蔡靜靜, 周詩雨

(上海電力學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 上海 201300)

種群競爭模型的研究一直備受關(guān)注[1-6]。文獻(xiàn)[1-2]研究了一般的種群競爭模型,并對平衡點(diǎn)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析,文獻(xiàn)[2]分析了平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[3]研究了一類捕食與被捕食的食物鏈系統(tǒng)的關(guān)系,研究了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和極限環(huán)的存在性,得到了不同條件下兩物種生存之間的變化關(guān)系。他們使用的模型都是常微分方程組,通過分析特征根(或者說特征根實(shí)部)的符號來分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,進(jìn)而得到種群的生存或死亡的結(jié)論。在自然界中,有些種群向另一個種群的生存區(qū)域入侵時,入侵種群的生存區(qū)域是隨時間變化的(通常被稱為“自由邊界”),所以我們考慮的是自由邊界問題,使用的是反應(yīng)擴(kuò)散方程組。

本文考慮的是兩種種群競爭模型,假設(shè)A種群在半空間中生存,B種群從一側(cè)入侵A種群,研究何種狀態(tài)下B種群能在A種群的生存空間中存活,以及此時B種群的生存區(qū)域,也分析何種狀態(tài)下B種群入侵失敗。

1 競爭模型的解的有界性

本文主要研究帶有自由邊界條件的反應(yīng)擴(kuò)散方程組解的漸近行為,即

(1)

式中:h(t)——自由邊界,h(0)=h0>0;

u(t,x)——種群A的密度;

v(t,x)——種群B的密度;

a1,a2——兩種群的內(nèi)增長率;

c1,b2——內(nèi)部競爭系數(shù);

b1,c2——外部競爭系數(shù)。

對于自由邊界h(t),[0,h(t)]為種群A在t時刻所占領(lǐng)的區(qū)域。種群A的初始密度為u(0,x)=u0(x),x∈[0,h0];種群B的初始密度為v(0,x)=v0(x),x∈(0,∞),種群B的生存區(qū)域?yàn)榘肟臻g(0,+∞),現(xiàn)在種群A向半空間中傳播,我們主要考慮種群A是否能傳播成功。

定理1式(1)存在唯一解且一致有界,即對所有t>0,存在兩個常數(shù)M1和M2,使得

另外,存在與t無關(guān)的常數(shù)M3>0,使得

0

證 明設(shè)u1(t)是式(2)的解,即

(2)

則由常微分方程的知識可知

由比較原理得到

u(t,x)≤u1(t),t>0,0

于是

又因?yàn)関(t,x)滿足

所以

最后,構(gòu)造二次函數(shù)

U(t,x)=M1[2M(h(t)-x)-M2(h(t)-x)2]

直接計算可以得到

Ut=2M1M(1-Mh(t)+M)

Uxx=-2M1M2

U(t,h(t))=0=u(t,h(t))

取M充分大,可以證明

u(t,x)≤U(t,x),t>0,

由數(shù)學(xué)分析知識可知,對所有的t≥0有

-ux(t1,h(t))≤-Ux(t,h(t))=2MC

所以,h′(t)=-ux(t,h(t))≤2MC,t>0。

2 弱競爭

這里主要考慮種群A是弱競爭者的情形,即假設(shè)

(3)

下面證明若競爭者傳播失敗,原來的種群B戰(zhàn)勝競爭者而永遠(yuǎn)生存下去。

定理2若式(3)成立且v0≠0,則

證 明首先,由上述分析可知

同樣的,可證

(4)

從而v(t,x)滿足

令v1(t,x)為式(5)的解,即

(5)

則有

根據(jù)比較原理可知,當(dāng)時間很大時,存在t2,當(dāng)t>t2時,

此時,u和v滿足

考慮由式(6)來構(gòu)造上解和下解,進(jìn)而分析解的漸近行為,即

(6)

再由比較原理可知

u(t,x)

因此

3 強(qiáng)競爭

這里主要考慮種群A入侵種群B,但種群A是強(qiáng)競爭者,即

(7)

與以往常微分方程組描述的競爭模型不同的是,這里得到的都是二分性(二擇一)的結(jié)論。

定理3設(shè)式(7)成立,(u,v,h)是式(1)的解,且v0≠0,則有下面的二分性結(jié)果:

證 明一是傳播現(xiàn)象的證明。由定理1可知

(8)

從而可知,對于充分大的正常數(shù)L,存在tL>t2,使得

于是u和v滿足

為了分析u和v的漸近行為,先考慮一個常微分方程組

則

u(t,x)≥z(t),v(t,x)≤w(t)

而由經(jīng)典的常微分方程競爭模型可知

再結(jié)合式(8)得到

先考慮常微分方程

可知

再由比較原理可知,v(t,x)≥w(t)。

結(jié)合ε的任意性可知

(9)

由式(8)和式(9)可知

4 結(jié) 語

本文利用帶有自由邊界條件的反應(yīng)擴(kuò)散方程研究了種群的強(qiáng)競爭和弱競爭現(xiàn)象。結(jié)果表明,無論種群的初始密度有多小,種群都會生存且生存區(qū)域不變,顯然本文的結(jié)論更符合實(shí)際現(xiàn)象。