韓莉淼 楊中元 耿顯亞

【摘要】針對(duì)動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)中魚(yú)群的集群運(yùn)動(dòng)，通過(guò)仿真模擬，建立無(wú)差別個(gè)體的集群運(yùn)動(dòng)，優(yōu)化Vicsek模型，在有領(lǐng)導(dǎo)者存在的群體中，利用離散數(shù)學(xué)中的圖論建立魚(yú)群中的信息傳遞網(wǎng)絡(luò)，個(gè)體的運(yùn)動(dòng)受領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動(dòng)所影響，信息傳遞機(jī)制形成小世界網(wǎng)絡(luò)，在此網(wǎng)絡(luò)中信息傳遞快速，當(dāng)次領(lǐng)導(dǎo)者的個(gè)數(shù)達(dá)到最優(yōu)時(shí)，信息覆蓋范圍廣，有利于魚(yú)群的穩(wěn)定.

【關(guān)鍵詞】集群仿真模擬;小世界網(wǎng)絡(luò);Vicsek模型優(yōu)化;圖論

【基金項(xiàng)目】大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目（201710361095）支持.

集群是自然界中普遍存在的一種現(xiàn)象，動(dòng)物在運(yùn)動(dòng)中經(jīng)過(guò)自組織行為形成穩(wěn)定的群體，研究表明集群行為對(duì)動(dòng)物的生存有很大的益處，如有利于節(jié)約能量，理論計(jì)算表明，集群時(shí)所耗的摩擦力，大約只需要單獨(dú)行動(dòng)時(shí)的15;集群還有利于種群躲避捕食者，同時(shí)對(duì)種群的生殖、索餌和洄游中有很重要的意義[1].集群行為是一種動(dòng)態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)，也是通過(guò)個(gè)體以及局部的最基本的行為完成的復(fù)雜行為，對(duì)集群運(yùn)動(dòng)的研究，是仿生的重要組成，也具有重要意義.

根據(jù)Reynolds提出的Boid模型，知道魚(yú)群運(yùn)動(dòng)所遵循的規(guī)則，但是模型存在一定的缺陷，它給出的規(guī)則都是局部規(guī)則，每個(gè)個(gè)體僅僅根據(jù)它周?chē)浇鼌^(qū)域內(nèi)的個(gè)體行為調(diào)整自己的行為，只能做到局部一致性，局限性比較強(qiáng)，并且模型是在虛擬的、沒(méi)有障礙存在的空間內(nèi)進(jìn)行模擬的，而實(shí)際中不可能沒(méi)有障礙物.因此，提出Vicsek模型得出的魚(yú)群的連通性與一致性[6]，來(lái)克服以上模型存在的缺點(diǎn)，而leading-following[8]模型中進(jìn)一步提出了領(lǐng)導(dǎo)者在群體中的重要作用.根據(jù)領(lǐng)導(dǎo)者的存在，本文研究群體中的次領(lǐng)導(dǎo)者的信息傳遞，次領(lǐng)導(dǎo)者的數(shù)量對(duì)群體的影響.

一、無(wú)差別個(gè)體的集群行為仿真模擬

根據(jù)Boid模型中，魚(yú)群的聚集原則：避免碰撞、速度匹配、中心聚集、慣性因素，利用Matlab設(shè)計(jì)迭代程序，模擬出散亂的魚(yú)群，在不同時(shí)間的聚集程度，選取100個(gè)個(gè)體，設(shè)其初始速度為0.1，安全范圍為0.2，通過(guò)不同時(shí)間的不同聚集狀態(tài)，反映出魚(yú)集群運(yùn)動(dòng)的過(guò)程[2].

從以上圖中可以看出初始態(tài)魚(yú)群分布散亂，時(shí)間為500時(shí)，魚(yú)群中開(kāi)始有小群體出現(xiàn)，時(shí)間為2000時(shí)，魚(yú)群的聚集程度更加明顯.

二、Vicsek模型優(yōu)化

Vicsek模型是由N個(gè)具有自我意識(shí)的個(gè)體組成的離散時(shí)間系統(tǒng)，它們?cè)谄矫嬷幸源笮∠嗤乃俾蕍運(yùn)動(dòng)，每個(gè)個(gè)體的角度按照鄰居角度的矢量平均來(lái)更新，個(gè)體i的“鄰居”由以該個(gè)體的當(dāng)前位置（xi（t），yi（t））為中心，與該個(gè)體的Euclid距離小于正常數(shù)r的個(gè)體組成，用Ni（t）表示個(gè)體i在時(shí)刻t的鄰居，即

Ni（t）={j|dij（t）

其中dij（t）=（xi（t）-xj（t））2+（yi（t）-yj（t））2，顯然，每個(gè)個(gè)體都是自身的“鄰居”，每個(gè)個(gè)體在平面中按照恒定的正速率v運(yùn)動(dòng)，因而，每個(gè)個(gè)體的位置按照下面的方式進(jìn)行更新：

xi（t+1）=xi（t）+vcosθi（t），yi（t+1）=yi（t）+vsinθi（t），i=1，2，…，N，

其中θi（t）為個(gè)體i在時(shí)刻t的角度，它按照下面的方式進(jìn)行更新

θi（t+1）=tan-1∑jNi（t）sinθj（t）∑j∈Ni（t）cosθj（t）.

注意到上面系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為完全由初始狀態(tài)、鄰域半徑r和運(yùn)動(dòng)速率v確定.進(jìn)一步，每個(gè)個(gè)體的鄰居由其他個(gè)體的位置決定，每個(gè)個(gè)體的角度由鄰居的角度決定;同樣，角度也會(huì)影響位置，因此，所有個(gè)體的位置和角度之間形成復(fù)雜的非線(xiàn)性關(guān)系，這使得問(wèn)題的理論分析比較困難.

很顯然，由Vicsek模型描述的多個(gè)體系統(tǒng)形成一個(gè)動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，圖論中的一些基本概念對(duì)問(wèn)題的分析是有幫助的，注意到每個(gè)個(gè)體的鄰居會(huì)隨時(shí)間而變化，Jadbabaie等人用無(wú)向圖序列G={V，εt}來(lái)描述個(gè)體間的相互作用，其中V={1，2，…，N}為所有個(gè)體的集合，εr為隨時(shí)間變化的邊集合.邊是這樣形成的：如果個(gè)體i與j在時(shí)刻t的距離小于r，則在它們之間連一條邊，記作（i，j）εr.一個(gè)連通圖是指該圖中的任何兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間總存在一條路徑.為方便分析，將上面公式寫(xiě)成下面等價(jià)的“擬”線(xiàn)性形式;

tanθi（t+1）=∑j∈Ni（t）cosθj（t）∑k∈Ni（t）cosθk（t）tanθj（t），

進(jìn)而可寫(xiě)成矩陣形式為

tanθi（t+1）=A（t）tanθ（t），

其中tanθ（t）（tanθ1（t），tanθ2（t），…，tanθN（t））T，A（t）（aij（t））為加權(quán)平均矩陣，

aij-cosθj（t）∑k∈Ni（t）cosθk（t），若（i，j）∈εr，0，否則，

為分析Vicsek模型的同步性，Jadbabaie等人研究了公式的線(xiàn)性化形式

θi（t+1）-1ni（t）∑j∈Ni（t）θj（t），

其中ni（t）是集合Ni（t）內(nèi)元素的個(gè)數(shù).相應(yīng)地，角度更新可寫(xiě)成下面的矩陣公式

θi（t+1）=A（t）θ（t），

其中θ（t）=（θ1（t），θ2（t），…，θN（t））T，矩陣A（t）稱(chēng)為平均矩陣，其元素為

aij（t）=1ni（t），若i與j在時(shí)刻t為鄰居，0，否則，

通過(guò)此優(yōu)化模型來(lái)進(jìn)一步仿真魚(yú)群運(yùn)動(dòng).

三、小世界信息傳遞網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

自然界中的群體通常有領(lǐng)導(dǎo)者的存在，魚(yú)的集群運(yùn)動(dòng)會(huì)受領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動(dòng)影響，領(lǐng)導(dǎo)者有明確的運(yùn)動(dòng)方向和目的地，群體中還有次領(lǐng)導(dǎo)者的存在，次領(lǐng)導(dǎo)者可以預(yù)測(cè)領(lǐng)導(dǎo)者在下一時(shí)間階段內(nèi)的動(dòng)態(tài)行為，然后根據(jù)判斷在魚(yú)群中傳播信息，使群體行為保持穩(wěn)定.

領(lǐng)導(dǎo)者與次領(lǐng)導(dǎo)者之間可以構(gòu)成小世界網(wǎng)絡(luò)，次領(lǐng)導(dǎo)者隨機(jī)地分布在追隨者之間，在以次領(lǐng)導(dǎo)者為圓心，r為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，追隨者可以接收到次領(lǐng)導(dǎo)者傳遞的信息，調(diào)整運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，追隨領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動(dòng).

研究有領(lǐng)導(dǎo)者的魚(yú)群的信息傳遞，采用構(gòu)建信息傳遞網(wǎng)絡(luò)的模型.一般的構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)機(jī)制要用到圖論中的有向圖和無(wú)向圖，引入離散數(shù)學(xué)的一些基本概念[7]：

一個(gè)有向圖D是一個(gè)二元組（V，E），記為D=（V，E），其中：

（1）V是一個(gè)非空集合，其元素稱(chēng)為圖的頂點(diǎn)（vertices）、結(jié)（節(jié)）點(diǎn)（notes）或端點(diǎn);

（2）E是卡氏積V×V的多重子集，其元素稱(chēng)為圖的有向邊（簡(jiǎn)稱(chēng)邊）（edges）或弧.

將魚(yú)群的信息傳遞網(wǎng)絡(luò)定義為

G={V，E，Cv，Ve，T}，（4）

其中V表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)集合，E表示邊的集合，Cv，Ve分別為結(jié)點(diǎn)和邊的集合，T為時(shí)間點(diǎn)的集合.則用結(jié)點(diǎn)表示魚(yú)的個(gè)體，邊表示個(gè)體之間的信息傳遞關(guān)系，不同的傳遞用有向圖或無(wú)向圖表示，本文中次領(lǐng)導(dǎo)者通過(guò)預(yù)測(cè)領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動(dòng)傳遞信息，追隨者接收到次領(lǐng)導(dǎo)者傳遞的信息，以及自身感受到的鄰居的信息，則追隨者個(gè)體之間是否有信息交互，可以用表達(dá)式表示

bij=1，dij≤r，0，dij>r，（5）

bij=1表示有信息交互現(xiàn)象，bij=0表示無(wú)信息交互現(xiàn)象.

以△表示魚(yú)群中的領(lǐng)導(dǎo)者，☆表示次領(lǐng)導(dǎo)者，○表示追隨者，次領(lǐng)導(dǎo)者的信息傳遞范圍用半徑為r的虛線(xiàn)表示，在此范圍外的追隨者接收不到信息，△—△—表示次領(lǐng)導(dǎo)者對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者的行為預(yù)測(cè)，構(gòu)建下圖所示信息傳遞網(wǎng)絡(luò).

四、次領(lǐng)導(dǎo)者最優(yōu)數(shù)量模擬

以二維平面為例，有100個(gè)追隨者隨機(jī)均勻地分布在二維平面內(nèi)，根據(jù)次領(lǐng)導(dǎo)者的數(shù)量以及信息傳遞范圍，作代表追隨者的點(diǎn)以及代表次領(lǐng)導(dǎo)者的信息覆蓋范圍的模擬圖形，從圖中可以看出次領(lǐng)導(dǎo)者的數(shù)量對(duì)整個(gè)范圍的信息覆蓋概率A，當(dāng)然A越大，魚(yú)群信息覆蓋范圍越大.

魚(yú)群的次領(lǐng)導(dǎo)者存在最優(yōu)數(shù)量，低于最優(yōu)數(shù)量時(shí)，群體會(huì)由于信息傳遞網(wǎng)絡(luò)不完整穩(wěn)定性下降;高于最優(yōu)數(shù)量時(shí)，信息傳遞范圍會(huì)有過(guò)多交集，而在交集范圍內(nèi)的追隨者接收到來(lái)自不同層次領(lǐng)導(dǎo)者傳遞的信息，信息之間會(huì)產(chǎn)生干擾，從而影響追隨者的判斷，導(dǎo)致群體的穩(wěn)定性下降.

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