以問題關(guān)聯(lián)為導(dǎo)向?qū)ふ夷芰ν黄瓶?/h1>
2019-05-08 03:18:32李嬌
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2019年5期
李嬌
【摘要】廈門中考實(shí)行省考以來，“多問關(guān)聯(lián)題”的比例大幅上升，相對(duì)第一問的高得分率，第二問或第三問的得分率是學(xué)生考場(chǎng)脫穎而出的關(guān)鍵，也是教師著力的方向.如何借助“問題關(guān)聯(lián)”有效突破第二問、第三問成為研討重點(diǎn)，也是本文產(chǎn)生的背景.
隨著我國(guó)高考改革的發(fā)展，越來越多的教師開始關(guān)注命題技術(shù)學(xué).只有熟練地掌握命題技術(shù)，才能夠更有效地應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)解題.數(shù)學(xué)試卷一般由選擇、填空、解答題構(gòu)成.其中，解答題一般都是“問題關(guān)聯(lián)題”.
那何為“問題關(guān)聯(lián)題”？首先就是該題目不止一個(gè)問題.其次問與問存在直接或間接的關(guān)聯(lián).為什么要來重點(diǎn)研究“問題關(guān)聯(lián)題”？第一，這與試題命制息息相關(guān)，廈門中考實(shí)行省考以來，“多問關(guān)聯(lián)題”比例大幅上升，且第二問的得分率遠(yuǎn)低于第一問，成為學(xué)生的得分障礙.若能幫助學(xué)生站在第一問的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)兩問的關(guān)聯(lián)，將第二問向第一問靠攏和轉(zhuǎn)化，第二問的難點(diǎn)就迎刃而解了.第二，目前常見的“問題關(guān)聯(lián)”的種類并不多，進(jìn)行針對(duì)性的有效分析價(jià)值明顯.第三，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系羅增儒教師就一直提倡在析題時(shí)要將問題轉(zhuǎn)化逐步接近學(xué)生的最近思維區(qū)，而多問關(guān)聯(lián)題中第一問就是第二問或第三問的最近思維區(qū)，符合學(xué)生學(xué)習(xí)解題的規(guī)律.下面我將從兩種常見的關(guān)聯(lián)來談解題策略.
第一類常見的關(guān)聯(lián)，就是條件基本一致，結(jié)論關(guān)聯(lián)，此類型關(guān)聯(lián)屬于分解式解題，設(shè)計(jì)意圖往往是希望鋪設(shè)解題臺(tái)階，降低第二問的難度.若在解題時(shí)剝離兩個(gè)問題，那第一問的臺(tái)階作用沒利用，第二問的難度自然也就提升了.并且，一旦第一問沒能解答，那么第二問很有可能學(xué)生無法解答.此類題型較為常見，不缺乏析題素材，教師在處理時(shí)要把握量的積累，形成心理上的重視，將能力有效技能化.
例1以廈門2017—2018學(xué)年度九年級(jí)下數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)卷21題為例，某市的居民交通消費(fèi)可分為交通工具、交通工具使用燃料、交通工具維修、市內(nèi)公共交通、城市間交通等五項(xiàng).該市統(tǒng)計(jì)局根據(jù)當(dāng)年各項(xiàng)的權(quán)重及各項(xiàng)價(jià)格的漲幅計(jì)算當(dāng)年居民交通消費(fèi)價(jià)格的平均漲幅.2017年該市的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.
項(xiàng)目交通工具交通工具使用燃料交通工具維修市內(nèi)公共交通城市間交通
占交通消費(fèi)的比例22%13%5%p26%
相對(duì)上一年的價(jià)格的漲幅1.5%m%2%0.5%1%
（1）求p的值;
（2）若2017年該市的居民交通消費(fèi)相對(duì)上一年價(jià)格的平均漲幅為1.25%，求m的值.
本題第一問中所求的“p”對(duì)第二問的價(jià)值在與“權(quán)重”的理解，學(xué)生在解決第二問時(shí)正是由于剝離了第一問，沒有帶著第一問去看條件中對(duì)“平均漲幅”的定義，造成了策略選擇的嚴(yán)重失誤.在平時(shí)析題時(shí)多去類比同類題型，引起戰(zhàn)術(shù)上的重視將是解決這一關(guān)聯(lián)的有效途徑.
第二類的關(guān)聯(lián)是條件上從特殊到一般，從定值到變量.此類關(guān)聯(lián)的能力跨度較大，學(xué)生容易形成解題障礙.如果能讓學(xué)生以共同條件為切入口，敢用“定值”找結(jié)論，巧用“設(shè)元”替換定值，就有效解決“定值”到“變量”的轉(zhuǎn)化.
在解決此類問題時(shí)，學(xué)生需要準(zhǔn)確判斷試題中第一問和第二問的關(guān)系.在解決第一問時(shí)，可以參考第二問的相關(guān)信息，對(duì)第一問進(jìn)行判斷.在解決第二問時(shí)，需要利用第一問的結(jié)論進(jìn)行分析，進(jìn)而對(duì)第二問進(jìn)行求解.判斷此類問題的一個(gè)主要標(biāo)準(zhǔn)是，第一問中沒有附加條件.一旦第一問中存在附加條件，則第二問一般無法直接使用第一問的結(jié)論.
例2以2016年廈門初一期末質(zhì)檢24題為例，題目共有2個(gè)問題，兩者的關(guān)聯(lián)是兩問中都出現(xiàn)了相同條件∠DBC，難度的不一致是第一問∠DBC有具體的角度，而第二問∠DBC沒有具體的角度，如何以此為題眼進(jìn)行突破呢？現(xiàn)闡述如下：
圖1
如圖1所示，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，BD平分∠EBC.
（1）若∠DBC=30°，求∠A的度數(shù);
（2）若點(diǎn)F在線段AE上，且7∠DBC-2∠ABF=180°，請(qǐng)問圖中是否存在與∠DFB相等的角？若存在，請(qǐng)寫出這個(gè)角，并說明理由;若不存在，請(qǐng)說明理由.
本題的能力點(diǎn)體現(xiàn)在第二問，解題的困難如下：
（1）根源1：條件7∠DBC-2∠ABF=180°，數(shù)量條件與幾何圖形關(guān)聯(lián)不大，兩個(gè)角的關(guān)系不是常見的互補(bǔ)和相等，無法從數(shù)量找到形上的突破口.
（2）根源2：理不清題目的結(jié)論是什么.圖中角度較多，以觀察的角度無法準(zhǔn)確找到與∠DFB相等的角，導(dǎo)致解題方向不明.
當(dāng)分析法和綜合法在此題都難以找到突破口時(shí)，學(xué)生常規(guī)的解題策略就失去了作用.這時(shí)我們不妨對(duì)比（1）（2），找出關(guān)聯(lián)點(diǎn)，問題中都出現(xiàn)∠DBC，但第一問∠DBC是解題的關(guān)鍵數(shù)量條件，以此入手，逐步找到了相關(guān)聯(lián)2倍角∠EBC，4倍角∠ABC，從而也就找到了（1）的結(jié)論角∠A，解題思路明朗.而第二問的∠DBC相比第一問的∠DBC為什么沒有起到作用，因?yàn)樗鼪]有明確的數(shù)量.那如果賦予第二問∠DBC數(shù)量，在幾何中如何賦予數(shù)量，常用的設(shè)元法就起到作用了.
所以不妨將第二問改成“若點(diǎn)F在線段AE上，∠DBC=x°且7∠DBC-2∠ABF=180°，請(qǐng)問圖中是否存在與∠DFB相等的角？若存在，請(qǐng)寫出這個(gè)角，并說明理由;若不存在，請(qǐng)說明理由”.（利用設(shè)元，讓不明確的等式變成可以進(jìn)行運(yùn)算的已知條件）
如果在計(jì)算過程中，仍舊存在尋找結(jié)論的困難，不妨再特殊一些，直接將∠DBC=x°改成第一問中的∠DBC=30°.此時(shí)題目就改成“若點(diǎn)F在線段AE上，∠DBC=30°且7∠DBC-2∠ABF=180°，請(qǐng)問圖中是否存在與∠DFB相等的角？若存在，請(qǐng)寫出這個(gè)角，并說明理由;若不存在，請(qǐng)說明理由.”（利用特值，讓計(jì)算的難度和思考的難度進(jìn)一步下降，且在結(jié)論的探求上起到顯著作用）
通過兩次轉(zhuǎn)化，“定值”找結(jié)論的優(yōu)勢(shì)就顯而易見了，而“設(shè)元”又成功解決了解題的嚴(yán)密性問題，而在這起作用的就是兩問之間的“關(guān)聯(lián)條件”.
第二類的關(guān)聯(lián)如果用于動(dòng)態(tài)幾何時(shí)，也同樣適用，若能抓住“定點(diǎn)”帶來的定量，“動(dòng)點(diǎn)”帶來的變量，就能在“定量”和“變量”之間搭建橋梁，從而突破難點(diǎn).
例3以2018年廈門市初三質(zhì)檢24題為例，題目共有2問，題目之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)在于圖形條件類似，但圖2中點(diǎn)D是可以變化的，若能從兩問中的這一題眼入手，會(huì)有什么好的突破方法呢？具體方法闡述如下：
已知AB=8，直線l與AB平行，且距離為4，P是l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥AB交線段AB于點(diǎn)C，點(diǎn)C不與A，B重合，過A，C，P三點(diǎn)的圓與直線PB交于點(diǎn)D.
（1）如圖2所示，當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AP的長(zhǎng);
（2）如圖3所示，圓的一條直徑垂直AB于點(diǎn)E，且與AD交于點(diǎn)M.當(dāng)ME的長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷直線PB是否與該圓相切？并說明理由.
本題的能力點(diǎn)體現(xiàn)在第（2）問，解題的困難如下：
（1）增加的條件是變量，圖形一運(yùn)動(dòng)就增加了解題的難度.
（2）根源1：條件ME的長(zhǎng)度最大，什么時(shí)候最大，這個(gè)量的變化是由哪個(gè)量導(dǎo)致的，已知的數(shù)量條件與之聯(lián)系是什么？
（3）根源2：計(jì)算條件ME的長(zhǎng)度應(yīng)該采取何種策略，如何挖掘它與已知數(shù)量關(guān)系的關(guān)聯(lián)？
對(duì)比（1）（2）給出的參考圖形，圖形基本形狀變化不大，都有D點(diǎn)，但（1）中點(diǎn)D有特殊性，圖形就具有唯一性.如果（2）中點(diǎn)D也是中點(diǎn)，那么如圖所示ME應(yīng)該是一個(gè)定值.因此，我們不妨先將第二問改為：“如圖3所示，圓的一條直徑垂直AB于點(diǎn)E，且與AD交于點(diǎn)M.當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求ME的長(zhǎng)度？并判斷直線PB是否與該圓相切？”（此時(shí)求線段ME的長(zhǎng)度就有了圖形依托）
如果解決不了上述問題，不妨想想（1）問中點(diǎn)D作為中點(diǎn)解決了什么問題.進(jìn)一步將第二問改為：“如圖3所示，圓的一條直徑垂直AB于點(diǎn)E，且與AD交于點(diǎn)M.當(dāng)AP=8時(shí)，求ME的長(zhǎng)度？并判斷直線PB是否與該圓相切？”（此時(shí)問題中已知數(shù)量就有AP=8，PC=4，求ME的長(zhǎng)度，困難（3）中的相似解題策略就很容易呈現(xiàn)了）
為了進(jìn)一步突破難點(diǎn)（2），我們不妨進(jìn)一步挖掘（1）（2）聯(lián)系，對(duì)比（1）（2）線段AP的直徑性質(zhì)沒有改變，但P點(diǎn)作為動(dòng)點(diǎn)，不可能是定值8，如何體現(xiàn)變化的數(shù)量，不妨將第二問進(jìn)一步改為：“如圖3所示，圓的一條直徑垂直AB于點(diǎn)E，且與AD交于點(diǎn)M.當(dāng)AP=x時(shí)，求ME的最大長(zhǎng)度？并判斷當(dāng)ME最大時(shí)，直線PB是否與該圓相切？”（找到函數(shù)模型，此題困難（2）也得以突破.）
如果解決此題時(shí)無法利用換元解決計(jì)算問題，還可進(jìn)一步思考在確定AP和PC的長(zhǎng)度后，首先解決與ME關(guān)聯(lián)的量是誰，從而抓住ME長(zhǎng)度的直接關(guān)聯(lián)量是AE，這樣就可進(jìn)一步將第二問改為“如圖3所示，圓的一條直徑垂直AB于點(diǎn)E，且與AD交于點(diǎn)M.當(dāng)AE=x時(shí)，求ME的最大長(zhǎng)度？并判斷當(dāng)ME最大時(shí)，直線PB是否與該圓相切？”（找到更為簡(jiǎn)單的函數(shù)計(jì)算模型，更好地突破此題困難（2）.）
三次的轉(zhuǎn)化同樣是抓住了點(diǎn)“D”這個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，在定點(diǎn)“點(diǎn)D為中點(diǎn)”帶來的定量“ME”和動(dòng)點(diǎn)“點(diǎn)D”導(dǎo)致的變量“ME”找到了橋梁線段“AP”的長(zhǎng)，再次體現(xiàn)通過“定值”找結(jié)論，“設(shè)元”找方法在解決問題時(shí)的有效性.
綜上所述，問題關(guān)聯(lián)題可以分為兩種類型.第一種的特征是第一問中一般不增設(shè)條件，第二種的特征是第一問中會(huì)增設(shè)條件，而且一般是第二問的特例.只有熟練掌握兩種試題的特征，學(xué)生才能夠更好地解答問題.
【參考文獻(xiàn)】
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[2]李星云.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教師課程體系構(gòu)建[J].教育理論與實(shí)踐，2016（11）：45-48.
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那何為“問題關(guān)聯(lián)題”？首先就是該題目不止一個(gè)問題.其次問與問存在直接或間接的關(guān)聯(lián).為什么要來重點(diǎn)研究“問題關(guān)聯(lián)題”？第一，這與試題命制息息相關(guān)，廈門中考實(shí)行省考以來，“多問關(guān)聯(lián)題”比例大幅上升，且第二問的得分率遠(yuǎn)低于第一問，成為學(xué)生的得分障礙.若能幫助學(xué)生站在第一問的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)兩問的關(guān)聯(lián)，將第二問向第一問靠攏和轉(zhuǎn)化，第二問的難點(diǎn)就迎刃而解了.第二，目前常見的“問題關(guān)聯(lián)”的種類并不多，進(jìn)行針對(duì)性的有效分析價(jià)值明顯.第三，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系羅增儒教師就一直提倡在析題時(shí)要將問題轉(zhuǎn)化逐步接近學(xué)生的最近思維區(qū)，而多問關(guān)聯(lián)題中第一問就是第二問或第三問的最近思維區(qū)，符合學(xué)生學(xué)習(xí)解題的規(guī)律.下面我將從兩種常見的關(guān)聯(lián)來談解題策略.
第一類常見的關(guān)聯(lián)，就是條件基本一致，結(jié)論關(guān)聯(lián)，此類型關(guān)聯(lián)屬于分解式解題，設(shè)計(jì)意圖往往是希望鋪設(shè)解題臺(tái)階，降低第二問的難度.若在解題時(shí)剝離兩個(gè)問題，那第一問的臺(tái)階作用沒利用，第二問的難度自然也就提升了.并且，一旦第一問沒能解答，那么第二問很有可能學(xué)生無法解答.此類題型較為常見，不缺乏析題素材，教師在處理時(shí)要把握量的積累，形成心理上的重視，將能力有效技能化.
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項(xiàng)目交通工具交通工具使用燃料交通工具維修市內(nèi)公共交通城市間交通
占交通消費(fèi)的比例22%13%5%p26%
相對(duì)上一年的價(jià)格的漲幅1.5%m%2%0.5%1%
（1）求p的值;
（2）若2017年該市的居民交通消費(fèi)相對(duì)上一年價(jià)格的平均漲幅為1.25%，求m的值.
本題第一問中所求的“p”對(duì)第二問的價(jià)值在與“權(quán)重”的理解，學(xué)生在解決第二問時(shí)正是由于剝離了第一問，沒有帶著第一問去看條件中對(duì)“平均漲幅”的定義，造成了策略選擇的嚴(yán)重失誤.在平時(shí)析題時(shí)多去類比同類題型，引起戰(zhàn)術(shù)上的重視將是解決這一關(guān)聯(lián)的有效途徑.
第二類的關(guān)聯(lián)是條件上從特殊到一般，從定值到變量.此類關(guān)聯(lián)的能力跨度較大，學(xué)生容易形成解題障礙.如果能讓學(xué)生以共同條件為切入口，敢用“定值”找結(jié)論，巧用“設(shè)元”替換定值，就有效解決“定值”到“變量”的轉(zhuǎn)化.
在解決此類問題時(shí)，學(xué)生需要準(zhǔn)確判斷試題中第一問和第二問的關(guān)系.在解決第一問時(shí)，可以參考第二問的相關(guān)信息，對(duì)第一問進(jìn)行判斷.在解決第二問時(shí)，需要利用第一問的結(jié)論進(jìn)行分析，進(jìn)而對(duì)第二問進(jìn)行求解.判斷此類問題的一個(gè)主要標(biāo)準(zhǔn)是，第一問中沒有附加條件.一旦第一問中存在附加條件，則第二問一般無法直接使用第一問的結(jié)論.
例2以2016年廈門初一期末質(zhì)檢24題為例，題目共有2個(gè)問題，兩者的關(guān)聯(lián)是兩問中都出現(xiàn)了相同條件∠DBC，難度的不一致是第一問∠DBC有具體的角度，而第二問∠DBC沒有具體的角度，如何以此為題眼進(jìn)行突破呢？現(xiàn)闡述如下：
圖1
如圖1所示，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，BD平分∠EBC.
（1）若∠DBC=30°，求∠A的度數(shù);
（2）若點(diǎn)F在線段AE上，且7∠DBC-2∠ABF=180°，請(qǐng)問圖中是否存在與∠DFB相等的角？若存在，請(qǐng)寫出這個(gè)角，并說明理由;若不存在，請(qǐng)說明理由.
本題的能力點(diǎn)體現(xiàn)在第二問，解題的困難如下：
（1）根源1：條件7∠DBC-2∠ABF=180°，數(shù)量條件與幾何圖形關(guān)聯(lián)不大，兩個(gè)角的關(guān)系不是常見的互補(bǔ)和相等，無法從數(shù)量找到形上的突破口.
（2）根源2：理不清題目的結(jié)論是什么.圖中角度較多，以觀察的角度無法準(zhǔn)確找到與∠DFB相等的角，導(dǎo)致解題方向不明.
當(dāng)分析法和綜合法在此題都難以找到突破口時(shí)，學(xué)生常規(guī)的解題策略就失去了作用.這時(shí)我們不妨對(duì)比（1）（2），找出關(guān)聯(lián)點(diǎn)，問題中都出現(xiàn)∠DBC，但第一問∠DBC是解題的關(guān)鍵數(shù)量條件，以此入手，逐步找到了相關(guān)聯(lián)2倍角∠EBC，4倍角∠ABC，從而也就找到了（1）的結(jié)論角∠A，解題思路明朗.而第二問的∠DBC相比第一問的∠DBC為什么沒有起到作用，因?yàn)樗鼪]有明確的數(shù)量.那如果賦予第二問∠DBC數(shù)量，在幾何中如何賦予數(shù)量，常用的設(shè)元法就起到作用了.
所以不妨將第二問改成“若點(diǎn)F在線段AE上，∠DBC=x°且7∠DBC-2∠ABF=180°，請(qǐng)問圖中是否存在與∠DFB相等的角？若存在，請(qǐng)寫出這個(gè)角，并說明理由;若不存在，請(qǐng)說明理由”.（利用設(shè)元，讓不明確的等式變成可以進(jìn)行運(yùn)算的已知條件）
如果在計(jì)算過程中，仍舊存在尋找結(jié)論的困難，不妨再特殊一些，直接將∠DBC=x°改成第一問中的∠DBC=30°.此時(shí)題目就改成“若點(diǎn)F在線段AE上，∠DBC=30°且7∠DBC-2∠ABF=180°，請(qǐng)問圖中是否存在與∠DFB相等的角？若存在，請(qǐng)寫出這個(gè)角，并說明理由;若不存在，請(qǐng)說明理由.”（利用特值，讓計(jì)算的難度和思考的難度進(jìn)一步下降，且在結(jié)論的探求上起到顯著作用）
通過兩次轉(zhuǎn)化，“定值”找結(jié)論的優(yōu)勢(shì)就顯而易見了，而“設(shè)元”又成功解決了解題的嚴(yán)密性問題，而在這起作用的就是兩問之間的“關(guān)聯(lián)條件”.
第二類的關(guān)聯(lián)如果用于動(dòng)態(tài)幾何時(shí)，也同樣適用，若能抓住“定點(diǎn)”帶來的定量，“動(dòng)點(diǎn)”帶來的變量，就能在“定量”和“變量”之間搭建橋梁，從而突破難點(diǎn).
例3以2018年廈門市初三質(zhì)檢24題為例，題目共有2問，題目之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)在于圖形條件類似，但圖2中點(diǎn)D是可以變化的，若能從兩問中的這一題眼入手，會(huì)有什么好的突破方法呢？具體方法闡述如下：
已知AB=8，直線l與AB平行，且距離為4，P是l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥AB交線段AB于點(diǎn)C，點(diǎn)C不與A，B重合，過A，C，P三點(diǎn)的圓與直線PB交于點(diǎn)D.
（1）如圖2所示，當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AP的長(zhǎng);
（2）如圖3所示，圓的一條直徑垂直AB于點(diǎn)E，且與AD交于點(diǎn)M.當(dāng)ME的長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷直線PB是否與該圓相切？并說明理由.
本題的能力點(diǎn)體現(xiàn)在第（2）問，解題的困難如下：
（1）增加的條件是變量，圖形一運(yùn)動(dòng)就增加了解題的難度.
（2）根源1：條件ME的長(zhǎng)度最大，什么時(shí)候最大，這個(gè)量的變化是由哪個(gè)量導(dǎo)致的，已知的數(shù)量條件與之聯(lián)系是什么？
（3）根源2：計(jì)算條件ME的長(zhǎng)度應(yīng)該采取何種策略，如何挖掘它與已知數(shù)量關(guān)系的關(guān)聯(lián)？
對(duì)比（1）（2）給出的參考圖形，圖形基本形狀變化不大，都有D點(diǎn)，但（1）中點(diǎn)D有特殊性，圖形就具有唯一性.如果（2）中點(diǎn)D也是中點(diǎn)，那么如圖所示ME應(yīng)該是一個(gè)定值.因此，我們不妨先將第二問改為：“如圖3所示，圓的一條直徑垂直AB于點(diǎn)E，且與AD交于點(diǎn)M.當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求ME的長(zhǎng)度？并判斷直線PB是否與該圓相切？”（此時(shí)求線段ME的長(zhǎng)度就有了圖形依托）
如果解決不了上述問題，不妨想想（1）問中點(diǎn)D作為中點(diǎn)解決了什么問題.進(jìn)一步將第二問改為：“如圖3所示，圓的一條直徑垂直AB于點(diǎn)E，且與AD交于點(diǎn)M.當(dāng)AP=8時(shí)，求ME的長(zhǎng)度？并判斷直線PB是否與該圓相切？”（此時(shí)問題中已知數(shù)量就有AP=8，PC=4，求ME的長(zhǎng)度，困難（3）中的相似解題策略就很容易呈現(xiàn)了）
為了進(jìn)一步突破難點(diǎn)（2），我們不妨進(jìn)一步挖掘（1）（2）聯(lián)系，對(duì)比（1）（2）線段AP的直徑性質(zhì)沒有改變，但P點(diǎn)作為動(dòng)點(diǎn)，不可能是定值8，如何體現(xiàn)變化的數(shù)量，不妨將第二問進(jìn)一步改為：“如圖3所示，圓的一條直徑垂直AB于點(diǎn)E，且與AD交于點(diǎn)M.當(dāng)AP=x時(shí)，求ME的最大長(zhǎng)度？并判斷當(dāng)ME最大時(shí)，直線PB是否與該圓相切？”（找到函數(shù)模型，此題困難（2）也得以突破.）
如果解決此題時(shí)無法利用換元解決計(jì)算問題，還可進(jìn)一步思考在確定AP和PC的長(zhǎng)度后，首先解決與ME關(guān)聯(lián)的量是誰，從而抓住ME長(zhǎng)度的直接關(guān)聯(lián)量是AE，這樣就可進(jìn)一步將第二問改為“如圖3所示，圓的一條直徑垂直AB于點(diǎn)E，且與AD交于點(diǎn)M.當(dāng)AE=x時(shí)，求ME的最大長(zhǎng)度？并判斷當(dāng)ME最大時(shí)，直線PB是否與該圓相切？”（找到更為簡(jiǎn)單的函數(shù)計(jì)算模型，更好地突破此題困難（2）.）
三次的轉(zhuǎn)化同樣是抓住了點(diǎn)“D”這個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，在定點(diǎn)“點(diǎn)D為中點(diǎn)”帶來的定量“ME”和動(dòng)點(diǎn)“點(diǎn)D”導(dǎo)致的變量“ME”找到了橋梁線段“AP”的長(zhǎng)，再次體現(xiàn)通過“定值”找結(jié)論，“設(shè)元”找方法在解決問題時(shí)的有效性.
綜上所述，問題關(guān)聯(lián)題可以分為兩種類型.第一種的特征是第一問中一般不增設(shè)條件，第二種的特征是第一問中會(huì)增設(shè)條件，而且一般是第二問的特例.只有熟練掌握兩種試題的特征，學(xué)生才能夠更好地解答問題.
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