蓄水池、電動調(diào)節(jié)閥和變頻器組成。

圖1 復雜雙容水箱系統(tǒng)結(jié)構示意

4個水箱及蓄水池的作用是用來儲存水,4個水箱內(nèi)均有用于檢測液位的壓力傳感器。4個水箱分為上水箱和下水箱,其中3#和4#水箱為上水箱,1#和2#水箱為下水箱。2個上水箱分別由2個水泵供水,3#水箱由水泵1供水,4#水箱由水泵2供水,2個水泵的供水流量分別由電子調(diào)節(jié)閥和變頻器控制,開度均可在0～100%,且可隨意設置。2個下水箱與2個上水箱間通過4個手動調(diào)節(jié)閥相互連接,2個上水箱的水通過4個手動調(diào)節(jié)閥流入下水箱。3#水箱的水既可通過閥門1進入1#水箱,也通過閥門2進入2#水箱;4#水箱的水可通過閥門3進入1#水箱,也通過閥門4進入2#水箱。下水箱的水經(jīng)各自的閥門直接排入蓄水池。每個水箱允許儲存液位的最大值均為30 cm。當達到水箱能夠儲存的最大水量后,過量流入的水將通過額外設置在水箱上的溢流管路流出,直接流回最下方的蓄水池。通過調(diào)整手動閥門1～4可以方便地調(diào)整3#和4#水箱出水的流量以及每個上水箱流到2個下水箱的流量比例,從而實現(xiàn)水箱液位特性的改變,并能夠改變上下水箱之間液位關系的耦合程度,得到具有不同系統(tǒng)數(shù)據(jù)的復雜雙容水箱耦合系統(tǒng)。將電動調(diào)節(jié)閥開度u1和變頻器開度u2作為復雜雙容水箱系統(tǒng)的控制輸入,1#和2#水箱內(nèi)液位的高度作為系統(tǒng)輸出時,該過程為典型的雙入雙出耦合系統(tǒng)[12]。

單個水箱均滿足動態(tài)液位平衡關系

(1)

式中:A——水箱橫截面積;

h——水箱內(nèi)液位高度;

qin——水箱進水流量;

qout——水箱出水流量。

由伯努利方程可知水箱出水口出水流量qout滿足

(2)

式中:a——水箱出水口的橫截面積;

g——重力加速度。

綜合式(1)和式(2),可以得出復雜雙容水箱對象系統(tǒng)液位動態(tài)平衡方程為[9]

(3)

式中:Ai——第i個水箱的橫截面積,i=1,2,3,4,m2;

ai——第i個水箱出水口的橫截面積,m2;

hi——第i個水箱的液位高度,m;

Pij——水箱出水分流閥的分流系數(shù);

Q1——水泵經(jīng)電動調(diào)節(jié)閥向3#水箱供水的流量;

Q2——水泵經(jīng)電動調(diào)節(jié)閥向4#水箱供水的流量。

復雜雙容水箱實際參數(shù)如下[12]:4個水箱的橫截面積均為3.14×10-2m2,液位高度hi允許的最大值為0.3 m,各水箱出水口的橫截面積分別為a1=0.000 20 m2,a2=0.000 15 m2,a3=0.000 42 m2,a4=0.000 39 m2。

水箱液位和出水流量的關系是非線性關系。本文通過擬合將液位和出水流量關系線性化,并按照采樣時間為5 s使用一階歐拉法將系統(tǒng)模型離散化,最終得到復雜雙容水箱的離散線性模型為

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)=

(4)

該離散線性模型的能控性矩陣的秩為

(5)

其能控性矩陣滿秩,因此系統(tǒng)能控。

復雜雙容水箱的控制目標是通過控制電動調(diào)節(jié)閥及變頻器的開度來調(diào)整3#和4#水箱的進水流量,最終實現(xiàn)1#和2#水箱內(nèi)液位能夠很好地跟蹤液位設定值。

為實現(xiàn)良好的復雜雙容水箱液位優(yōu)化控制,本文選取液位狀態(tài)和設定值偏差的二次函數(shù),并引入終端代價函數(shù)構建無窮時域性能指標,建立起復雜雙容水箱無窮時域液位跟蹤動態(tài)性能優(yōu)化問題的數(shù)學描述為

2 基于時間分解的復雜雙容水箱液位系統(tǒng)遞階預測控制優(yōu)化算法設計

基于系統(tǒng)模型進行預測控制,預測系統(tǒng)的未來動態(tài),通過優(yōu)化系統(tǒng)動態(tài)進而優(yōu)選出控制序列,并將控制序列的第一項施加到系統(tǒng)上,待到下一時刻再重復以上優(yōu)化過程,可以有效地改善系統(tǒng)控制性能。其工作原理如圖2所示。

圖2 預測控制結(jié)構示意

根據(jù)復雜雙容水箱狀態(tài)空間模型和當前時刻復雜雙容水箱中各水箱液位的狀態(tài)值,按照選定的控制優(yōu)化時域K,通過時間分解求解優(yōu)化時域長度內(nèi)液位跟蹤性能指標的優(yōu)化問題,得到能夠使液位跟蹤性能最好的優(yōu)化控制序列u(k),k=0,1,2,…,K-1,然后實際控制時只取控制序列的第一項u(0)施加到復雜雙容水箱系統(tǒng)上,在下一時刻重復測量新的液位值,并在新的液位狀態(tài)下計算新的最優(yōu)控制序列,反復執(zhí)行,使控制策略能夠及時根據(jù)液位的實際情況修改控制量,減小控制誤差,實現(xiàn)較好的控制效果。

(8)

其中

α(k-1)x(k)

k=0,1,2,…,K-1

(9)

α(K-1)x(K)

(10)

根據(jù)對偶原理,經(jīng)過上述步驟即可將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為對應的無約束優(yōu)化問題

(11)

在給定了α(k)的情況下,可以將α(k)作為協(xié)調(diào)變量,將無約束對偶問題分為兩級遞階優(yōu)化[14]。

2.1 遞階優(yōu)化第一級

給定協(xié)調(diào)變量α(k),k=0,1,2,…,K-1,分別求解按照時間分解后的子優(yōu)化問題。

(1)k=0時刻,x(0)=x0已經(jīng)給定,求解優(yōu)化問題

α(0)[Ax(0)+Bu(0)]

得到

u(0)=-R-1(0)BTα(0)

(12)

(2)k=1,2,3,…,K-1時刻,求解優(yōu)化問題

得到

x(k)= -Q-1(k)[ATα(k)-α(k-1)]+

xref(k)

(13)

u(k)=-R-1(k)BTα(k)

(14)

(3)k=K時刻,求解優(yōu)化問題

α(K-1)x(K)

得到

x(K)=-Q-1(K)α(K-1)+xref(K)

(15)

式(12)和式(14)是按照按時間分解協(xié)調(diào)后優(yōu)選出的控制序列,式(13)和式(15)表示在預測時域內(nèi)各優(yōu)化控制量u(k)的作用下,復雜雙容水箱系統(tǒng)未來具有的液位響應預測值。

2.2 遞階優(yōu)化第二級

αl+1=αl+σldl,l=0,1,2,…

(16)

其中,σl是合理選取的步長,梯度值為

dl=

(17)

遞推迭代終止條件為相鄰兩時刻的協(xié)調(diào)向量變化不大,即梯度值的無窮范數(shù)滿足

‖dl‖∞<10-4

(18)

經(jīng)過上述時間分解,把優(yōu)化性能指標L的任務按照時間分解為不同時間點各自相互獨立的小規(guī)模子優(yōu)化問題。在每個Lk的優(yōu)化中,由于α(k)作為協(xié)調(diào)變量已經(jīng)確定,就只是確定最優(yōu)參數(shù)x(k)和u(k)的問題。根據(jù)Lk的二次型表達式,它們可以直接按照式(12)～式(15)解析求解。

上述為多容水箱時間分解協(xié)調(diào)控制算法。綜合預測控制滾動優(yōu)化思想和按時間分解協(xié)調(diào)控制算法,經(jīng)過上述兩級分解協(xié)調(diào)過程求得優(yōu)化問題式(4)的最優(yōu)解。之后將控制器取最優(yōu)控制序列的第一項u(0)作為系統(tǒng)實際控制量施加至水箱對象,測量得到系統(tǒng)下一時刻的新狀態(tài)值,然后在下一時刻重復執(zhí)行上述兩級遞階優(yōu)化步驟,重新計算在系統(tǒng)新狀態(tài)下的最優(yōu)解,從而保證被控對象在受到擾動后及時響應,系統(tǒng)輸出不出現(xiàn)大的波動,以增強系統(tǒng)的魯棒性。

2.3 復雜雙容水箱遞階預測控制優(yōu)化算法

步驟1起始時刻k=0時,初始化優(yōu)化時域K,權矩陣Q及R,迭代步長,拉格朗日協(xié)調(diào)因子預估值。

步驟2k≥0時刻,檢測狀態(tài)信息x(k)。

步驟3對第l次進行迭代。按照式(12)～式(14)計算當前α(k)下x及u的最優(yōu)解;利用最優(yōu)解迭代求解拉格朗日協(xié)調(diào)因子α(k)。若滿足收斂條件式(18)則跳轉(zhuǎn)步驟4,否則繼續(xù)計算α(k)下x及u的最優(yōu)解,更新拉格朗日因子。

步驟4按式(12)取最優(yōu)解u(0)施加至被控對象。

步驟5k=k+1,返回步驟2,重復以上步驟。

3 數(shù)值仿真

復雜雙容水箱系統(tǒng)液位控制的目標是讓1#水箱與2#水箱液位跟蹤設定值,3#水箱與4#水箱液位不作控制。4個水箱液位初值均為0 m,閥門開度限值為0～100%,分別采用本文控制算法與PID控制算法(PID參數(shù)通過衰減曲線法進行初步整定,并根據(jù)實際控制效果進行微調(diào),屬于效果較好的PID參數(shù))進行仿真。為說明本文算法的優(yōu)勢,仿真中取多組不同液位作為水箱液位跟蹤的設定值。

不同設定值下閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)曲線響應圖如圖3～圖5所示。由圖3～圖5可以看出,盡管復雜雙容水箱本身是一個具有雙入雙出高度耦合特點的復雜對象,本文算法仍能在很短時間內(nèi)將水箱液位迅速調(diào)整到設定的期望值。

圖3 例1設定值下液位響應對比

圖4 例2設定值下液位響應對比

圖5 例3設定值下液位響應對比

兩種算法的控制性能指標對比如表1所示。由表1可知,與PID算法的控制效果相比,本文算法在響應超調(diào)量、調(diào)整時間、平方誤差積分指標等方面均有提高。

表1 性能指標對比

4 結(jié) 語

針對復雜雙容水箱對象,本文通過按時間方向分解的思想設計了遞階預測控制優(yōu)化算法,在每一時刻通過時間分解來求解優(yōu)化問題的解析優(yōu)化解。隨后通過遞階控制進行協(xié)調(diào),優(yōu)選出進水閥門控制輸入量,并施加至被控對象。隨著時間的推移,反復執(zhí)行滾動優(yōu)化過程,實現(xiàn)了復雜雙容水箱液位的優(yōu)化控制,并保證了一定的魯棒性。與傳統(tǒng)PID控制相比,調(diào)整時間大幅度縮短,有效地改善了復雜雙容水箱的控制性能;通過時間分解避免了傳統(tǒng)預測控制算法的計算復雜度,取得了較優(yōu)的液位控制效果。